Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Matematika III – 5. týden Integrace podruhé Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 13.10. – 17.10. 2014 Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrály závislé na parametrech 3 Integrace funkcí více proměnných 4 Násobné integrály 5 Změna souřadnic Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Kde je dobré číst? Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně, Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii + 1232 pp. Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Integrály závislé na parametrech Jestliže integrujeme podle jedné proměnné x funkci n + 1 proměnných f (x, y1, . . . , yn), potom výsledek bude funkcí F(y1, . . . , yn) v zbývajících proměnných. Theorem Pro spojitě diferencovatelnou funkci f (x, y1, . . . , yn) definovanou pro x z konečného intervalu [a, b] a na nějakém okolí bodu a = (a1, . . . , an) ∈ Rn uvažujme integrál F(y1, . . . , yn) = b a f (x, y1, . . . , yn)dx. Potom F je spojitá a pro všechny indexy j = 1, . . . , n platí ∂F ∂yj (a) = b a ∂f ∂yj (x, a1, . . . , an)dx Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Ověření spojitosti plyne z přímo z definice Riemannova integrálu. Ta vyčísluje pro libovolnou spojitou funkci jeho hodnotu pomocí aproximací konečnými součty (ekvivalentně horními, dolními nebo Riemannovými součty s libovolnými reprezentanty). Tvrzení nyní okamžitě vyplývá ze skutečnosti, že spojitá funkce na kompaktní množině je ve skutečnosti stejnoměrně spojitá. Ke zbývajícímu tvrzení se vrátíme později. Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Předchozí výsledky o extrémech funkcí více proměnných nyní mají přímé použití např. pro minimalizaci ploch nebo objemů objektů zadanými funkcemi v závislosti na parametrech. Využití je širší. Jako další příklad můžeme uvést možnost přímého derivování výsledků integrálních transformací, kterým jsme se věnovali v druhé části předchozí kapitoly sedmé. Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Integrace funkcí více proměnných Tak jak jsme motivovali integrování představou o výpočtu plochy pod grafem funkce jedné proměnné, můžeme prakticky stejně postupovat u objemu části trojrozměrného prostoru pod grafem funkce z = f (x, y) dvou proměnných. Místo výběru malých intervalů [xi , xi+1] dělících celý interval, přes který integrujeme, a přiblížením příslušné části objemu ploškou obdélníku s výškou danou hodnotou funkce f v reprezentantu tohoto intervalu ξi , tj. výrazem f (ξi )(xi+1 − xi ) budeme pracovat s děleními v obou proměnných a hodnotami reprezentujícími výšku grafu nad tímto obdélníčkem v rovině. Co jsou obory integrace? Nejjednodušším přístupem je uvažovat pouze obory integrace S, které jsou dány jako součiny intervalů, tj. jsou zadány rozsahem x ∈ [a, b] a y ∈ [c, d]. Hovoříme v této souvislosti o vícerozměrném intervalu. Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Pokud je S jiná ohraničená množina v R2, pracujeme místo ní s dostatečně velikou oblastní [a, b] × [c, d], ale upravíme naši funkci tak, že f (x, y) = 0 pro všechny body mimo S. Definice Riemannova integrálu věrně sleduje náš postup pro jednu proměnnou. Integrál existuje, jestliže pro každou volbu posloupnosti dělení Ξ (nyní ve všech proměnných zároveň) a reprezentantů jednotlivých krychliček ξi ∈ [xi , xi+1] × . . . × [zj , zj+1] ⊂ Rn , s maximální velikostí mezi všemi použitými intervaly jdoucí k nule, budou integrální součty SΞ,ξ = i,...,j f (ξi )(xi+1 − xi ) . . . (zj+1 − zj ). konvergovat k jedné hodnotě, kterou zapisujeme S f (x, . . . , z)dx . . . dz Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Pro všechny spojité funkce f opět lze dokázat existenci Riemannova integrálu a tento výsledek lze snadno rozšířit pro „dostatečně spojité“ funkce na „dostatečně rozumných“ oborech integrace. Definition Omezenou množinu S ⊂ Rn označujeme za Riemannovsky měřitelnou, jestliže je její charakteristická funkce, definovaná ξ(x) = 1 pro x ∈ S a ξ(x) = 0 jinak, Riemannovsky integrovatelná. Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Definice Riemannova integrálu sice nedává rozumný návod, jak hodnoty integrálů skutečně vypočíst, okamžitě ale vede k základním vlastnostem Riemannova integrálu (srovnejte s vlastnostmi integrálu v jedné proměnné): Theorem Množina Riemannovsky integrovatelných funkcí na vícerozměrném intervalu S ⊂ Rn je vektorovým prostorem a Riemannův integrál je na něm lineární formou. Pokud je obor integrace S zadán jako disjunktní sjednocení konečně mnoha Riemannovsky měřitelných oborů Si , je integrál funkce f přes S dán součtem integrálů přes obory Si . Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Násobné integrály Riemannovsky integrovatelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěmi funkcemi rozsah další souřadnice y ∈ [ϕ(x), ψ(x)], poté rozsah další souřadnice z ∈ [η(x, y), ζ(x, y)] atd. Theorem V případě množiny S zadané jako výše a Riemannovsky integrovatelné funkce f na S je Riemannův integrál vyčíslen formulí S f (x, y, . . . , z)dx . . . dz = b a ψ(x) ϕ(x) . . . ζ(x,y,... ) η(x,y,... ) f (x, y, . . . , z)dz . . . dy dx Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Důkaz. Výsledek vyplývá docela snadno přímo z definice Riemannova integrálu pomocí konečných součtů. Stačí si pečlivě hlídat vhodné poskládání jednotlivých sčítanců konečných součtů tak, aby vycházely postupně přiblížení integrálů ve vnitřních závorkách. Přímým důsledkem je: Theorem (Fubiniho věta) Pro vícerozměrný interval S = [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn] a spojitou funkci f (x1, . . . , xn) na S je násobný integrál S f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn = b1 a1 b2 a2 . . . bn an f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn nezávislý na pořadí ve kterém postupně integraci provádíme. Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Změna souřadnic při integraci Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou: Integrovaný výraz f (x)dx vyjadřuje plochu obdélníčku určeného (linearizovaným) přírůstkem proměnné x a hodnotou f (x). Pokud proměnnou transformujeme vztahem x = u(t), vzjadřuje se i linearizovaný přírůstek jako dx = du dt dt a proto i příslušný příspěvek pro integrál je vyjádřen jako f (u(t)) du dt dt, přičemž buď předpokládáme, že znaménko derivace u (t) je kladné, Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů. Theorem Nechť G(t1, . . . , tn) : Rn → Rn, (x1, . . . , xn) = G(t1, . . . , tn), je spojitě diferencovatelné zobrazení, S = G(T) a T jsou Riemannovsky měřitelné množiny a f : S → R spojitá funkce. Potom platí S f (x1, . . . , xn)dx1 . . . xn = T f (G(t1, . . . , tn))| det(D1 G(t1, . . . , tn))|dt1 . . . dtn. Podrobný formální důkaz nebudeme prezentovat, je však přímočarou realizací výše uvedené úvahy ve spojení s definicí Riemannova integrálu. Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Abychom si přiblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s, t) = (g(s, t), h(s, t)). Dostáváme G(T) f (x, y)dxdy = T f (g(s, t), h(s, t)) ∂g ∂s ∂h ∂t − ∂g ∂t ∂h ∂s dsdt. Úplně konkrétně spočteme integrál z charakteristické funkce kružnice o poloměru R (tj. její plochu) Nejprve spočítáme Jacobiho matici transformace x = r cos θ, y = r sin θ D1 G = cos θ −r sin θ sin θ r cos θ . Proto je determinant z této matice roven det D1 G(r, θ) = r(sin2 θ + cos2 θ) = r. Literatura Integrály závislé na parametrech Integrace funkcí více proměnných Násobné integrály Změna souřadnic Můžeme tedy přímo počítat pro kružnici S o poloměru R, která je obrazem obdélníku (r, θ) ∈ [0, R] × [0, 2π] = T: S dxdy = 2π 0 R 0 rdr dθ = R 0 2πrdr = πR2 .