Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Matematika III – 2. týden
Taylorův rozvoj, derivace složených zobrazení, věta
o inverzi
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
22. – 26. září 2014
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Taylorova věta
Derivace a diferenciál (připomenutí)
Lokální extrémy funkcí více proměnných
3 Zobrazení mezi euklidovskými prostory
Zobrazení a transformace
„Chain Rule“
4 Věta o inverzním zobrazení
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Plán přednášky
1 Literatura
2 Taylorova věta
Derivace a diferenciál (připomenutí)
Lokální extrémy funkcí více proměnných
3 Zobrazení mezi euklidovskými prostory
Zobrazení a transformace
„Chain Rule“
4 Věta o inverzním zobrazení
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Kde je dobré číst?
Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet
funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999,
273 s.
J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně,
Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice
www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Plán přednášky
1 Literatura
2 Taylorova věta
Derivace a diferenciál (připomenutí)
Lokální extrémy funkcí více proměnných
3 Zobrazení mezi euklidovskými prostory
Zobrazení a transformace
„Chain Rule“
4 Věta o inverzním zobrazení
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Definition
Funkce f : Rn → R je diferencovatelná v bodě x, jestliže
1 v bodě x existují všechny směrové derivace dv f (x), v ∈ Rn,
2 dv f (x) je lineární v závislosti na přírůstku v a
3 0 = limv→0
1
v f (x + v) − f (x) − dv f (x) .
Theorem
Nechť f : En → R je funkce n proměnných, která má v okolí bodu
x ∈ En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál df v
bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí
df =
∂f
∂x1
dx1 +
∂f
∂x2
dx2 + · · · +
∂f
∂xn
dxn. (∗)
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Theorem
Nechť f : En → R je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými
parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu x ∈ Rn.
Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování.
Definition
Je-li f : Rn → R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce,
nazýváme symetrickou matici funkcí
Hf (x) =
∂2f
∂xi ∂xj
(x) =



∂2f
∂x1∂x1
(x) . . . ∂2f
∂x1∂xn
(x)
...
...
...
∂2f
∂xn∂x1
(x) . . . ∂2f
∂xn∂xn
(x)



