AI. Pomocí transformace do polárních souřadnic spočtěte
1
dx dy,
im \Jx2 + y2 kde M: (x - l)2 + y2 > 1, (x - 2)2 + y2 < 4. Řešeni. Transformace je dána
x — rcosíp,    y — rsimp,    dxdy — rdrdíp.
Pro oblast M platí
(rcosip — l)2 + (r sirup)2 > 1, (r cos<y£> — 2)2 + (r sini^)2 <
r2 — 2r cos y > 0, r2 — 4r cos y < 0,
tedy 2cos<y£> < r < 4cos<y£>. To je možné pouze pro ip e [—ir/2,ir/2] a tedy
= dx dy — / — r dr d<y9
M y X2 -\- y2 J-ty/2 J2 cos v r
tt/2
r 14COSJ) , ['J2cosV u<^
-7T/2
tt/2
2 COS <y£> d<y£>
-ty/2
ty/2
[2sin^;/2 = 4
A2. Najděte obecné řešení rovnice
xy' — 2y — x. Řešení. Příslušná homogenní lineární rovnice je
xy' = 2y.
Separací proměnných dostáváme
dy =  í 2dx
V     J x ln \y\ = 2 ln |x| + c
y — ex2.
Metoda variace konstant dá řešení tvaru y — c(x)x2, kde c(x) je řešením
x(c(x)x2)' — 2c(x)x2 — x xc'(x)x2 + xc(x)2x — 2c(x)x2 — x
C'(X) = ,   \ 1
c(x) — —h c x
a tedy y —     + c)x2 — x + cx2. □
A3. V písemce se objevil náročný příklad. Ze studentů si 1/3 zapomněla kalkulačku a zcela nezávisle si 1/3 studentů zapomněla tahák. Studenti vybavení oběma pomůckami vypočítali příklad s pravděpodobností 70%, studenti vybaveni pouze kalkulačkou s pravděpodobností 50%, studenti vybavení pouze tahákem s pravděpodobností 30% a studenti bez jakékoliv pomůcky pak s pravděpodobností 10%. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolený student příklad vypočítal? Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané správné řešení pochází od studenta bez kalkulačky?
Řešeni. Díky nezávislosti platí
P(KnT) = 2/3-2/3 = 4/9, P{^KOT) = 1/3 • 2/3 = 2/9,
P(Kn^T) =2/3-1/3 P{-^KC]^T) = 1/3-1/3
2/9, 1/9.
Potom pravděpodobnost úspěchu je
p(u) = p(u | k n t)p(k n t) + p (u I k n -^t)p{k n -hT)
+ p {u | -nif n t)p(^k n T) + p(t/1     n ^t)p(^k n -hT)
= 7/10 • 4/9 + 5/10 • 2/9 + 3/10 ■ 2/9 + 1/10 -1/9 = 1/2 = 50%.
Podmíněná pravděpodobnost ze zadání je
P((^K n T) U (^if n -iT) I t/)
p(^k nrn[/) + p(^g n^Tnc/)
p(u |     n t)p(^k n r) + p(lí |     n ^t)p{-^k n -iľ)
3/10-2/9 + 1/10-1/9 = 7/45 = 15 56%
1/Z
□
A4. Spojitá náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti f (x) — c ■ e~x pro všechna kladná reálná čísla x, nulovou jinde.
(a) Určete konstantu c.
(b) Určete distribuční funkci F (x) náhodné veličiny X.
(c) Určete P(-l < X < 1).
Řešení. Musí platit
kde [—c • e — linx^oo —c -e x + c ■ e° — c, takže dostáváme c—l. Hodnota distribuční funkce F(x) je pro x < 0 nulová a pro x > 0 je rovna
f(x)dx
1
e
—x
Platí
P(-l < X < 1)
F(l) - F(-l) = (1 - e"1) -0 = 1
l/e.
□
Bl. Pomocí transformace do polárních souřadnic spočtěte
1
dx dy,
im \Jx2 + y2
kde M: (x — l)2 + y2 > 1, x2 + y2 < 4 (pozor na různé meze pro x > 0 a pro x < 0). Řešeni. Transformace je dána
x —r cos (p,    y — rsinp,    dxdy — rdrdp.
