}w¡¢£¤¥¦§¨!"#$%&123456789@ACDEFGHIPQRS`ye| Fakulta informatiky
Masarykovy univerzity
Algoritmický postup
otypování
IB015 Neimperativní programování
Tomáš Szaniszlo, Vladimír Štill, Martin Ukrop
Poslední modifikace: 23. září 2015
Chyby, překlepy, nejasnosti a nejednoznačnosti prosím nahlašujte v diskusním fóru předmětu.
IB015 – Typování
Algoritmický postup otypování
0.1 Úvod
Typování výrazů lze provádět v zásadě dvěma způsoby – intuitivně a algoritmicky.
U intuitivního typování neexistuje přesný postup. Snažíme se jenom na základě různých informací,
které lze ze zadaného výrazu nebo funkce odvodit, zjistit požadovaný typ. To lze dělat
představením si, co zadaný výraz dělá, například na konkrétních argumentech, určením typů vyskytujících
se funkcí a jejich mentálním pospojováním do výsledného typu nebo zjednodušením
výrazu tak, aby bylo typování jednodušeji proveditelné.
Tato metoda samozřejmě nese s sebou riziko chyby, nesprávného odhadu nebo jí nelze vůbec
použít kvůli přílišné složitosti výrazu. Proto je vhodné ji používat jenom u jednodušších výrazů.
Také při zjednodušování některých výrazů lze změnit jejich typ, což je zjevně nežádoucí. Jedná
se zejména o výrazy obsahující funkci s polymorfním typem, z kterých po vyhodnocení dojde
k zjednodušení výrazu a odstranění podvýrazů, které kladli omezení na původní tvar výrazu,
například tail [True] [].
V tomto textu se intuitivním typováním nebudeme dále zaobírat a soustředíme se na algoritmický
postup otypování.
Popis celého tohoto postupu bude poměrně dlouhý, avšak na druhou stranu algoritmický postup
typování bude vysvětlen podrobně (i na příkladech) a zmíní všechny případy, které mohou
nastat.
0.2 Co je typem výrazu?
Tady připomeňme, co vlastně je (a co není) považováno za typ výrazu. Za typem výrazu považujeme
nejspecifičtější typový výraz takový, který je kompatibilní (unifikovatelný) s každým
možným konkrétním typem výrazu.
To znamená, že typ nemůžeme určit příliš obecně. Například neplatí id :: a, protože tento
typ je příliš obecný a nevyjadřuje to, že id je funkce a vždy má argument.
Také příliš specifický typ není korektní, například id :: Bool -> Bool. Funkci id lze totiž
aplikovat i na jiné argumenty než ty typu Bool.
Typ výrazu je jednoznačný až na:
• pojmenování proměnných,
• pořadí typových kontextů,
• případné uvedení dvou typových kontextů, kdy jeden implikuje druhý.
1
IB015 – Typování
0.3 Unifikace typů
Předtím, než se pustíme do samotného algoritmického postupu otypování, je potřebné popsat
unifikace typů. V průběhu typování se dostaneme do situace, kdy budeme mít dáno několik
rovnic mezi typovými výrazy. Z nich lze zjistit informace o jednotlivých typových proměnných
pomocí unifikace, tedy ztotožňování typů.
Postup unifikace je v jednodušších případech poměrně intuitivní. Třeba z typové rovnice
a -> (b, c) -> [[d]] = m -> n -> m
lze jednoduše nahlédnout, že a = m = [[d]], n = (b, c).
Unifikaci typových výrazů lze provádět následovným způsobem, tzv. strukturní indukcí. Vždy
posoudíme strukturu výrazů a podle toho, jakého jsou tvaru, je rozložíme na rovnice mezi
podvýrazy, které opět tímto způsobem rekurzivně zpracujeme. Unifikace může selhat nebo být
úspěšná. U úspěšné unifikace je výstupem dosazení za typové proměnné tak, aby se oba zadané
výrazy ztotožnili.
