Matematika III, 5. cvičení
Lokální extrémy funkcí více proměnných
Připomeňme, že pro funkci jedné proměnné /: R-íla její stacionární bod xq (tj. bod xq £ M, pro který platí /'(xq) = 0) platí:
• je-li f"{xo) < 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální minimum,
• je-li f"(xo) < 0, má funkce / v bodě xq neostré lokální minimum,
• je-li f"(xo) > 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální maximum,
• je-li f"(xo) > 0, má funkce / v bodě xq neostré lokální maximum.
Pro jednoduchost budeme uvažovat funkci dvou proměnných /: M2 —> M, obecný případ pro funkci Wl —> M byl probrán na přednášce. Podobné tvrzení jako pro lokální extrémy funkcí jedné proměnné dostaneme pro funkce dvou (resp. více) proměnných:
Nechť [xq, yo] je stacionární bod funkce /: M2 —> M (tedy platí fx(xo,yo) = 0, fý(xo, yo) = 0) a nechť má tato funkce v nějakém okolí bodu [xo,yo] spojité parciální derivace druhého řádu. Pak platí:
má funkce / v bodě [xq, yo] ostré lokální minimum,
• Je-li f"x(xo,yo) < 0 a det H/(xq, yo) > 0, má funkce / v bodě [xo,yo] ostré lokální maximum,
• Je-li det H/(xq, yo) < 0, extrém v bodě [a;o>yo] nenastává,
• V ostatních případech (tj. pokud det Hf(xa,ya) = 0), nic o extrému v bodě [xq, yo] nevíme, musíme použít různé triky.
Dále platí, že funkce /: M2 —> M (platí to i pro funkce více než dvou proměnných) může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje.
Příklad 87. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2.
Výsledek. Tři stacionární body: P\ = [0,0], P2 = [1,1], P3 = [—1,-1]. V P\ extrém nenastává, v obou bodech P2, P3 má funkce / ostré lokální minimum.
Příklad 88. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x3 + y3 — 3xy.
Výsledek. Stacionární body jsou P\ = [0, 0], P2 = [1,1], v Pi není extrém, v P2 je ostré lokální minimum.
Příklad 89. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = ln(5x) — x2 + xy + y2■
Výsledek. Stacionární body jsou P\ = [-^/2/5, —1/y/lÔ], P2 = [— y/2/5,1/y/TÔ], ani v jednom z nich extrém nenastává.
• Je-li f"x(x0,y0) > 0 a
fxy(xo,yo)
fyy(xO,yo)
)
13
Příklad 90. Určete lokální extrémy funkce
f(   ^   4.y2 4.z2 4.2
j{x,y,z) = x + ~r^---1--
4x     y z
ležící v prvním oktantu (tj v části prostoru, kde jsou všechny tři souřadnice nezáporné) a určete jejich typ.
Výsledek. Jediný stacionární bod je [|, 1,1], ve kterém je lokální minimum, neboť
Hf =
4   -2 0N -2     3 -2 0   -2 6,
je pozitivně definitní např. podle Sylvestrova kritéria (an > 0, aiia22 — &\2&2\ > 0, det H f > 0).
Příklad 91. Najděte všechny stacionární body funkce z = f(x,y) definované implicitně rovnicí 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz — z + 8 = 0 a zjistěte, zda jsou v těchto bodech lokální extrémy.
Výsledek. Vyjde
, 4x + 8z
Zx ~ ~ 8x + 2z - 1'
stacionární body jsou [—2, 0,1], [^, 0, — |]. Dále
/ 4/15 0
4y
8x + 2z - 1'
4/15 J' ta^ze funkce f(x,y) má v bodě [—2,0] lokální minimum;
Hf(^Y,0) = ^  4q15 _4/15 J) takže funkce f(x,y) má v bodě [—2,0] lokální maximum.
Příklad 92. Najděte všechny stacionární body funkce z = f(x,y) definované implicitně rovnicí x2 + y2 + z2 — xz — \[2yz = 1 a zjistěte, zda jsou v těchto bodech lokální extrémy.