Pro oblast M platí
(r cos p — l)2 + (r sin p)2 > 1, (r cos <y£>)2 + (r sin i^)2 < 4,
r2 - 2rcos<í£' > 0, r2 < 4,
tedy 2 cos   < r < 2. Avšak pro p e [/t/2, 3/t/2] toto znamená 0 < r < 2 a tedy
l Z"71"/2    ľ2        l ŕ3iv/2    r-2 ^
= dxdy — /        — r dr d<y£> + / — r dr dtp
Myx2+y2 J-ty/2 J2 cos ip r Jtt/2     Jo r
-k/2 p3ir/2
HLoSípd<ŕ'+ / V&dp
-tt/2 Jtt/2 71-/2 p3ir/2
(2-2 cos p)dp + 2dp
-tt/2 Jtt/2
[2p-2smpZ{2/2+[2p}l%2
4/t - 4.
B2. Najděte obecné řešení rovnice
xy1 — 2y + x2. Řešeni. Příslušná homogenní lineární rovnice je
xy' = 2y.
Separací proměnných dostáváme
dy =  í 2dx
V     J x ln \y\ = 2 ln |x| + c
y — ex2.
Metoda variace konstant dá řešení tvaru y — c(x)x2, kde c(x) je řešením
x(c(x)x2)' — 2c(x)x2 + x2 xc'(x)x2 + xc(x)2x — 2c(x)x2 + x2
c'{x) = --
X
c{x) — lnx + c
a tedy y — (ln x + c)x2 — x2 ln x + ex2.
B3. Z celkového počtu práce schopných obyvatel města má 20% vysokoškolské vzdělání, 35% nejvyšší vzdělání středoškolské, 40% je vyučených bez středoškolského vzdělání a 5% má pouze základní vzdělání. Nezaměstnaných mezi obyvateli s vysokoškolským vzděláním je 1%, mezi nejvýše středoškolsky vzdělanými obyvateli 5%, mezi vyučenými 15% a u těch, co mají pouze základní vzdělání, je nezaměstnanost 25%. Jaká je pravděpodobnost, že je náhodně vybraná osoba nezaměstnaná? Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný nezaměstnaný má vysokoškolské vzdělání?
Řešeni. Platí
P(n) = P(n | VŠ)P(VŠ) + P(n | SŠ)P(SŠ) + P(n | Vy)P(Vy) + P(n | ZŠ)P(ZŠ)
= 1/100 • 4/20 + 5/100 • 7/20 + 15/100 • 8/20 + 25/100 ■ 1/20 = 184/2000 = 9,2%.
P(VŠ) = 4/20, P(Vy) = 8/20,
P(SŠ) = 7/20, P{ZŠ) = 1/20.
Potom pravděpodobnost nezaměstnanosti je
Podmíněná pravděpodobnost ze zadání je
P(VŠ | n)
p(vš n n)
P(n | VŠ)P(VŠ) P(ÄÔ
1/100-4/20 184/2000
4/184 = 2,174%.
□
B4. Spojitá náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti /(x) — c ■ sin x pro všechna 0 < x < 7ľ, nulovou jinde.
(a) Určete konstantu c.
(b) Určete distribuční funkci F (x) náhodné veličiny X.
(c) Určete P(-tt/2 < X < tt/2).
Řešeni. Musí platit
/oo />0 />7r />oo
/(x)dx = /    Odx+ /   c-sinxdx + /    Odx = 0 + [—c • cosx]q + 0, -oo J—oo JO J t;
kde ľ-c • cosx]q — 2c, takže dostáváme c — 1/2- Hodnota distribuční funkce F {x) je pro x < 0 nulová, pro x > 7r rovna jedné a pro 0 < x < tt je rovna
f{t)át= I    0dt +      1/2-sinídí = 0+ [-1/2-cosí]g = 1/2 • (1 -cosx).