1. TyCon = TyCon
Pokud jsou oba typové výrazy stejné typové konstruktory bez argumentů (například
Bool, Int, ...) a unifikace je triviálně úspěšná.
2. TyCon x1 x2 xn = TyCon y1 y2 ... yn
Pokud jsou oba typové výrazy stejné typové konstruktory (TyCon) (automaticky pak mají
i stejnou aritu), musíme postupně unifikovat typové argumenty: x1 = y1, x2 = y2,
..., xn = yn. Tento případ zahrnuje případy 3–5, které však pro přehlednost rozepíšeme
speciálně. Sem také spadají i uživatelsky definované datové typy.
3. (x1, x2) = (y1, y2) nebo (x1, x2, x3) = (y1, y2, y3) nebo . . .
(TyCon ∈ { (,) , (,,) , . . . }) U všech případů n-tic dostáváme x1 = y1, x2 = y2,
..., xn = yn.
4. [x] = [y]
(TyCon = []) Musí platit x = y.
5. x1 -> x2 = y1 -> y2
(TyCon = (->)) Opět musí platit x1 = y1, x2 = y2. U funkčních typů se běžně vyskytuje
více šipek. Snadno lze tedy unifikaci zobecnit na x1 -> x2 -> ... -> xn = y1
-> y2 -> ... yn =⇒ x1 = y1, x2 = y2, ..., xn = yn. Co však v případě, že je
na jedné straně více šipek než na druhé? Operátor šipka má asociativitu zprava, tedy
a -> b -> c ≡ a -> (b -> c). To tedy znamená, že u dvou funkčních typů s různým
počtem šipek postupujeme zleva a dáváme do rovnosti typové podvýrazy, až nám na jedné
straně zůstane poslední podvýraz. Ten pak dáme do rovnosti se zbytkem z druhé strany:
x1 -> ... -> xm = y1 -> ... -> yn.
6. a = ...
Triviálně platí.
2
IB015 – Typování
Několik poznámek:
• Pokud jsme ze získaných typových rovnic schopni dojít k rovnici, kde nějaká typová
proměnná se rovná výrazu, který v sobě obsahuje tu stejnou proměnnou, znamená to, že
výraz nelze otypovat. Na základě této rovnice je totiž možno zkonstruovat nekonečný typ.
Například pokud máme a = [a], pak také a = [a] = [[a]] = [[[a]]] = ...
• Uvedené body popisují případy, kdy je možné výrazy daného tvaru dál unifikovat v podvýrazech.
Pokud nelze uplatnit ani jedno pravidlo, pak to znamená, že typové výrazy
nelze unifikovat kvůli nekompatibilním typovým konstruktorům (Bool = Int, [a] =
(b, c), ...
• Typové třídy unifikaci neovlivňují, jenom se propagují přes rovnosti, tj. je-li a = b,
Integral a => a, pak také Integral b => b.
0.4 Postup
Postupem se zaměříme na otypování výrazu. Jak postup aplikovat na jiné konstrukce (funkce)
najdete v části 0.5.
Nejprve stručně popíšeme jednotlivé kroky:
1. Každý výskyt funkce, konstanty a formálního argumentu otypujeme (nezávislé typové
proměnné).
2. Určíme rovnosti vyplývající z aplikací funkcí na argumenty (aplikace vynucuje shodu typu
formálního a skutečného parametru).