Výsledek. Vyjde
z — 2x
V2z - 2y
x    2z-x- V2y'     y    2z-x- V2y' stacionární body jsou [1, \f2, 2], [—1, —V2, —2]. Dále ve stacionárních bodech je
// ^ n      ~      n ^
0 z"
2z-x-y/2y      xy      '     vv 2z-x-V2y
Ve stacionárních bodech je H f negativně, resp. pozitivně definitní, proto zde nastává ostré lokální maximum, resp. minimum funkce /.
Příklad 93. Určete lokální extrémy funkce f(x,y) = xyln(x2 + y2). Výsledek.
f'x = y
stacionární body jsou
2x
ln(x2 + y2) +
xL + yz
ln{x2+y2)+ lV
xL + yz
Dále
Pi,2 = [0,±l],   P3,4 = [±1,0],   P5-8 = [±1/V2^, ±1/V2i].
2xy(3x2 + y2)
/m;        /„9 , )    /iv    ln(x + y ) + 2
(x2 + y2)2
4^V f„
(x2 + y2)2' hy
{x2 + y2)2
14
det Hf(Pi-4) = det (f] g) = —4 < O, tudíž v bodech P1-4 není extrém.
Pro P5 = [1/V2Í, l/Vte] a P6 = [-l/V^,-l/Vte] je /^(P5,6) = 2 > 0, det Hf(P5fi) = 4 > 0, tudíž v bodech P5, Pg je ostré lokální minimum.
Pro P7 = -l/VTe] a P8 = l/VTe] je j^(P7,8) = -2 < 0, det Hf{Pbfi) = 4 >
0, tudíž v bodech P7, P8 je ostré lokální maximum.
Příklad 94. Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) = x — 2y + ln "\/x2 + y2 + 3 arctg ^ a pro každý extrém určete jeho typ.
Výsledek. Vyjde
/' = 1 + X~3y     f =-2+ 3x + y x x2 + y2 '     ^ x2 + y2'
stacionární bod je [—7/5,1/5]. Dále
„ _ y2 - x2 + 6xy       „ _ 3y2 - 3x2 - 2xy       „ _ x2 - y2 - 6xy Ixx ~    {x2+y2)2   '    Ixy ~     (x2 + y2)2     '    Iyy ~    {x2+y2)2 '
Hf( — 7/5,1/5) = ^ _ 13/10   93/io0)' takže funkce f(x,y) v bodě [—7/5,1/5] nemá extrém. Implicitně zadaná funkce
Nechť F(x, y): M 2 —> M je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [a?o, yo], dále P(xo, yo) = 0 a Fy{xQ,yo) 7^ 0. Pak existuje spojitá funkce /: M —?► M definovaná na nějakém okolí U bodu xq, přičemž F(x, f(x)) = 0 pro všechna x £ ř7. Funkce y = /(x) je tedy rovností F(x,y) = 0 implicitně definovaná v okolí bodu xq. Pokud Fý(xQ, yo) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje.
Podobné tvrzení platí pro funkci více proměnných, uvedeme si ještě případ pro 3 proměnné: Nechť F(x,y,z): M3 —> M je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [#o> 2/0> ^o], dále F(xo,yo, zo) = 0 a F'z(xq, yo, zq) 7^ 0. Pak existuje spojitá funkce /: M2 —> M definovaná na nějakém okolí U bodu [xo,yo], přičemž F(x,y, f(x,y)) = 0 pro všechna x £ U. Pokud F'z(xq, yo, zq) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje.
Příklad 95. V okolí kterých bodů jednodílného hyperboloidu h o rovnici
x2 y2 z2 a2     b2 c2
nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x, y) ?
2 2
Nápověda. Určete body [xo,yo,^o] na h splňující Fz(xq, yo, zq) = 0, kde F(x,y,z) = % + %
% - 1.
Výsledek. Množina hledaných bodů je elipsa obsahující body [xq, yo, 0], kde ^ + |§- = 1. Příklad 96. V okolí kterých bodů křivky x2 + 2xy — y2 — 8 = 0 nelze vyjádřit y jako funkci
y = f{x)?
Výsledek. [2, 2], [-2,-2].
Příklad 97. V okolí kterých bodů parabolické válcové plochy z2 — 2px = 0, kde p > 0, nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x, y) ?
Výsledek. Všechny body osy y.
15