-oo J — oo JO
Platí
P(-tt/2 < X < tt/2) = F(tt/2) - F (-tt/2) = 1/2 • (1 - costt/2) -0=1/2. □
Cl. Pomocí transformace do polárních souřadnic spočtěte
1
dx dy,
im \Jx2 + y2 kde M: (x - í)2 + y2 < 1, x2 + (y - í)2 < 1. Řešeni. Transformace je dána
x —r cos (p,    y — rsimp,    dxdy — rdrdíp.
Pro oblast M platí
(rcosif — l)2 + (rsimp)2 < 1, (rcosi^)2 + (rsini^ — l)2 < 1,
r2 — 2r cos if < 0, r2 — 2r sin (f < 0,
tedy 0 < r < min{2cos<y9, 2sin<y9}. To znamená (p G [0,7r/2] a ve skutečnosti lze díky symetrii počítat
— dx dy — 2 /        — r dr d<y9
m \fx2 +y2 J o     J o r
/"r/4
= 2/ [r]2sm^
/"r/4
= 2 /     2 sin y d<y£> ./o
= 2[-2cos<^]o/4 = 2(2-\/2). □
C2. Najděte obecné řešení rovnice
xy' = y + 1.
Řešeni. Příslušná homogenní lineární rovnice je
Separací proměnných dostáváme
xy' = y.
dy      ľ dx V     J x ln \y \ — ln |x| + c y — cx.
Metoda variace konstant dá řešení tvaru y — c(x)x, kde c{x) je řešením
x{c{x)x)' — c{x)x + 1 xc (x)x + xc(x) — c(x)x + 1 c'(x)x2 — 1
c\x) = -2
1
c(x) —---h c
x
a tedy y — (— ^ + c)x = — 1 + cx.
C3. V písemce se objevil náročný příklad. Ze studentů si 1/2 zapomněla kalkulačku a zcela nezávisle si 1/4 studentů zapomněla tahák. Studenti vybavení oběma pomůckami vypočítali příklad s pravděpodobností 80%, studenti vybaveni pouze kalkulačkou s pravděpodobností 50%, studenti vybavení pouze tahákem s pravděpodobností 30% a studenti bez jakékoliv pomůcky pak s pravděpodobností 20%. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolený student příklad vypočítal? Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané správné řešení pochází od studenta bez taháku?
Řešeni. Díky nezávislosti platí
P(KnT) = 1/2 • 3/4 = 3/8, P{^KOT) = 1/2 • 3/4 = 3/8,
P(Kn^T) = 1/2-1/4= 1/8, P(^Kn^T) = 1/2- 1/4= 1/8.
Potom pravděpodobnost úspěchu je
p(u) = p(u | k n t)p(k n t) + p {u I k n -^t)p{k n -hT)
+ P(t/1 -nif n t)p(^k n T) + p(t/1 -nif n ^t)p(^k n -hT)
= 8/10 • 3/8 + 5/10 • 1/8 + 3/10 • 3/8 + 2/10 ■ 1/8 = 40/80 = 1/2 = 50%.
Podmíněná pravděpodobnost ze zadání je
P((K n -iT) U (^if n -iT) | U)
p(k n    nu) + p(^k n    n u)
W)
p(u I g n -t)p{k n -iľ) + p(u |     n ^t)p{-^k n -iľ)
5/10-1/8 +2/10-1/8 = 7/40 = 17 5%
1/Z
□
C4. Spojitá náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti f(x) — ^rp[ pro všechna kladná reálná čísla x, nulovou jinde.
(a) Určete konstantu c.
(b) Určete distribuční funkci F(x) náhodné veličiny X.
(c) Určete P(l < X < y/Š).
Řešeni. Musí platit
kde [c • arctgx]g° — lim^co c • arctgx + c ■ arctgO = c • tt/2, takže dostáváme c — 2/tt. Hodnota distribuční funkce F (x) je pro x < 0 nulová a pro x > 0 je rovna
Platí
P(l< X < \/3) = F{VŽ)-F{1) = 2/tt-arctg\/3-2/tt-arctgl = 2/tt • tt/3 - 2/tt • tt/4 = 1/6. □
f(x)dx
dx — 0 + [c ■ arctg x]
oo
dí — 0 + [2/-7T • arctg x]g — 2/tt ■ arctg a;.
