Literatura Tečny a normály k implicitně zadaným plochám Vázané extrémy
Matematika III – 4. týden
Funkce více proměnných: Vázané extrémy
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
6. 10. – 10. 10. 2014
Literatura Tečny a normály k implicitně zadaným plochám Vázané extrémy
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Tečny a normály k implicitně zadaným plochám
Tečné a normálové prostory
3 Vázané extrémy
Literatura Tečny a normály k implicitně zadaným plochám Vázané extrémy
Kde je dobré číst?
Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet
funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999,
273 s.
J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně,
Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice
www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne
Literatura Tečny a normály k implicitně zadaným plochám Vázané extrémy
Gradient funkce
Definition
Pro spojitě diferencovatelnou funkci F(x1, . . . , xn) : Rn → R se
vektor
D1
F =
∂f
∂x1
, . . . ,
∂f
∂xn
nazývá gradient funkce F.
Rovnost F(x1, . . . , xn) = b s pevnou hodnotou b ∈ R zadává
podmnožinu M ⊂ Rn, která mívá vlastnosti (n − 1)–rozměrné
nadplochy. Hovoříme v této souvislosti také o úrovňových
množinách Mb.
Literatura Tečny a normály k implicitně zadaným plochám Vázané extrémy
Theorem
Směr zadaný gradientem v bodě x = (x1, . . . , xn) je právě ten směr,
ve kterém funkce F nejrychleji roste.
Tečná rovina k neprázdné úrovňové množině Mb v okolí jejího bodu
s nenulovým gradientem D1F je určena ortogonálním doplňkem ke
gradientu.
Násobkům gradientu v tomto případě říkáme normálový vektor
nadplochy Mb.
Theorem
Pro funkci F n proměnných a bod P = (a1, . . . , an) ∈ Mb v jehož
okolí je Mb grafem funkce (n − 1) proměnných je implicitní rovnice
pro tečnou nadrovinu
0 =
∂f
∂x1
(P) · (x1 − a1) + · · · +
∂f
∂xn
(P) · (xn − an).
Literatura Tečny a normály k implicitně zadaným plochám Vázané extrémy
Obecné dimenze: funkce F = (f1, . . . , fn) : Rm+n → Rn a n rovnic
fi (x1, . . . , xm+n) = bi , i = 1, . . . , n.
dle věty o implicitní funkci je „většinou“ množina všech řešení
(x1, . . . , xm+n) grafem zobrazení G : Rm → Rn. Pro pevnou volbu
b = (b1, . . . , bn) je samozřejmě množinou M všech řešení průnik
nadploch M(bi , fi ) příslušejících jednotlivým rovnicím fi = bi .
Totéž platí pro tečné směry a normálové směry:
Tečný prostor k M bodem P je dán rovnicemi:
0 =
∂f1
∂x1
(P) · (x1 − a1) + · · · +
∂f1
∂xn
(P) · (xm+n − am+n)
...
0 =
∂fn
∂x1
(P) · (x1 − a1) + · · · +
∂fn
∂xn
(P) · (xm+n − am+n).
Normálový prostor v bodě P je afinní podprostor generovaný
bodem P a gradienty všech funkcí f1, . . . , fn v bodě P, tj. řádky
Jacobiho matice D1F.
Literatura Tečny a normály k implicitně zadaným plochám Vázané extrémy
V praxi mívají optimalizační úlohy často m + n parametrů, které
jsou vázány n podmínkami. V našem jazyce diferenciálního počtu
tedy hledáme extrémy spojitě diferencovatelné funkce h na množině
bodů M zadaných implicitně rovnicí F(x1, . . . , xm+n) = 0.
Pokud je M ve všech svých bodech grafem hladkého zobrazení v m
proměnných, musí být každý extrém P ∈ M stacionárním bodem,
tj. pro každou křivku c(t) ⊂ M procházející přes P = c(0) musí být
h(c(t)) extrémem pro tuto funkci jedné proměnné. Proto musí
platit
d
dt
h(c(t))|t=0 = dc (0)h(P) = dh(P)(c (0)) = 0.
Tato vlastnost je ekvivalentní tvrzení, že gradient h leží v
normálovém podprostoru (přesněji v jeho zaměření). Takové body
P ∈ M budeme nazývat stacionární body funkce H vzhledem k
vazbám F.
Literatura Tečny a normály k implicitně zadaným plochám Vázané extrémy
Normálový prostor k naší množině M je generován řádky Jacobiho
matice zobrazení F a stacionární body jsou proto ekvivalentně
určeny následujícím tvrzením, kterému se říká metoda
Lagrangeových multiplikátorů:
Theorem
Nechť F = (f1, . . . , fn) : Rm+n → Rn je spojitě diferencovatelná v
okolí bodu P, F(P) = 0 a M je zadána implicitně rovnicí
F(x, y) = 0 a hodnost matice D1F v bodě P je n. Pak P je
stacionárním bodem spojitě diferencovatelné funkce h : Rm+n → R
právě, když existují reálné parametry λ1, . . . , λn takové, že
grad h = λ1 grad f1 + · · · + λn grad fn.
Literatura Tečny a normály k implicitně zadaným plochám Vázané extrémy
Všimněme si počtu neznámých a rovnic v tomto algoritmu:
gradienty jsou vektory o m + n souřadnicích, tedy požadavek z věty
dává m + n rovnic. Jako proměnné máme jednak souřadnice
x1, . . . , xm+n hledaných stacionárních bodů P, ale navíc také n
parametrů λi v hledané lineární kombinaci. Zbývá však požadavek,
že hledaný bod P patří implicitně zadané množině M, což
představuje dalších n rovnic. Celkem tedy máme 2n + m rovnic pro
2n + m proměnných a proto lze očekávat, že řešením bude diskrétní
množina bodů P (tj. každý z nich zpravidla bude izolovaným
bodem).