Matematika III, 7. cvičení Integrální počet funkcí dvou proměnných Pokud lze množinu S C M2 zadat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici (např. x G (a, b)) umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y G (ip(x),ip(x)), pak Výsledek. |. Příklad 114. Vypočtěte //(0i1)x(0i3>[3(x - l)2 + (y - 2)2 + 2] dxdy. Výsledek. 12. Příklad 115. Vypočtěte f*2{2 - xy) áyáx. Výsledek. Příklad 116. Vypočtěte Q(x sin y) dy dx. Výsledek. 1. Příklad 117. Vypočtěte dy dx- po ně3a^ době rozložte na parciální zlomky.) Výsledek. 3 ln 2 — ln 3. Příklad 118. Zaměňte pořadí integrace: jjf f(x, y) dy dx. Výsledek, Jn4 f(x, y) dx dy. 2 7T Příklad 119. Zaměňte pořadí integrace: JQ2 Qmx f(x, y) dy dx. Výsledek. Jo f£csiny f(x, y) dx dy. Příklad 120. Spočítejte /0V 1 [v 2 y2 sin x2 dx dy. Nápověda. Protože integrál / sinx2 dx neumíme vypočítat, zaměňte nejdříve pořadí integrace a pak výsledný integrál spočítejte pomocí substituce t = x2. Výsledek, -g. Příklad 121. Spočítejte I = ffM8ydxdy, kde M = {[x,y] e R2;x > 0,xy > 1,x + y < §}. Nápověda. I = j\ f{ 8ydydx. Příklad 113. Vypočtěte JJ, (0,l>x(-l,2> (x2 + 2xy) dx dy. Výsledek. |. Příklad 122. Spočítejte jfs xy2 dx dy. kde S je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y = x a y = x2. Výsledek. Příklad 123. Spočítejte f[Ax3ydxdy. kde A je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y = x a y = x3. Výsledek. 4*. 19 Transformace souřadnic při integraci Nechť G(x,y): M C M2 —> M2 je prosté, prvky Jacobiho matice G'(x, y) jsou spojité funkce a det G'(x, y) 7^ 0 pro všechna [x, y] G M. Pak pro každou „rozumnou" (přesněji Riemannovsky měřitelnou) množinu K a spojitou funkci /: G{K) —> M platí: f(s,t)dsdt= [í f(G(x,y))\detG'(x,y)\dxdy. G(K) JJK Velmi důležitá je transformace do polárních souřadnic: x = rcosip, y = rsiinp, tj. pro dané r a p> dostaneme bod ve vzdálenosti r od počátku [0,0], přičemž velikost orientovaného úhlu, vedeného v kladném směru (tj. proti směru hodinových ručiček) od osy x k polopřímce začínající v [0, 0] a procházející přes tento bod, je tp. Tedy G(r,p) = [rcos 0, je | det G'(r, p)\ = \r\ = r. Transformace do polárních souřadnic je obvykle výhodná, pokud je množina, přes kterou integrujeme, kruhem, mezikružím, kruhovou výsečí nebo něčím podobným. Někdy je lepší použít transformaci do polárních souřadnic se středem v bodě [a, b] (obvykle v případech, kdy je množina, přes kterou integrujeme, podobná kruhu se středem v bodě [a, b]) místo výše uvedené transformace se středem v bodě [0, 0]: x = r cos p + a, y = r sin p + b. Snadno si můžete ověřit, že jacobián této transformace je opět r. Přípustné hodnoty nových proměnných jsou r G (0, 00), p G (0, 2tt). Zdůrazněme zejména, že transformace při výpočtu integrálů více proměnných vybíráme podle tvaru množiny, přes kterou se integruje, nikoliv podle integrované funkce, jako je tomu u integrálů jedné proměnné! Příklad 124. Pomoct přechodu k polárním souřadnicím zjednodušte dvojný integrál 1= f{Vx2 +y2)dxdy, J J M kde M : x2 + y2 < 1. Výsledek. 