Hessián funkce f v bodě x.
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné!
6
5
4 x
3
2
1
0
0
1
2
3
4 y
5
6-2
-1
0
1
2
6
5
4 x
3
2
1
0
0
1
2
3
4 y
5
6-2
-1
0
1
2
Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro
funkci f (x, y) = sin(x) cos(y).
Obecně pro funkce f : En → R, body x = (x1, . . . , x2) ∈ En a
přírůstky v = (ξ1, . . . , ξn) klademe
Dk
f (x)(v) =
1≤i1,...,ik ≤n
∂kf
∂xi1 . . . ∂xik
(x1, . . . , xn) · ξi1 · · · ξik
.
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Ukažme ve dvou proměnných:
Tečná rovina: f (x0, y0) + D1(x0, y0)(x − x0, y − y0)
Aproximace pomocí hesiánu:
f (x0, y0) + D1(x0, y0)(x − x0, y − y0) + 1
2 D2(x0, y0)f (x − x0, y − y0)
výraz třetího řádu
D3
f (x, y)(ξ, η) =
∂3f
∂x3
ξ3
+ 3
∂3f
∂x2∂y
ξ2
η + 3
∂3f
∂x∂y2
ξη2
+
∂3f
∂y3
η3
a obecně
Dk
f (x, y)(ξ, η) =
k
=0
k ∂kf
∂xk− ∂y
ξk−
η .
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Theorem (Taylorův rozvoj se zbytkem)
Nechť f : En → R je k–krát diferencovatelná funkce v okolí Oδ(x)
bodu x ∈ En. Pro každý přírůstek v ∈ Rn s velikostí v < δ pak
existuje číslo 0 ≤ θ ≤ 1 takové, že
f (x + v) = f (x) + D1
f (x)(v) + · · · +
1
(k − 1)!
Dk−1
f (x)(v)
+
1
k!
Dk
f (x + θ · v)(v).
Náznak důkazu: Pro přírůstek v ∈ Rn volíme c(t) = x + tv v En a
zkoumáme ϕ : R → R definovanou složením ϕ(t) = f ◦ c(t).
Taylorova věta pro funkce jedné proměnné říká:
ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ (0)t + · · · +
1
(k − 1)!
ϕ(k−1)
(0)tk−1
+
1
k!
ϕ(k)
(θ)tk
.
Zbývá nám tedy jen ověřit, že postupným derivováním složené
funkce ϕ dostaneme právě požadovaný vztah. To lze provést
indukcí přes řád k.
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Definition
Vnitřní bod x0 ∈ En definičního oboru funkce f je (lokálním)
maximem nebo minimem, jestliže existuje jeho okolí U takové, že
pro všechny body x ∈ U splňuje funkční hodnota f (x) ≤ f (x0)
nebo f (x) ≥ f (x0). Pokud nastává v předchozích nerovnostech
ostrá nerovnost pro všechny x = x0, hovoříme o ostrém extrému.
Vnitřní bod x ∈ En definičního oboru funkce f , ve kterém je
diferenciál df (x) nulový nazýváme stacionární bod funkce f .
Nutnou podmínkou pro existenci maxima nebo minima v bodě x0 je
vymizení diferenciálu v tomto bodě, tj. df (x0) = 0. Skutečně,
pokud je df (x0) = 0, pak existuje směr v, ve kterém je
dv f (x0) = 0. Pak ovšem nutně je podél přímky x0 + tv na jednu
stranu od bodu x0 hodnota funkce roste a na druhou klesá.
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Už na minulé přednášce jsme počítali s funkcí
f (x, y) = sin(x) cos(y), která připomíná známá kartonová plata na
vajíčka
00
-1
22
-0,5
44
0
66
0,5
8 8
1
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Spočtěme si první a poté druhé derivace:
fx (x, y) = cos(x) cos(y), fy (x, y) = − sin(x) sin(y),
takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů
1 cos(x) = 0, sin(y) = 0, to je (x, y) = (2k+1
2 π, π), pro
libovolné k, ∈ Z
2 cos(x) = 0, sin(y) = 0, to je (x, y) = (kπ, 2 +1
2 π), pro
libovolné k, ∈ Z.
Druhé parciální derivace jsou
Hf (x, y) =
fxx fxy
fxy fyy
(x, y) =
− sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y)
− cos(x) sin(y) − sin(x) cos(y)
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány:
1 Hf (kπ + π
2 , π) = ±
1 0
0 1
, přičemž znaménko + nastává,
když parity k a jsou stejné a naopak pro −,
2 Hf (kπ, π + π
2 ) = ±
0 1
1 0
, přičemž znaménko + nastává,
když parity k a jsou stejné a naopak pro −.
Taylorova věta pro řád k = 2 dává okolí stacionárních bodů (x0, y0)
f (x, y) = f (x0, y0)+
1
2
Hf (x0+θ(x−x0), y0+θ(y−y0))(x−x0, y−y0),
kde Hf nyní vnímáme jako kvadratickou formu vyčíslenou na
přírůstku (x − x0, y − y0). nastane lokální maximum tehdy a jen
tehdy, když náš bod (x0, y0) patří do první skupiny se stejnými
paritami k a . Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny
bude naopak bodem lokálního minima. Naopak, hessián u druhé
skupiny bodů se vyčíslí kladně na některých přírůstcích a záporně
na jiných. Stejně se proto bude chovat i celá funkce f v okolí.
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Definition
Kvadratická forma h : En → R je
positivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u = 0
positivně semidefinitní, je-li h(u) ≥ 0 pro všechny u ∈ V
negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u = 0
negativně semidefinitní, je-li h(u) ≤ 0 pro všechny u ∈ V
indefinitní, je-li h(u) > 0 a f (v) < 0 pro vhodné u, v ∈ V .
1. semestr → metody, které umožňují přímo zjistit, zda daná forma
má některou z těchto vlastností. (Zejména Sylverstrovo kritérium.)
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Theorem
Nechť f : En → R je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a
x ∈ En nechť je stacionární bod funkce f . Potom
1 f má v x ostré lokální minimum, je-li Hf (x) positivně definitní,
2 f má v x ostré lokální maximum, je-li Hf (x) negativně
definitní,
3 f nemá v bodě x lokální extrém je-li Hf (x) indefinitní.
Všimněme si, že věta nedává žádný výsledek, pokud je hessián
funkce ve zkoumaném bodě degenerovaný a přitom není indefinitní.
Důvod je opět stejný jako u funkcí jedné proměnné. V takových
případech totiž existují směry, ve kterých první i druhá derivace
zmizí a my proto v tomto řádu přiblížení neumíme poznat, zda se
funkce bude chovat jako t3 nebo jako ±t4 dokud nespočteme
alespoň v potřebných směrech derivace vyšší.
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Plán přednášky
1 Literatura
2 Taylorova věta
Derivace a diferenciál (připomenutí)
Lokální extrémy funkcí více proměnných
3 Zobrazení mezi euklidovskými prostory
Zobrazení a transformace
„Chain Rule“
4 Věta o inverzním zobrazení
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Zobrazení F : En → Em je při zvolených kartézských souřadnicích
na obou stranách obyčejná m–tice
F(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))
funkcí fi : En → R. Řekneme, že F je diferencovatelné nebo spojitě
diferencovatelné zobrazení, jestliže tuto vlastnost mají všechny
funkce f1, . . . , fm.
Diferencovatelná zobrazení F : En → En, která mají inverzní
zobrazení G : En → En definované na celém svém obrazu, se
nazývají (diferencovatelné) transformace. Příkladem
transformace je přechod mezi kartézkými a polárními souřadnicemi.
(Pozor na definiční obor.)
Lineární zobrazení D1fi (x) : Rn → R lineárně aproximují přírůstky
jednotlivých komponent fi .
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Definition
D1
F(x) =