3. Rozepíšeme a zjednodušíme rovnosti na co nejjednodušší.
4. Vyjádříme všechny typové proměnné pomocí minimální množiny typových proměnných.
5. Určíme hledaný typ a dosadíme do něj vyjádření.
6. Zohledníme typové kontexty, jsou-li nějaké.
7. Volitelně převedeme typ do kanonického tvaru.
0.4.1 Otypování vstupů
Ve výrazu nalezneme všechny identifikátory (funkce, konstanty nebo formální argumenty) a
každý(!) výskyt nezávisle otypujeme. Výnimkou jsou formální proměnné, které jsou definovány
v hlavičce λ-abstrakce. Tj. například ve výrazu head . head nelze určit typ head jenom jednou,
nýbrž je ho potřeba určit pro první a druhý výskyt. Pro přehlednost lze výskyty indexovat:
head1 . head2. Nezávislé otypování zas znamená, že pokud jsme v type jedné funkce použili
nějakou proměnnou, nesmíme jí použit v typu jiné funkce. Příkladem chybného závislého otypování
výrazu head1 . head2 je head1 :: [a] -> a, head2 :: [a] -> a, protože bychom
pak dostali falešnou rovnici a = [a], která zabrání v otypování výrazu, avšak tento výraz
otypovatelný je.
3
IB015 – Typování
Typování konstrukcí Haskellu Známé funkce a konstanty (čísla, řetězce, . . . ) otypujeme
na základě jejích typu.
Formální argumenty otypujeme typovou proměnnou.
λ-abstrakce \x1 x2 ... xn -> body otypujeme jako type(x1) -> type(x2) -> ... -> type(xn)
-> type(body). Typ body určíme z typu funkce (nebo operátoru), která je ve výrazu nejvíce
vnější, přičemž z její funkčního typu odstraníme tolik prvních typových argumentů, na kolik
argumentů je funkce aplikována.
Výraz tvaru if cond then branch1 else branch2 otypujeme jako b, kde cond :: a, branch1
:: b, branch2 :: c. Do typových rovnic v kroku 0.4.2 přidáme b = c, a = Bool.
Výrazy s (levou nebo pravou) operátorovou sekcí otypujeme jako (b -> c nebo a -> c), kde
a -> b -> c je typ operátoru a do typových rovnic v kroku 0.4.2 přidáme (t = a nebo t = b),
kde t je typem „vestavěného“ operandu operátorové sekce.
U seznamových výrazů určíme typ jako [a1], kde na místě a1 bude typový výraz odpovídající
typu prvního prvku výrazu (protože je stejný jako typ ostatních prvků). Stejnost typů
jednotlivých prvků zajistíme přidáním rovnic a1 = a2, a2 = a3, ... a(n-1) = an v kroku
0.4.2.
0.4.2 Určení aplikačních rovností
Následně najdeme ve výrazu všechny aplikace funkcí na všechny jednotlivé argumenty. Aplikace
totiž vynucuje, že typ formálního argumentu funkce se musí rovnat typu skutečného argumentu.
Tedy pokud máme výraz f x y z a máme f :: a -> b -> c -> d, x :: e1, y :: e2,
z :: e3, tak získáme tři aplikační rovnice: a = e1, b = e2, c = e3. Stejně postupujeme u
binárních operátorů.
Typové třídy při určování aplikačních rovnic nebereme do úvahy – budeme je zohledňovat až
na konci.
0.4.3 Rozepsání aplikačních rovností na elementární
Tento krok je obyčejně poměrně jednoduchý, avšak získané rovnice můžou být někdy poměrně
složité (a -> [[b]] -> d = (b, c) -> c -> a, proto je může být třeba rozepsat tak, aby v
každé rovnice byla alespoň na jedné straně typová proměnná. To lze dosáhnout unifikováním
obou stran rovnic.
0.4.4 Minimální vyjádření typových proměnných
Typové proměnné budeme potřebovat při dosazování unifikací zjištěných informací do hledaného
typu. Cílem minimalizace je zajistit, že v hledaném typu budou rovnající se typové proměnné
vyjádřeny vždy jen pomocí jedné z nich. V opačném případě bychom nesprávně určili
obecnější typ.
Pokud jsou typové rovnice jednoduché, je tento krok snadný a můžeme jej provést tak, že pro
každou typovou proměnnou prozkoumáme rovnice a zjistíme nejvíce omezující typ, který na
4
IB015 – Typování
základě nich pro ní vyplývá. Přitom recyklujeme typové proměnné vždy, když je to možné.
