^ifermáatni rovnice
<M(B103 - podzim 2013
Cvičení 8
Příklad 1. Najděte obecné řešení rovnice
2y - x3y' = 0.
_2
Výsledek, y = ce~x
Příklad 2. Najděte obecné řešení rovnice
x3dx ydy
-+ — = 0.
sin y x
5
Výsledek. ^- + c = y cos y — sin y Příklad 3. Najděte obecné řešení rovnice
(x + l)dy + xydx = 0.
Výsledek, y = c(x + l)e~x
Příklad 4. Najděte obecné řešení rovnice
1 1
-dx--dy = 0.
x + l       y- 1 Výsledek, y = c(x + 1) + 1
Příklad 5. Řešte diferenciální rovnici s počátečními podmínkami y(l)
y ln y + xy' = 0.
Výsledek, y = 1
Příklad 6. Řešte diferenciální rovnici s počátečními podmínkami y(0)
(l + ex)- + ex = 0.
y
Výsledek, y = 2(1 + exyl
Příklad 7. Najděte obecné řešení rovnice
2xy' = 3y + x.
Výsledek, cx3 = (x + y)2
Příklad 8. Najděte obecné řešení rovnice
(x2 - xy)y' + y2 = 0.
Výsledek, y = ce*
Příklad 9. Najděte obecné řešení rovnice
xy' = 2x + y.
Výsledek, y = 2x\n \ cx\
Příklad 10. Najděte obecné řešení rovnice
(x2 + 2xy)dx + (x2 — y2)dy = 0.
Výsledek, y3 — 3yx2 — x3 = c
Příklad 11. Najděte obecné řešení rovnice
y' = 6x — 2y.
Výsledek, y = 3x — | + ce~2x
Příklad 12. Najděte obecné řešení rovnice
y' + Ax3y = x2e~x4.
Výsledek, y =      + c)e~xi
Příklad 13. Najděte obecné řešení rovnice
y' = QXy + Axe3x2.
Výsledek. (2x2 + c)e3x2
Příklad 14. Najděte obecné řešení rovnice
y' + y cos x = sin 2x. Výsledek, y = 2(sinx — 1) + ce~sinx Příklad 15. Najděte obecné řešení rovnice
(ey - x)y' = y.
Výsledek, x =
Příklad 16. Najděte obecné řešení rovnice
xy' — y = —xy2.
Výsledek, y = ^^,y = 0
Příklad 17. Najděte obecné řešení rovnice
y' + xy = xy3.
Výsledek, y2 = (cex2 +
Příklad 18. Najděte obecné řešení rovnice
xy' + y = y2 In x.
Výsledek, y = y(l + \nx + cx) = 1 Příklad 19. Najděte obecné řešení rovnice
/     % r-
y = —I- x^/y.
x
Výsledek, y = x4(ln (-\/ířĚ[) + c)2
Příklad 20. Čistička vody o objemu 2000 m3 byla znečištěna olovem, které se nachází ve vodě v ní v množství 10 g/m3. Do čističky přitéká čistá voda rychlostí 2 m3/s a stejnou rychlostí i vytéká. Za jak dlouho poklesne obsah olova ve vodě v čističce pod 10 fig/m3, předpokládáme-li, že voda je neustále rovnoměrně promíchávána?
Výsledek. 6 hodin a 35 minut.
Příklad 21. Rychlost, kterou se šíří epidemie v dané uzavřené populaci o P lidech, je přímo úměrná součinu počtu lidí, kteří jsou nakaženi, a počtu lidí, kteří jsou ještě nenakaženi. Určete funkci f(t) popisující počet nakažených v čase.
Příklad 22. Poločas rozpadu radioaktivního prvku A je pět let, prvku B jeden rok. Máme-li 5 kg prvku B a 1 kg prvku A, za jak dlouho budeme mít stejné množství obou.
Výsledek. |g|