df1(x)
df2(x)
...
dfm(x)





=






∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
. . . ∂f1
∂xn
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
. . . ∂f2
∂xn
...
...
...
...
∂fm
∂x1
∂fm
∂x2
. . . ∂fm
∂xn






(x)
se nazývá Jacobiho matice zobrazení F v bodě x. Lineární
zobrazení D1F(x) definované na přírůstcích v = (v1, . . . , vn)
pomocí stejně značené Jacobiho matice nazýváme diferenciál
zobrazení F v bodě x z definičního oboru, jestliže
lim
v→0
1
v
F(x + v) − F(x) − D1
F(x)(v) = 0.
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Důsledek Věty o existenci diferenciálu pro funkce n proměnných je:
Theorem
Nechť F : En → Em je zobrazení, jehož všechny souřadné funkce
mají spojité parciální derivace v okolí bodu x ∈ En. Pak existuje
diferenciál D1F(x) zadaný Jacobiho maticí.
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Theorem
Nechť F : En → Em a G : Em → Er jsou dvě diferencovatelná
zobrazení, přičemž definiční obor G obsahuje celý obor hodnot F.
Pak také složené zobrazení G ◦ F je diferencovatelné a jeho
diferenciál je v každém bodě z definičního obodu F kompozicí
diferenciálů
D1
(G ◦ F)(x) = D1
G(F(x)) ◦ D1
F(x).
Příslušná Jacobiho matice je dána součinem příslušných Jacobiho
matic.
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Polární souřadnice vzniknou z kartézských transformací
F : R2 → R2, kterou v souřadnicích (x, y) a (r, ϕ) zapíšeme:
r = x2 + y2, ϕ = arctan
y
x
.
Funkci gt : E2 → R v polárních souřadnicích
g(r, ϕ, t) = sin(r-t) .
Funkce nám docela dobře přibližuje vlnění povrchu hladiny po
bodovém vzruchu v počátku v čase t:
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Derivace v kartézských souřadnicích:
∂g
∂x
(x, y, t) =
∂g
∂r
(r, ϕ)
∂r
∂x
(x, y) +
∂g
∂ϕ
(r, ϕ)
∂ϕ
∂x
(x, y)
= cos( x2 + y2 − t)
x
x2 + y2
+ 0
a podobně
∂g
∂y
(x, y, t) =
∂g
∂r
(r, ϕ)
∂r
∂y
(x, y) +
∂g
∂ϕ
(r, ϕ)
∂ϕ
∂y
(x, y)
= cos( x2 + y2 − t)
y
x2 + y2
.
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Plán přednášky
1 Literatura
2 Taylorova věta
Derivace a diferenciál (připomenutí)
Lokální extrémy funkcí více proměnných
3 Zobrazení mezi euklidovskými prostory
Zobrazení a transformace
„Chain Rule“
4 Věta o inverzním zobrazení
Literatura Taylorova věta Zobrazení mezi euklidovskými prostory Věta o inverzním zobrazení
Theorem
Nechť F : En → En je spojitě diferencovatelné zobrazení na
nějakém okolí bodu x0 ∈ En a nechť je Jacobiho matice D1f (x0)
invertibilní. Pak na nějakém okolí bodu x0 existuje inverzní
zobrazení F−1 a jeho diferenciál v bodě F(x0) je inverzním
zobrazením k D1F(x0), tzn. je zadán inverzní maticí k Jacobiho
matici zobrazení F v bodě x0.