Tento postup může být riskantní v tom, že bychom u obdobného příkladu typových rovnic jako
je a = [b], d = e, a = [[c]] přehlídli fakt, že b = [c].
U složitějších typových rovnic lze použít postup, který má velmi blízko k řešení soustavy lineárních
rovnic pomocí matic (úprava na trojúhelníkový tvar a zpětné dosazování).
Ze sady původních typových rovnic vybereme vyjádření některé typové proměnné, poznačíme
si jí na začátek seznamu a do vytvoříme novou sadu typových rovnic, kde každý výskyt této
typové proměnné rozepíšeme podle vybrané rovnice. V případě, že dostaneme typovou rovnici,
kde na ani na jedné straně není typová proměnná, rozložíme ji na menší rovnice dle unifikačního
algoritmu. Pokud by vznikla rovnice, která má nekompatibilní typové konstruktory nebo
vyjadřuje nekonečný typ, lze typování ukončit a vyhlásit otypovávaný výraz za typově nekorektní
a neotypovatelný. Pokud se některá rovnice vyskytuje vícekrát, všechny její duplikáty
odstraníme. Jinak tento postup opakujeme na vzniklou sadu typových rovnic, která je o jednu
rovnici menší a další vyjádření typových proměnných přidáváme na konec. Takto postupujeme,
až zůstane sada typových rovnic prázdná. Tento stav odpovídá u matic získaní trojúhelníkového
tvaru.
Pak z konce seznamu vybereme typovou rovnici a typovou proměnnou, kterou vyjadřuje, dosadíme
do všech rovnic v seznamu, kde se vyskytuje. Takto postupujeme až se dostaneme na
začátek seznamu. Tento postup odpovídá u matic zpětnému dosazování proměnných a výsledkem
je diagonální matice.
Po tomto posledním kroku máme vyjádřeny všechny typové proměnné minimálně.
0.4.5 Určíme hledaný typ
Na to, abychom minimální vyjádření měli jak použít, musíme určit vyjádření typu, který hledáme.
To uděláme dle postupu pro určení typu λ-abstrakce, který jsme uvedli v části 0.4.1.
Následně za všechny typové proměnné v tomto výrazu dosadíme jejich minimální vyjádření.
0.4.6 Zohlednění typových kontextů
Pokud se při otypování vstupů vyskytli typové kontexty, nezapomeneme je na základě rovnic
mezi typy propagovat mezi všechny typové proměnné. Do hledaného typu je však přidáme
pouze když se v něm odpovídající typová proměnná vyskytne.
Volitelně lze odstranit ty typové kontexty, jež jsou implikovány jinými, například Integral a
⇒ Num a nebo Num a ⇒ Eq a.
0.4.7 Kanonický tvar
Tento krok je volitelný. Aby bylo kontrolování typu snadnější, lze typové proměnné přejmenovat
tak, že když budeme přecházet hledaný typ zleva (neuvažujíce typový kontext), první použitá
typová proměnná bude a, další nová typová proměnná b, pak c, atd.
5
IB015 – Typování
0.5 Typování jiných případů
Předchozí postup lze použít pouze pro výrazy.
Pokud chceme typovat funkci a je definována pomocí jedné rovnosti, můžeme ji převést na λabstrakci:
f 1 _ x -> length x + 2 převedeme na \1 _ x -> length x + 2 a získaný typ
λ-abstrakce bude typem funkce f.
Pokud chceme otypovat funkci definovánu pomocí více rovností, lze tento problém převést na
otypování seznamu odpovídajících λ-abstrakcí:
f True x = 10
f False x = x - 1
převedeme na otypování [\True x -> 10, \False x -> x - 1], načež získáme typ tvaru [a]
a hledaným typem bude f :: a.
6