2tv Jq r f (r) dr. Příklad 125. Spočítejte integrál V(z - l)2 + (y + l)2 dx dy, M kde M : 1 < (x - l)2 + (y + l)2 < 4. Nápověda. M je mezikruží se středem [1, —1], tudíž použijeme polární souřadnice se středem [1,-1]- Výsledek. ^7r. Příklad 126. Užitím transformace u = xy,y = vx spočtěte I = JJAx2y2 dxdy, kde množina A je ohraničena křivkami xy = |, xy = 2, 2y = x, y = 2x, přičemž x, y > 0. 20 Výsledek. Transformace x = ^/f,y = y/uv,detG'(u,v) = meze: u G (^,2),v G (^,2),/ = — In 2 24 111 z- 2 Příklad 127. Užitím transformace u = xy,v = ^ spočtěte I = JJA ^/ôčydxdy, kde množina A je ohraničena křivkami y2 = 2x, y2 = x, xy = 1, xy = 2. Nápověda. Není potřeba vyjadřovat transformaci G : x = f (u,v),y = g(u,v). Stačí uvažovat inverzní transformaci G-1 : u = xy,v = neboť G o G-1 = id, tudíž detG" • det(G-1)' = det( £ o) = 1 a z toho det G'{ u, v) — det(G~i)'(x y)' Přičemž pravou stranu rovnosti budeme muset převést do proměnných u, v. Výsledek. det(G_1)'(x,y) = %-,det G'(u, v) = ±, meze: u G (1,2), v G (1,2),/ = §(272 -l)ln2. Příklad 128. Vypočtěte integrál ffA 2(x2 + y2) dA, kde A : 1 < x2 + y2 < 4, y > Nápověda. Převeďte do polárních souřadnic. XI. Výsledek, lir. Přiklad 129. Vypočtěte JQ J^—^dydx. Nápověda. Transformujte do polárních souřadnic. Výsledek, ^tt. Obsah plochy, hmotnost, těžiště Integrály můžeme využít například při výpočtu následujících věcí: (1) obsah plochy A je dx dy, 'a (2) hmotná destička mající plochu A a hustotu v bodě [x, y] danou funkcí g(x, y) má hmotnost M = IIa 9^xl ^ dx dy' (3) hmotná destička mající plochu A a hustotu v bodě [x, y] danou funkcí g(x, y) má souřadnice těžiště [xo,yo] dané vztahy x°=iá SSa x9^xi ^dx dy' m=SSa y9^xi ^dx dy' Příklad 130. Určete obsah množiny A ohraničené křivkami x = y2 a x = Ay2 — 3. Výsledek. 4. Příklad 131. Určete obsah rovinného obrazce omezeného křivkami o rovnicích x = 0, y = ^, y = 8 a y = Ax. Výsledek. \ +2 ln 2. Příklad 132. Máme destičku ve tvaru rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka s přeponou délky 1, jejíž hustota je přímo úměrná vzdálenosti od jedné z odvěsen a v protějším vrcholu je rovna 2. Najděte těžiště destičky. 21 Nápověda. Uvažujte trojúhelník s vrcholy [0, 0], [l/\/2, 0], [0, l/y/2}. Výsledek. M = ±,xQ = #ž/o = I(ř " 2 vV dy dx = = Příklad 133. Určete souřadnice těžiště homogenní destičky ohraničené grafy křivek y = x2 a x + y = 2. Výsledek. T = [-i, §]. Příklad 134. Určete souřadnice těžiště destičky, ohraničené grafy křivek y = x2 a x + y = 1, je-li hustota v bodě [x, y] rovna jeho vzdálenosti od osy y. Výsledek. T = [-i, §]. Příklad 135. Určete souřadnice těžiště T kruhové destičky x2 + y2 < a2, kde a > 0, je-li její hustota v daném bodě přímo úměrná vzdálenosti tohoto bodu od bodu [a, 0] (pro výpočet můžeme vzít hustotu rovnu c krát zmíněná vzdálenost). Nápověda. Užijte transformaci x — a = r cos ip, y = rsini^, tj. polární souřadnice se středem [a,0]. Výsledek. M = 2^£, T = [-f, 0]. 22