Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Matematika III – 1. týden Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál, derivace vyšších řádů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 9. 2014 Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a zobrazení Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech 3 Parciální derivace a diferenciál Derivace ve směru vektoru Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce 4 Derivace vyšších řádů Iterované parciální derivace Hessián – aproximace 2. řádu Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Plán přednášky 1 Literatura 2 Funkce a zobrazení Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech 3 Parciální derivace a diferenciál Derivace ve směru vektoru Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce 4 Derivace vyšších řádů Iterované parciální derivace Hessián – aproximace 2. řádu Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Kde je dobré číst? Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Kde je dobré číst? Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně, Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Plán přednášky 1 Literatura 2 Funkce a zobrazení Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech 3 Parciální derivace a diferenciál Derivace ve směru vektoru Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce 4 Derivace vyšších řádů Iterované parciální derivace Hessián – aproximace 2. řádu Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Zobrazení f (x1, x2, . . . , xn) : Rn → R nazýváme funkce více proměnných. Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v „rovině“ E2 = R2 budou značeny f : R2 (x, y) → f (x, y) ∈ R a podobně v „prostoru“ E3 = R3 f : R3 (x, y, z) → f (x, y, z) ∈ R. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Zobrazení f (x1, x2, . . . , xn) : Rn → R nazýváme funkce více proměnných. Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v „rovině“ E2 = R2 budou značeny f : R2 (x, y) → f (x, y) ∈ R a podobně v „prostoru“ E3 = R3 f : R3 (x, y, z) → f (x, y, z) ∈ R. Definiční obor A ⊂ Rn – množina, kde je funkce definována. (Hříčkou pro písemky a úlohy bývá úkol k dané formuli pro funkci najít co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.) Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Graf funkce více proměnných je podmnožina Gf ⊂ Rn × R = Rn+1 definová vztahem Gf = {(x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)); (x1, . . . , xn) ∈ A}, kde A je definiční obor f . Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Graf funkce více proměnných je podmnožina Gf ⊂ Rn × R = Rn+1 definová vztahem Gf = {(x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)); (x1, . . . , xn) ∈ A}, kde A je definiční obor f . Grafem funkce definované v E2 f (x, y) = x + y x2 + y2 je plocha na obrázku, maximálním definičním oborem je E2 \ {(0, 0)}. 3 2 1 0 y-4 -3 -1 -2 -2 -1 0 -2 0 1x 2 2 -3 3 4 Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením Rn, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením Rn, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na Rn standardní skalární součin u · v = n i=1 xi yi , kde u = (x1, . . . , xn) a v = (y1, . . . , yn) jsou libovolné vektory. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením Rn, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na Rn standardní skalární součin u · v = n i=1 xi yi , kde u = (x1, . . . , xn) a v = (y1, . . . , yn) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti P − Q dvojic bodů P, Q předpisem P − Q 2 = u 2 = n i=1 x2 i , kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. E2 je vzdálenost bodů P1 = (x1, y1) a P2 = (x2, y2) dána P1 − P2 2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením Rn, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na Rn standardní skalární součin u · v = n i=1 xi yi , kde u = (x1, . . . , xn) a v = (y1, . . . , yn) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti P − Q dvojic bodů P, Q předpisem P − Q 2 = u 2 = n i=1 x2 i , kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. E2 je vzdálenost bodů P1 = (x1, y1) a P2 = (x2, y2) dána P1 − P2 2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2. Trojúhelníková nerovnost pro každé tři body P, Q, R P − R = (P − Q) + (Q − R) ≤ (P − Q) + (Q − R) . Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En: Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En: Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En: Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost: Pi − P < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti Pi , Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En: Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost: Pi − P < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti Pi , hromadný bod P množiny A ⊂ En: existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En: Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost: Pi − P < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti Pi , hromadný bod P množiny A ⊂ En: existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, uzavřená množina: obsahuje všechny své hromadné body, Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En: Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost: Pi − P < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti Pi , hromadný bod P množiny A ⊂ En: existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, uzavřená množina: obsahuje všechny své hromadné body, otevřená množina: její doplněk je uzavřený, Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En: Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost: Pi − P < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti Pi , hromadný bod P množiny A ⊂ En: existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, uzavřená množina: obsahuje všechny své hromadné body, otevřená množina: její doplněk je uzavřený, otevřené δ–okolí bodu P: množina Oδ(P) = {Q ∈ En; P − Q < δ}, Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition hraniční bod P množiny A: každé δ–okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition hraniční bod P množiny A: každé δ–okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, vnitřní bod P množiny A: existuje δ–okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition hraniční bod P množiny A: každé δ–okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, vnitřní bod P množiny A: existuje δ–okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, ohraničená množina: leží celá v nějakém δ–okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké δ), Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition hraniční bod P množiny A: každé δ–okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, vnitřní bod P množiny A: existuje δ–okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, ohraničená množina: leží celá v nějakém δ–okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké δ), kompaktní množina: uzavřená a ohraničená množina. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Theorem Pro podmnožiny A ⊂ En v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ–okolí, Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Theorem Pro podmnožiny A ⊂ En v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ–okolí, 2 každý bod a ∈ A je buď vnitřní nebo hraniční, Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Theorem Pro podmnožiny A ⊂ En v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ–okolí, 2 každý bod a ∈ A je buď vnitřní nebo hraniční, 3 každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Theorem Pro podmnožiny A ⊂ En v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ–okolí, 2 každý bod a ∈ A je buď vnitřní nebo hraniční, 3 každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, 4 A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Theorem Pro podmnožiny A ⊂ En v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ–okolí, 2 každý bod a ∈ A je buď vnitřní nebo hraniční, 3 každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, 4 A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, 5 A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné pokrytí. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Křivka je zobrazení c : R → En. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Křivka je zobrazení c : R → En. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definition Limita: limt→t0 c(t) ∈ En Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Křivka je zobrazení c : R → En. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definition Limita: limt→t0 c(t) ∈ En Derivace: c (t0) = limt→t0 1 |t−t0| · (c(t) − c(t0)) ∈ Rn Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Křivka je zobrazení c : R → En. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definition Limita: limt→t0 c(t) ∈ En Derivace: c (t0) = limt→t0 1 |t−t0| · (c(t) − c(t0)) ∈ Rn Integrál: b a c(t)dt ∈ Rn. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Křivka je zobrazení c : R → En. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definition Limita: limt→t0 c(t) ∈ En Derivace: c (t0) = limt→t0 1 |t−t0| · (c(t) − c(t0)) ∈ Rn Integrál: b a c(t)dt ∈ Rn. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Křivka je zobrazení c : R → En. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definition Limita: limt→t0 c(t) ∈ En Derivace: c (t0) = limt→t0 1 |t−t0| · (c(t) − c(t0)) ∈ Rn Integrál: b a c(t)dt ∈ Rn. Všimněme si, že zatímco limity existují v En, derivace křivky v En je ve vektorovém prostoru Rn, integrál má smysl jen pro křivku ve vektorovém prostoru Rn! Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Křivka je zobrazení c : R → En. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definition Limita: limt→t0 c(t) ∈ En Derivace: c (t0) = limt→t0 1 |t−t0| · (c(t) − c(t0)) ∈ Rn Integrál: b a c(t)dt ∈ Rn. Všimněme si, že zatímco limity existují v En, derivace křivky v En je ve vektorovém prostoru Rn, integrál má smysl jen pro křivku ve vektorovém prostoru Rn! Limity, derivace i integrály lze spočíst po jednotlivých n souřadných složkách v Rn a stejně se rozpozná i jejich existence. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Analogie souvislosti Riemannova integrálu a primitivních funcí pro křivky: Theorem Je-li c : R → Rn křivka spojitá na intervalu [a, b], pak existuje její Riemannův integrál b a c(t)dt. Navíc je křivka C(t) = t a c(s)ds ∈ Rn dobře definovaná, diferencovatelná a platí C (t) = c(t) pro všechny hodnoty t ∈ [a, b]. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Analogie souvislosti Riemannova integrálu a primitivních funcí pro křivky: Theorem Je-li c : R → Rn křivka spojitá na intervalu [a, b], pak existuje její Riemannův integrál b a c(t)dt. Navíc je křivka C(t) = t a c(s)ds ∈ Rn dobře definovaná, diferencovatelná a platí C (t) = c(t) pro všechny hodnoty t ∈ [a, b]. Věta o střední hodnotě dává existenci čísel ti takových, že ci (b) − ci (a) = (b − a) · ci (ti ). Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit rozdílový vektor koncových bodů c(b) − c(a) jako násobek derivace křivky v jediném bodě. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Např. v rovině E2 pro c(t) = (x(t), y(t)) takto dostáváme c(b) − c(a) = (x (ξ)(b − a), y (η)(b − a)) = (b − a) · (x (ξ), y (η)) pro dvě (obecně různé) hodnoty ξ, η ∈ [a, b]. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Např. v rovině E2 pro c(t) = (x(t), y(t)) takto dostáváme c(b) − c(a) = (x (ξ)(b − a), y (η)(b − a)) = (b − a) · (x (ξ), y (η)) pro dvě (obecně různé) hodnoty ξ, η ∈ [a, b]. Pořád nám ale úvaha stačí na následující odhad Theorem Je-li c křivka v En se spojitou derivací na kompaktním intervalu [a, b], pak pro všechny a ≤ s ≤ t ≤ b platí c(t) − c(s) ≤ √ n maxr∈[a,b] c (r) · |t − s|. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Např. v rovině E2 pro c(t) = (x(t), y(t)) takto dostáváme c(b) − c(a) = (x (ξ)(b − a), y (η)(b − a)) = (b − a) · (x (ξ), y (η)) pro dvě (obecně různé) hodnoty ξ, η ∈ [a, b]. Pořád nám ale úvaha stačí na následující odhad Theorem Je-li c křivka v En se spojitou derivací na kompaktním intervalu [a, b], pak pro všechny a ≤ s ≤ t ≤ b platí c(t) − c(s) ≤ √ n maxr∈[a,b] c (r) · |t − s|. Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R → En v bodě c(t0) ∈ En – vektor c (t0) ∈ Rn v prostoru zaměření Rn daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(t0) + τ · c (t0) je tečna ke křivce c v bodě t0, nezávisí na parametrizaci křivky c. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Plán přednášky 1 Literatura 2 Funkce a zobrazení Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech 3 Parciální derivace a diferenciál Derivace ve směru vektoru Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce 4 Derivace vyšších řádů Iterované parciální derivace Hessián – aproximace 2. řádu Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Funkce f : Rn → R má derivaci ve směru vektoru v ∈ Rn v bodě x ∈ En, jestliže existuje derivace dv f (x) složeného zobrazení t → f (x + tv) v bodě t = 0, tj. dv f (x) = lim t→0 1 t (f (x + tv) − f (x)). Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Funkce f : Rn → R má derivaci ve směru vektoru v ∈ Rn v bodě x ∈ En, jestliže existuje derivace dv f (x) složeného zobrazení t → f (x + tv) v bodě t = 0, tj. dv f (x) = lim t→0 1 t (f (x + tv) − f (x)). Speciální volbou přímek ve směru souřadných os dostáváme tzv. parciální derivace funkce f , které značíme ∂f ∂xi , i = 1, . . . , n, nebo bez odkazu na samotnou fukci jako operace ∂ ∂xi . Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Funkce f : Rn → R má derivaci ve směru vektoru v ∈ Rn v bodě x ∈ En, jestliže existuje derivace dv f (x) složeného zobrazení t → f (x + tv) v bodě t = 0, tj. dv f (x) = lim t→0 1 t (f (x + tv) − f (x)). Speciální volbou přímek ve směru souřadných os dostáváme tzv. parciální derivace funkce f , které značíme ∂f ∂xi , i = 1, . . . , n, nebo bez odkazu na samotnou fukci jako operace ∂ ∂xi . Pro funkce v E2 dostáváme ∂ ∂x f (x, y) = lim t→0 1 t (f (x + t, y) − f (x, y)), ∂ ∂y f (x, y) = lim t→0 1 t (f (x, y + t) − f (x, y)). Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Example Se samotnými parciálními nebo směrovými derivacemi nevystačíme pro dobrou aproximaci chování funkce lineárními výrazy: g(x, y) = 1 když xy = 0 0 jinak , h(x, y) = 1 když y = x2 = 0 0 jinak . Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Example Se samotnými parciálními nebo směrovými derivacemi nevystačíme pro dobrou aproximaci chování funkce lineárními výrazy: g(x, y) = 1 když xy = 0 0 jinak , h(x, y) = 1 když y = x2 = 0 0 jinak . Žádná z nich neprodlužuje všechny hladké křivky procházející bodem (0, 0) na hladké křivky. Pro g existují obě parciální derivace v (0, 0) a jiné směrové derivace neexistují, zatímco pro h existují všechny směrové derivace v bodě (0, 0) a platí dv h(0) = 0 pro všechny směry v, takže jde o lineární závislost na v ∈ R2. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definition Funkce f : Rn → R je diferencovatelná v bodě x, jestliže 1 v bodě x existují všechny směrové derivace dv f (x), v ∈ Rn, 2 dv f (x) je lineární v závislosti na přírůstku v a 3 0 = limv→0 1 v f (x + v) − f (x) − dv f (x) . Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definition Funkce f : Rn → R je diferencovatelná v bodě x, jestliže 1 v bodě x existují všechny směrové derivace dv f (x), v ∈ Rn, 2 dv f (x) je lineární v závislosti na přírůstku v a 3 0 = limv→0 1 v f (x + v) − f (x) − dv f (x) . Lineární výraz dv f (závislý na vektorové proměnné v) nazýváme diferenciál funkce f vyčíslený na přírůstku v. V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f . Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Uvažujme f : E2 → R se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě (x0, y0) je lineární funkce df : R2 → R df = ∂f ∂x dx + ∂f ∂y dy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Uvažujme f : E2 → R se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě (x0, y0) je lineární funkce df : R2 → R df = ∂f ∂x dx + ∂f ∂y dy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně df = ∂f ∂x1 dx1 + ∂f ∂x2 dx2 + · · · + ∂f ∂xn dxn (∗) a platí: Theorem Nechť f : En → R je funkce n proměnných, která má v okolí bodu x ∈ En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál df v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (∗). Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Funkce třídy C1 Definition Říkáme, že funkce f : Rn → R je třídy C1 na množině A, jestliže má ve všech bodech množiny A spojité parciální derivace. Píšeme f ∈ C1(A). Viděli jsme, že funkce v C1(A) mají na A diferenciál, tj. jsou na A diferencovatelné. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Pro f : E2 → R a pevný bod (x0, y0) ∈ E2 uvažme rovinu v E3: z = f (x0, y0) + ∂f ∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0). Je to jediná rovina procházející (x0, y0), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f . Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Pro f : E2 → R a pevný bod (x0, y0) ∈ E2 uvažme rovinu v E3: z = f (x0, y0) + ∂f ∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0). Je to jediná rovina procházející (x0, y0), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f . Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f (x, y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(t) = (t, t, f (t, t)). 0 1 2 3 x 0 -2 4 1 2 -1 5 3 4 0 y 5 6 6 1 2 0 1 2 3 x 0 -2 4 1 2 -1 5 3 4 0 y 5 6 6 1 2 Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Obecně pro f : En → R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+1. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Obecně pro f : En → R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+1. Tato nadrovina 1 prochází bodem (x, f (x)) 2 její zaměření je grafem lineárního zobrazení df (x) : Rn → R, tj. diferenciálu v bodě x ∈ En. