Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Matematika III – 2. týden Taylorův rozvoj, derivace složených zobrazení, věta o inverzi Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. – 26. září 2014 Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Obsah přednášky 1 Literatura 2 Taylorova věta Derivace a diferenciál (připomenutí) Lokální extrémy funkcí více proměnných 3 Zobrazení mezi euklidovskými prostory Zobrazení a transformace „Chain Rule“ 4 Věta o inverzním zobrazení Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Plán přednášky 1 Literatura 2 Taylorova věta Derivace a diferenciál (připomenutí) Lokální extrémy funkcí více proměnných 3 Zobrazení mezi euklidovskými prostory Zobrazení a transformace „Chain Rule“ 4 Věta o inverzním zobrazení Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Kde je dobré číst? Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně, Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Plán přednášky 1 Literatura 2 Taylorova věta Derivace a diferenciál (připomenutí) Lokální extrémy funkcí více proměnných 3 Zobrazení mezi euklidovskými prostory Zobrazení a transformace „Chain Rule“ 4 Věta o inverzním zobrazení Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Definition Funkce f : Rn → R je diferencovatelná v bodě x, jestliže 1 v bodě x existují všechny směrové derivace dv f (x), v ∈ Rn, 2 dv f (x) je lineární v závislosti na přírůstku v a 3 0 = limv→0 1 v f (x + v) − f (x) − dv f (x) . Theorem Nechť f : En → R je funkce n proměnných, která má v okolí bodu x ∈ En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál df v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí df = ∂f ∂x1 dx1 + ∂f ∂x2 dx2 + · · · + ∂f ∂xn dxn. (∗) Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Theorem Nechť f : En → R je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu x ∈ Rn. Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Definition Je-li f : Rn → R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce, nazýváme symetrickou matici funkcí Hf (x) = ∂2f ∂xi ∂xj (x) =    ∂2f ∂x1∂x1 (x) . . . ∂2f ∂x1∂xn (x) ... ... ... ∂2f ∂xn∂x1 (x) . . . ∂2f ∂xn∂xn (x)    Hessián funkce f v bodě x. Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! 6 5 4 x 3 2 1 0 0 1 2 3 4 y 5 6-2 -1 0 1 2 6 5 4 x 3 2 1 0 0 1 2 3 4 y 5 6-2 -1 0 1 2 Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f (x, y) = sin(x) cos(y). Obecně pro funkce f : En → R, body x = (x1, . . . , x2) ∈ En a přírůstky v = (ξ1, . . . , ξn) klademe Dk f (x)(v) = 1≤i1,...,ik ≤n ∂kf ∂xi1 . . . ∂xik (x1, . . . , xn) · ξi1 · · · ξik . Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Ukažme ve dvou proměnných: Tečná rovina: f (x0, y0) + D1(x0, y0)(x − x0, y − y0) Aproximace pomocí hesiánu: f (x0, y0) + D1(x0, y0)(x − x0, y − y0) + 1 2 D2(x0, y0)f (x − x0, y − y0) výraz třetího řádu D3 f (x, y)(ξ, η) = ∂3f ∂x3 ξ3 + 3 ∂3f ∂x2∂y ξ2 η + 3 ∂3f ∂x∂y2 ξη2 + ∂3f ∂y3 η3 a obecně Dk f (x, y)(ξ, η) = k =0 k ∂kf ∂xk− ∂y ξk− η . Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Theorem (Taylorův rozvoj se zbytkem) Nechť f : En → R je k–krát diferencovatelná funkce v okolí Oδ(x) bodu x ∈ En. Pro každý přírůstek v ∈ Rn s velikostí v < δ pak existuje číslo 0 ≤ θ ≤ 1 takové, že f (x + v) = f (x) + D1 f (x)(v) + · · · + 1 (k − 1)! Dk−1 f (x)(v) + 1 k! Dk f (x + θ · v)(v). Náznak důkazu: Pro přírůstek v ∈ Rn volíme c(t) = x + tv v En a zkoumáme ϕ : R → R definovanou složením ϕ(t) = f ◦ c(t). Taylorova věta pro funkce jedné proměnné říká: ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ (0)t + · · · + 1 (k − 1)! ϕ(k−1) (0)tk−1 + 1 k! ϕ(k) (θ)tk . Zbývá nám tedy jen ověřit, že postupným derivováním složené funkce ϕ dostaneme právě požadovaný vztah. To lze provést indukcí přes řád k. Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Definition Vnitřní bod x0 ∈ En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem nebo minimem, jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x ∈ U splňuje funkční hodnota f (x) ≤ f (x0) nebo f (x) ≥ f (x0). Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x = x0, hovoříme o ostrém extrému. Vnitřní bod x ∈ En definičního oboru funkce f , ve kterém je diferenciál df (x) nulový nazýváme stacionární bod funkce f . Nutnou podmínkou pro existenci maxima nebo minima v bodě x0 je vymizení diferenciálu v tomto bodě, tj. df (x0) = 0. Skutečně, pokud je df (x0) = 0, pak existuje směr v, ve kterém je dv f (x0) = 0. Pak ovšem nutně je podél přímky x0 + tv na jednu stranu od bodu x0 hodnota funkce roste a na druhou klesá. Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Už na minulé přednášce jsme počítali s funkcí f (x, y) = sin(x) cos(y), která připomíná známá kartonová plata na vajíčka 00 -1 22 -0,5 44 0 66 0,5 8 8 1 Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Spočtěme si první a poté druhé derivace: fx (x, y) = cos(x) cos(y), fy (x, y) = − sin(x) sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů 1 cos(x) = 0, sin(y) = 0, to je (x, y) = (2k+1 2 π, π), pro libovolné k, ∈ Z 2 cos(x) = 0, sin(y) = 0, to je (x, y) = (kπ, 2 +1 2 π), pro libovolné k, ∈ Z. Druhé parciální derivace jsou Hf (x, y) = fxx fxy fxy fyy (x, y) = − sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y) − cos(x) sin(y) − sin(x) cos(y) Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: 1 Hf (kπ + π 2 , π) = ± 1 0 0 1 , přičemž znaménko + nastává, když parity k a jsou stejné a naopak pro −, 2 Hf (kπ, π + π 2 ) = ± 0 1 1 0 , přičemž znaménko + nastává, když parity k a jsou stejné a naopak pro −. Taylorova věta pro řád k = 2 dává okolí stacionárních bodů (x0, y0) f (x, y) = f (x0, y0)+ 1 2 Hf (x0+θ(x−x0), y0+θ(y−y0))(x−x0, y−y0), kde Hf nyní vnímáme jako kvadratickou formu vyčíslenou na přírůstku (x − x0, y − y0). nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x0, y0) patří do první skupiny se stejnými paritami k a . Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. Naopak, hessián u druhé skupiny bodů se vyčíslí kladně na některých přírůstcích a záporně na jiných. Stejně se proto bude chovat i celá funkce f v okolí. Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Definition Kvadratická forma h : En → R je positivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u = 0 positivně semidefinitní, je-li h(u) ≥ 0 pro všechny u ∈ V negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u = 0 negativně semidefinitní, je-li h(u) ≤ 0 pro všechny u ∈ V indefinitní, je-li h(u) > 0 a f (v) < 0 pro vhodné u, v ∈ V . 1. semestr → metody, které umožňují přímo zjistit, zda daná forma má některou z těchto vlastností. (Zejména Sylverstrovo kritérium.) Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Theorem Nechť f : En → R je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a x ∈ En nechť je stacionární bod funkce f . Potom 1 f má v x ostré lokální minimum, je-li Hf (x) positivně definitní, 2 f má v x ostré lokální maximum, je-li Hf (x) negativně definitní, 3 f nemá v bodě x lokální extrém je-li Hf (x) indefinitní. Všimněme si, že věta nedává žádný výsledek, pokud je hessián funkce ve zkoumaném bodě degenerovaný a přitom není indefinitní. Důvod je opět stejný jako u funkcí jedné proměnné. V takových případech totiž existují směry, ve kterých první i druhá derivace zmizí a my proto v tomto řádu přiblížení neumíme poznat, zda se funkce bude chovat jako t3 nebo jako ±t4 dokud nespočteme alespoň v potřebných směrech derivace vyšší. Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Plán přednášky 1 Literatura 2 Taylorova věta Derivace a diferenciál (připomenutí) Lokální extrémy funkcí více proměnných 3 Zobrazení mezi euklidovskými prostory Zobrazení a transformace „Chain Rule“ 4 Věta o inverzním zobrazení Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Zobrazení F : En → Em je při zvolených kartézských souřadnicích na obou stranách obyčejná m–tice F(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)) funkcí fi : En → R. Řekneme, že F je diferencovatelné nebo spojitě diferencovatelné zobrazení, jestliže tuto vlastnost mají všechny funkce f1, . . . , fm. Diferencovatelná zobrazení F : En → En, která mají inverzní zobrazení G : En → En definované na celém svém obrazu, se nazývají (diferencovatelné) transformace. Příkladem transformace je přechod mezi kartézkými a polárními souřadnicemi. (Pozor na definiční obor.) Lineární zobrazení D1fi (x) : Rn → R lineárně aproximují přírůstky jednotlivých komponent fi . Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Definition D1 F(x) =      df1(x) df2(x) ... dfm(x)      =       ∂f1 ∂x1 ∂f1 ∂x2 . . . ∂f1 ∂xn ∂f2 ∂x1 ∂f2 ∂x2 . . . ∂f2 ∂xn ... ... ... ... ∂fm ∂x1 ∂fm ∂x2 . . . ∂fm ∂xn       (x) se nazývá Jacobiho matice zobrazení F v bodě x. Lineární zobrazení D1F(x) definované na přírůstcích v = (v1, . . . , vn) pomocí stejně značené Jacobiho matice nazýváme diferenciál zobrazení F v bodě x z definičního oboru, jestliže lim v→0 1 v F(x + v) − F(x) − D1 F(x)(v) = 0. Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Důsledek Věty o existenci diferenciálu pro funkce n proměnných je: Theorem Nechť F : En → Em je zobrazení, jehož všechny souřadné funkce mají spojité parciální derivace v okolí bodu x ∈ En. Pak existuje diferenciál D1F(x) zadaný Jacobiho maticí. Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Theorem Nechť F : En → Em a G : Em → Er jsou dvě diferencovatelná zobrazení, přičemž definiční obor G obsahuje celý obor hodnot F. Pak také složené zobrazení G ◦ F je diferencovatelné a jeho diferenciál je v každém bodě z definičního obodu F kompozicí diferenciálů D1 (G ◦ F)(x) = D1 G(F(x)) ◦ D1 F(x). Příslušná Jacobiho matice je dána součinem příslušných Jacobiho matic. Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Polární souřadnice vzniknou z kartézských transformací F : R2 → R2, kterou v souřadnicích (x, y) a (r, ϕ) zapíšeme: r = x2 + y2, ϕ = arctan y x . Funkci gt : E2 → R v polárních souřadnicích g(r, ϕ, t) = sin(r-t) . Funkce nám docela dobře přibližuje vlnění povrchu hladiny po bodovém vzruchu v počátku v čase t: Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Derivace v kartézských souřadnicích: ∂g ∂x (x, y, t) = ∂g ∂r (r, ϕ) ∂r ∂x (x, y) + ∂g ∂ϕ (r, ϕ) ∂ϕ ∂x (x, y) = cos( x2 + y2 − t) x x2 + y2 + 0 a podobně ∂g ∂y (x, y, t) = ∂g ∂r (r, ϕ) ∂r ∂y (x, y) + ∂g ∂ϕ (r, ϕ) ∂ϕ ∂y (x, y) = cos( x2 + y2 − t) y x2 + y2 . Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Plán přednášky 1 Literatura 2 Taylorova věta Derivace a diferenciál (připomenutí) Lokální extrémy funkcí více proměnných 3 Zobrazení mezi euklidovskými prostory Zobrazení a transformace „Chain Rule“ 4 Věta o inverzním zobrazení Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení Theorem Nechť F : En → En je spojitě diferencovatelné zobrazení na nějakém okolí bodu x0 ∈ En a nechť je Jacobiho matice D1f (x0) invertibilní. Pak na nějakém okolí bodu x0 existuje inverzní zobrazení F−1 a jeho diferenciál v bodě F(x0) je inverzním zobrazením k D1F(x0), tzn. je zadán inverzní maticí k Jacobiho matici zobrazení F v bodě x0.