f (x. y) =
4 2
x y
x8 -f y
mimo pocätek   f (0,0) = Q^mä v počátku všechny smerové derivace nulové, přitom: zde není spojitá (nebot při konvergenci „po různých parabolách'' dostáváme různé limity).
Ir
i. /l _     (fot iVjŕ
JI
9 29-11:57
1
UterstWS                 Parciální a smĚrové derivace		Pssriv&ee yjíšafcís fůůú, Täy	
GO«OťJ	OOOOOOOÍřOOOOOQ	SSOÍ>OOQÍíOSsO;OQQ	
Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru.
Funkce f : M" —> K. má derivaci ve směru vektoru v £ W v bodě x 6 En, jestliže existuje derivace dvf(x) složeného zobrazení f *-)- f(x -t- fy) v bodě f ^ 0, tj.
dvf(x) = \m-(f(x + tv) - f(x)). Směrovou derivaci v bode x Často značíme rovněž řv(x).
9 29-12:06
Příklad
Určete směrovou derivaci funkce f(x,y) = arctg(x" 4- jr) v bodě [—1. 1] ve směru vektoru (1.2).
9 29-11:58
3
9 29-12:34
4
fi      6c ^ fr« % -»cfrct,,„ t%»i»A - i fr, ŕ-
At*
9 29-12:41
5
Je-li funkce f : M" —> R diferencovatelná v bodě x £ Rn, pa/c je v tomto bodě spojitá.
Pňtffl?; 7 rtfararr™ntalnrtgti f v bodě x plyne
[ f(x + v) - f(x Proto:
a * v
a tedy
lim (f(x 4- v) — fix}) = lim (a - v ~f r(v)) = 0,
lim f(x + v) = f(x).
v~>0
9 29-12:47
6
Nechi f : En ^ R je funkce n proměnných, která má v okofí bodu x e En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál ó f v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (*).
9 29-12:57
7
Příklad
Přímo z definice určete df a funkci r pro f(x.y) — x2 4- y2 v obecném bodě [x*.y%
Kvůli přehlednosti označme /? := dx,   := dy. Pak
f(x*+áx,y* + dy)-f(x*.y*)-.
= (x*4-ft)2 + (y*4-£)2-(x*f
(y*)2 =
Odtud
a r(h. k) = h2 + k2.
9 29-11:58
8
Určete diferenciál v daném bodě: a) f(x,y) = xy + 7 v bodě [L 1]
h) f(x.y) = arcsin   . *     v bodě [L \/3]
yx2+y2
2EEfc.
D^ew^ťjt £ Ar- Vrtí] ix. • (<**
9 29-11:58
9
Přiklad
Spočtěme znovu jednodušeji dřívější příklad a určeme směrovou derivaci funkce f(x.y) - arctg(x2 + y2) v bodě [-1,1] ve směru vektoru (1-2) pomocí diferenciálu.
9 29-11:59
10
Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte:
O 48
a) arcsm ^ ) 1,042'02.
----—     -C*í4        - — s-n
9 29-11:59
11