Dl. Pomocí transformace do polárních souřadnic spočtěte
1
m \Jx2 + y2
dx dy,
kde M: (x - l)2 + (y - l)2 < 2, (x + l)2 + (y - l)2 < 2. Řešeni. Transformace je dána
x — rcosip,    y — rsimp,    dxdy — rdrdíp.
Pro oblast M platí
(r cos if - l)2 + (r sin (f - l)2 < 2, (r cos ip + l)2 + (r sin y> - l)2 < 2,
r2 — 2r(cos p + sin     < 0, r2 — 2r(— cos y + sin p) < 0,
tedy 0 < r < 2min{cos<y9 + sin<y9, — cos<y9 + sin^}. To je možné pouze pro p G [tt/4,3tt/A] a ve skutečnosti lze díky symetrii počítat
í'^/^    r~2 cos        sin (f
dx dy — 2 /       / — r dr dp
m \Jx2 + y2               Jtv/4 Jo r
o   / r i —2 cos (p-\-2 sin (p i
=2 / Ho d<^
Jty/í [k/2
— 2 (—2 cos p + 2 sin d<y£>
A/4
= 2[-2sinv?-2cos¥>]^ = 4(\/2-1). □
D2. Najděte obecné řešení rovnice
xy — y + x.
Řešení. Příslušná homogenní lineární rovnice je
xy = y.
Separací proměnných dostáváme
/
dy
I
y
X
ln \y \ — ln \x\ + c y — cx.
Metoda variace konstant dá řešení tvaru y — c(x)x, kde c{x) je řešením
x{c{x)x)' — c{x)x + X xc (x)x + xc(x) — c(x)x + X
X
c'(x) c(x)
1
X
ln \x\ + c
a tedy y — (ln \x\ + c)x — xln \x\ + cx.
D3. Z celkového počtu práce schopných obyvatel města má 25% vysokoškolské vzdělání, 35% nejvyšší vzdělání středoškolské, 30% je vyučených bez středoškolského vzdělání a 10% má pouze základní vzdělání. Nezaměstnaných mezi obyvateli s vysokoškolským vzděláním je 1%, mezi nejvýše středoškolsky vzdělanými obyvateli 5%, mezi vyučenými 15% a u těch, co mají pouze základní vzdělání, je nezaměstnanost 25%. Jaká je pravděpodobnost, že je náhodně vybraná osoba nezaměstnaná? Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný nezaměstnaný má vysokoškolské vzdělání?
Řešeni. Platí
P(VŠ) = 5/20, P(Vy) = 6/20,
P(SŠ) P(ZŠ)
7/20, 2/20.
Potom pravděpodobnost nezaměstnanosti je
p(n) = p(n | VŠ)P(VŠ) + p(n | SŠ)P(SŠ) + p(n | Vy)P(Vy) + p(n | ZŠ)P(ZŠ) = 1/100 • 5/20 + 5/100 • 7/20 + 15/100
6/20 + 25/100
2/20 = 180/2000 = 9%.
Podmíněná pravděpodobnost ze zadání je
P(VŠ | n)
p(vš n n)
p(n | VŠ)P(VŠ)
pW)
1/100 ■ 5/20 180/2000
5/180 = 2,778%.
□
D4. Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti na intervalu (2,oo) rovnu f (x) — c/x3, jinde nulovou.
(a) Určete reálne číslo c tak, aby opravdu šlo o hustotu pravděpodobnosti.
(b) Určete distribuční funkci náhodné veličiny X.
(c) Určete P(l < X < 3).
Řešeni. Musí platit
kde [—c/2x2]^° — Iíiile-^oo —c/2x2 + c/(2 ■ 22) — c/8, takže dostáváme c — 8. Hodnota distribuční funkce F (x) je pro x < 2 nulová a pro x > 2 je rovna
/(x) dx
c/x'
/(í)dí
Platí
P(l < X < 3) — F (3) - F (í) = (1 - 4/32) - 0 = 5/9.
□