Matematika III, 2. cvičení Limity funkcí více proměnných Pro počítání limit jj a ^ nemáme k dispozici žádnou analogii ĽHospitalova pravidla, musíme tedy používat různé úpravy. Rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou proměnných spočívá v odlišnosti okolí limitního bodu: u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (pak má funkce limitu v bodě, pokud existují obě jednostranné limity, které se rovnají), ale u funkce dvou a více proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby (po přímkách, parabolách, ...). Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Pokud tedy dostaneme různé hodnoty limity pro různé cesty, limita v daném bodě neexistuje. V následujících příkladech vypočítejte limity, případně dokažte, že neexistují. Nápověda. Pokud po dosazení limitních bodů nevyjde neurčitý výraz, můžeme tyto limitní body dosadit. Pokud vyjde neurčitý výraz, můžeme zkoušet různé postupy: (1) rozložit čitatel nebo jmenovatel na součin podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit; (2) rozšířit čitatel i jmenovatel něčím vhodným podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit; / o \ ohraničený výraz nn/i ■ - ' ' \ n (3) -^—-— = U, U • (ohraničený výraz) = (J; (4) použít vhodnou substituci, po které bychom dostali limitu jedné proměnné; (5) převést limitu dvou proměnných do polárních souřadnic x = r cos p, y = r sin p> (je-li v limitě výraz x2 + y2, polární souřadnice většinou fungují, protože pak dostaneme jednodušší výraz x2 + y2 = r2 cos2 ip + r2 sin2 p = r2 (cos2 p + sin2 ip) = r2, který nezávisí na tp); (6) zvolit y = kx (k limitnímu bodu [0,0] se blížíme po přímkách, v případě jiného limitního bodu je potřeba drobná úprava, aby přímky limitním bodem procházely), y = kx2 (k limitnímu bodu [0, 0] se blížíme po parabolách, v případě jiného limitního bodu je opět potřeba drobná úprava), případně jinak vhodně parametricky nahradit x = f (k) a y = g (k), a pokud bude hodnota limity záviset na parametru k, limita neexistuje; tento postup lze použít pouze k důkazu neexistence limity, nikoliv k výpočtu její hodnoty za předpokladu, že existuje! Příklad 14. Um(a.ií/)_,(e2il) ljf Výsledek. 2. Příklad 15. lim,-^^^) ^f^p Nápověda. Rozložte jmenovatel na součin podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin. Výsledek, Příklad 16. lim(:E)ž/)^.(1)00) 3 Nápověda. Použijte postup (3). Výsledek. 0. Příklad 17. lim(x. ^(0,2) ^r1 Nápověda. Rozšiřte zlomek výrazem | a použijte substituci t = xy (protože (x, y) ->• (0, 2), bude t -» 0). Výsledek. 2. Příklad 18. lim(:I.)ž/)_>(00)00) |r^r Nápověda. Převeďte do polárních souřadnic x = rcosp,y = rsintp a protože (x.y) -> (00,00), bude r —> 00, -(x+^ Výsledek. 0. 4 Příklad 28. lim(:E)!/)_,(00il)(l + Výsledek, e. Příklad 29. lim^^^o) ^r^r Výsledek. Neexistuje. Příklad 30. lim l-eos(x2+y2) (:e,í/)->(0,0) Výsledek. Neexistuje. Příklad 31. Dokažte, že lim^^^^o) xiVy neex Nápověda. Zvolte y = kx2. tedy k bodu [O, 0] se budeme blížit po parabolách. Příklad 32. Pomocí svazku přímek procházejících limitním bodem dokažte, že následující limita neexistuje: 2x + xy-y-2 lim -. (x.y)^(i -2) x2 + y'2 - 2x + 4y + 5 Nápověda. Přímky ze svazku mají rovnice y = kx + q, vyjádřete q v závislosti na k tak, aby odpovídající přímky procházely bodem [1, —2]. Výsledek. Limita vyjde rovna j^i, což závisí na k, limita je tedy závislá na směru, ze kterého se blížíme k limitnímu bodu, takže limita neexistuje. Spojitost funkcí více proměnných Funkce je spojitá v bodech, ve kterých má vlastní limitu (tj. limita existuje a je různá od ±00), která je rovna funkční hodnotě. Příklad 33. Určete body, v nichž není spojitá funkce f(x,y) = 3X[,a \ ■ Výsledek. Kružnice fc([0, 0];1). cos(x-y) Příklad 34. Určete body, v nichž není spojitá funkce f(x,y) — "m^x y+xy ^ Výsledek. Množina bodů {[x, x + (2k + l)f ]; x € R, k G Z}. Příklad 35. Určete body, v nichž není spojitá funkce f{x,y) = ^[^[0,0], 1 0 pro [x, y] = [0, 0]. Výsledek. Funkce je všude spojitá, včetně bodu [0,0]. 5