Cvičení 9: Náhodná veličina, náhodný vektor Teorie: • Náhodná veličina, distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota; • Nezávislost náhodných veličin, náhodný vektor, marginální a sdružené pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce. Příklad 128. Hodíme jedenkrát kostkou, množina elementárních jevů je Q = {ui, u)2, u)3, U5, ujq}. Jevovým polem nechť je A = {0, {u}1} u2}, {u}3,oľq}, Q}. Zjistěte jestli zobrazení X : Q —> IR dané předpisem a) X(uji) = i pro každé i G {1, 2, 3,4, 5, 6}, je náhodnou veličinou vzhledem k A. Příklad 129. Je dáno jevové pole (Í1,A), kde Q = {ui, u2, u)3, 1^5} a A = {0, {^1, U)2}, {u)3}, {U4, U5}, {^1,^2, U3}, {^1,^2, ^4, ^5}, {^3, ^4, ^5}, Najděte nějaké (co nejobecnější) zobrazení X : Q —> IR, které bude náhodnou veličinou vzhledem k A. Příklad 130. Náhodná veličina X nabývá hodnoty i s pravděpodobností P(X = i) = | pro i = 1,..., 6. Zapište distibuční funkci Fx(x) a její graf. Příklad 131. Střelec střílí do terče až do prvního zásahu. Má v zásobě 4 náboje. Pravděpodobnost zásahu je při každém výstřelu rovna 0,6. Nechť náhodná veličina X udává počet nespotřebovaných nábojů. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci X a nakreslete jejich grafy. Příklad 132. Náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci b) xm = x(u2) 2,x(u3) = x(u4) = x(u5) = x(u6) = 3 Určete a) P(X<3) b) P(X>4) c) P(l< X < 4). 1 Příklad 133. Náhodná veličina má distribuční funkci ÍO pro x < 3 \x — \ pro 3 < x < 6 1 pro 6 < x. a) Zdůvodněte, že jde skutečně o distribuční funkci. b) Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X. c) Vypočtěte P(0,25 < X < 0,75). Příklad 134. Náhodná veličina má distribuční funkci ÍO pro x < —2 \ + \ arcsin § pro - 2 < x < 2 1 pro 2 < x. a) Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X. b) Vypočtěte P(-l < X < 1). Příklad 135. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar f{x) = pro x G IR. Určete a) koeficient a, b) distribuční funkci, c) P(-l < X < 1). Příklad 136. Diskrétní náhodný vektor má sdruženou pravděpodobnostní funkci danou tabulkou xY 2 5 6 1 i 1 i 5 10 20 2 1 10 1 20 0 3 3 10 1 20 3 20 Určete a) marginální distribuční a pravděpodobnostní funkce; b) sdruženou distribuční funkci a vhodným způsobem ji znázorněte; 2 c) P(Y>3X). Příklad 137. Určete distribuční funkci náhodného vektoru (X, Y), jehož hustota je f(x y) = J UAx ~ V) Pro 1 < x < 2, 2 < y < 4, ' 0 jinak. Určete dále p (x > 2Y). Příklad 138. Určete marginální distribuční funkce, sdruženou a marginální hustotu náhodného vektoru (X,Y), je-li 0 pro x < 0, y < 0 F(XX)(x,y) = { \x2y2 pro 0 < x < 1, 0 < y < 2 1 pro x > 1, y > 2 Příklad 139. Určete hustotu pravděpodobnosti náhodného vektoru (X,Y), jehož distribuční funkce je {0 pro x < — 1 ^2 (arcsinrr + |)(arctgí/ + |) pro |rr| < 1 i(arctgy + 7p pro x > 1. Určete rovněž marginální hustoty a rozhodněte, jsou-li veličiny laľ nezávislé. Příklad 140. V urně je 14 kuliček - 4 červené, 5 bílých a 5 modrých. Náhodně bez vracení vybereme 6 kuliček. Určete rozložení náhodného vektoru (X,Y), označuje-li X počet tažených červených kuliček a Y počet tažených bílých kuliček. Určete rovněž marginální rozložení veličin laľ. Dále vypočtěte P{X < 3), P(l < Y < 4). Příklad 141. Hustota náhodného vektoru (X,Y,Z) je íc(x + y + z) pro0