Matematika III, 3. cvičení Derivace funkce zadané implicitně
Funkci značíme písmenem y, proměnnou písmenem x, můžeme si představit, že y = f (x). Proto derivace x je 1, ale derivace y je y', takže např. (x2)' = 2x a (y2)' = 2yy'.
Příklad 36. Určete první a druhou derivaci, pokud x2 + y2 = 1.
Výsledek, y' = -|, y" = -y^-.
Příklad 37. Určete derivaci, pokud xy2 — 2xy + x3 — 3y2 + 5 = 0. Výsledek, y' = ^-Ž-Ž"
Příklad 38. Určete derivaci, pokud sin(x2) + cos(y2) — 1 = 0.
Výsledek, y
l _       xcos(x )
j/sin(j/2)
Příklad 39. Nechi je funkce y = y{x) dána v okolí bodu [1,1] implicitné rovnicíy3 — 2xy+x2 = 0. Určete y'(l) a y"(l).
Výsledek. y'(l) = 0, y"(l) = -2.
Příklad 40. Nechi je funkce y = y(x) dána v okolí bodu f2-^-, -|] implicitně rovnicí y — = x. Určete y'(^) a y"(^).
Výsledek. = l,y"{^) = -\.
Příklad 41. Rozhodnete, zda křivka x3 — y3 + 2xy = 0 leží v okolí bodu [1,-1] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Nápověda. Křivku v okolí bodu [1,-1] považujte za funkci y{x) zadanou implicitně, odpovězte podle hodnoty druhé derivace této funkce v daném bodě.
Výsledek. y"(l) = 16 > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.
Příklad 42. Rozhodněte, zda křivka |x2 — 3xy2 + y3 — | = 0 leží v okolí bodu [1, 3] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Výsledek. y"(l) = ^ > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou. Parciální derivace
Pro funkci /: M2 —> M jsou parciální derivace prvního řádu definovány takto:
,//       \    i■   f{xo + t,yo) - f{x0,y0)      ,                  f(x0,yo + t) - f(x0,yo) fxlxo,yo) = J™-7-.   fy{xo,yo) = lim---.
i—>0 t " i—>0 t
Při výpočtu parciální derivace podle jedné proměnné považujeme druhou proměnnou za konstantu a derivujeme podle první proměnné.
Parciální derivace druhého a vyšších řádů dostaneme (podobně jako několikanásobné derivace funkcí jedné proměnné) opětovným derivováním dané funkce. Např. f" dostaneme tak, že nejdřív zderivujeme funkci / podle x (přitom y považujeme za konstantu) a výsledek pak zderivujeme podle y (tentokrát x považujeme za konstantu).
6
Příklad 43. Vypočtěte f'x a fý, kde f(x,y) = arctg|. Příklad 44. Vypočtěte fx a fý, kde f(x,y) = xv;x > 0.
Příklad 45. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu funkce f(x,y,z)
u. x* .
Výsledek. f'x = \x**  1 Jý = xl lnx -\,f'z = xl Inx •
f^ = ^-l)x^2J^y=xU^x.j,,f'Jz = xUn2x.^+xUnx.^,
f"y = lx^1 + f        ln;c • I' fxz = + f        ln z • ^, f»z     r   hr r ■ ^ ■ r ln.r--.
Příklad 46. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního řádu funkce f(x,y,z) = xyZ (pozor:
xyz = x(yz) ± {Xyy).
Příklad 47. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního řádu: f(x,y) = ln(-^). Příklad 48. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu: f(x,y) = cos^ ^.
Příklad 49. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [1, y/2, 2] funkce z = f(x,y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí x2 + y2 + z2 — xz — V2yz = 1.
Výsledek, ,'ril. V2) = = 0, z'y{l, J) = = 0, z^(l, ^2) = 4,(1, s/2) = -2,
4,(1,72) =0.
Příklad 50. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [—2, 0,1] funkce z = f(x, y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz - z + 8 = 0.
Výsledek. 4(-2,0) = -gftfe = 0, ^(-2,0) = -g^rr = 0, 4r(-2,0) = ^(-2,0) = ^ 4,(-2,0) = 0.
Směrové derivace
Je-li u = (1/1,1/2) nenulový vektor, pak směrová derivace funkce f(x,y) v bodě [2:0,1/0] ve směru vektoru u je
,//       \    n.   f(x0 + uit,y0 +u2t) - f(x0,y0) fu(xo, yo) = Jim---•
Zřejmě f'x = f'{lfi) a f'y = /('0 1}.
Jiný způsob výpočtu směrové derivace: Nejdříve spočítáme obě parciální derivace f'x{xQ,yo) a fý(x0,y0). Pak
fa(xo,yo) = fx(xo, Vo) ■ "i + fy(x0,yo) ■ u2. Pro funkce tří a více proměnných je to analogické.
Příklad 51. Vypočtěte fu{l, -1), kde f(x, y) = arctg(x2 + y2) aii = (l,2). Výsledek. — |.
Příklad 52. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = x3 + Axy v bodě [2,-1] ve směru vektoru (1,3).
Výsledek. /('li3)(2, -1) = 32.
Příklad 53. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = \Jx2 +y2 v bodě [1,1] ve směru vektoru ( — 1,3).
7
Výsledek. /('_li3)(l,l) = y/2.
Příklad 54. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = e1^-1) v bodě [0,2] ve směru vektoru (-1,2).
Výsledek. /('_li2)(0,2)
-1.
Příklad 55. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x, y,z) = z — ex siny v bodě [ln3, Šf,-3] směru vektoru (1,2,2).
Výsledek. f'(1^2)(ln3, 4f, -3) = 5. Směrové derivace a spojitost
V následujícím příkladě si ukážeme, že z existence derivací funkce více proměnných v libovolném směru neplyne spojitost této funkce (avšak u funkce jedné proměnné z existence derivace plyne spojitost).
Příklad 56. Dokažte, že funkce
f{x,y) = S^¥   Pro M ŕ M, 1^0 pro [x, y] = [0, 0]
není spojitá v bodě [0, 0], ale v tomto bodě existuje derivace funkce f v libovolném směru.
Nápověda. Pomocí přibližování se k limitnímu bodu po parabolách dokažte, že funkce nemá v bodě [0, 0] limitu; směrové derivace vypočítejte podle definice.
8