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Obecně pro f : En → R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+1. Tato nadrovina 1 prochází bodem (x, f (x)) 2 její zaměření je grafem lineárního zobrazení df (x) : Rn → R, tj. diferenciálu v bodě x ∈ En. Analogie s funkcemi jedné proměnné: Diferencovatelná funkce f na En má v bodě x ∈ En nulový diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou procházející tímto bodem zde má stacionární bod. To ovšem neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň lokálně buď maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné proměnné můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Funkce f : Rn → R je diferencovatelná v bodě x, jestliže 1 v bodě x existují všechny směrové derivace dv f (x), v ∈ Rn, 2 dv f (x) je lineární v závislosti na přírůstku v a 3 0 = limv→0 1 v f (x + v) − f (x) − dv f (x) . Theorem Nechť f : En → R je funkce n proměnných, která má v okolí bodu x ∈ En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál df v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí df = ∂f ∂x1 dx1 + ∂f ∂x2 dx2 + · · · + ∂f ∂xn dxn. (∗) Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Diferenciál zadává tečné (nad)roviny funkce n proměnných. 0 1 2 3 x 0 -2 4 1 2 -1 5 3 4 0 y 5 6 6 1 2 0 1 2 3 x 0 -2 4 1 2 -1 5 3 4 0 y 5 6 6 1 2 Graf funkce f (x, y) = sin(x) cos(y), červená čára je obrazem křivky c(t) = (t, t, f (t, t)). Diferencovatelná funkce f na En v bodě x ∈ En má nulový diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou procházející tímto bodem zde má stacionární bod. To ovšem neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň lokálně buď maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné proměnné můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Plán přednášky 1 Literatura 2 Funkce a zobrazení Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech 3 Parciální derivace a diferenciál Derivace ve směru vektoru Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce 4 Derivace vyšších řádů Iterované parciální derivace Hessián – aproximace 2. řádu Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Pro pevný přírůstek v ∈ Rn je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět (diferenciální) operace na funkcích f : En → R f → dv f = df (v). Výsledkem je df (v) : En → R. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme iterovat. Pro parciální derivace druhého řádu píšeme ( ∂ ∂xj ◦ ∂ ∂xi )f = ∂2 ∂xi ∂xj f = ∂2f ∂xi ∂xj v případě opakované volby i = j píšeme také ( ∂ ∂xi ◦ ∂ ∂xi )f = ∂2 ∂x2 i f = ∂2f ∂x2 i . Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích k-tého řádu ∂kf ∂xi1 . . . ∂xik . Theorem Nechť f : En → R je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu x ∈ Rn. Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Definition Je-li f : Rn → R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce, nazýváme symetrickou matici funkcí Hf (x) = ∂2f ∂xi ∂xj (x) =    ∂2f ∂x1∂x1 (x) . . . ∂2f ∂x1∂xn (x) ... ... ... ∂2f ∂xn∂x1 (x) . . . ∂2f ∂xn∂xn (x)    Hessián funkce f v bodě x. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Pro křivku c(t) = (x(t), y(t)) = (x0 + ξt, y0 + ηt) mají funkce α(t) = f (x(t), y(t)) β(t) = f (x0, y0) + t · ∂f ∂x (x0, y0)ξ + ∂f ∂y (x0, y0)η + 1 2 t2 fxx (x0, y0)ξ2 + 2fxy (x0, y0)ξη + fyy (x0, y0)η2 stejné derivace do druhého řádu včetně. Funkci β píšeme vektorově: β(t) = f (x0, y0) + tdf (x0, y0) · ξ η + 1 2 t2 (ξ η) · Hf (x0, y0) · ξ η nebo β(t) = f (x0, y0) + tdf (x0, y0)(v) + 1 2 t2Hf (x0, y0)(v, v), kde v = (ξ, η) = c (t) je přírůstek zadaný derivací křivky c(t) a Hessián symetrická 2–forma. Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! 6 5 4 x 3 2 1 0 0 1 2 3 4 y 5 6-2 -1 0 1 2 6 5 4 x 3 2 1 0 0 1 2 3 4 y 5 6-2 -1 0 1 2 Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f (x, y) = sin(x) cos(y). Obecně pro funkce f : En → R, body x = (x1, . . . , x2) ∈ En a přírůstky v = (ξ1, . . . , ξn) klademe Dk f (x)(v) = 1≤i1,...,ik ≤n ∂kf ∂xi1 . . . ∂xik (x1, . . . , xn) · ξi1 · · · ξik . Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Ukažme ve dvou proměnných: Tečná rovina: f (x0, y0) + D1(x0, y0)(x − x0, y − y0) Aproximace pomocí hesiánu: f (x0, y0) + D1(x0, y0)(x − x0, y − y0) + 1 2 D2(x0, y0)f (x − x0, y − y0) výraz třetího řádu D3 f (x, y)(ξ, η) = ∂3f ∂x3 ξ3 + 3 ∂3f ∂x2∂y ξ2 η + 3 ∂3f ∂x∂y2 ξη2 + ∂3f ∂y3 η3 a obecně Dk f (x, y)(ξ, η) = k =0 k ∂kf ∂xk− ∂y ξk− η .