\documentclass[12pt]{ib102}
\usepackage[czech]{babel}

\setassignment{5}
\setexercise{1}
\setduedate{2}{11}{2015}
\setpoints{2}

%%% ZDE NAPISTE SVOJE UCO, JMENO A SKUPINU
\setstudent{}
\setgroup{}
\setuco{}


\begin{document}
\begin{zadani}
Nechť $L$ a $R$ jsou regulární jazyky nad abecedou $\Sigma$ a operace $\mathit{inject}(L,R)$ je definována následovně:
\[\mathit{inject}(L,R) = \left\{u \cdot v \cdot w \mid uw \in L, v \in R \right\}\]

\bigskip
\noindent
Intuitivně je tedy $\mathit{inject}(L,R)$ jazyk obsahující všechna slova, která vzniknou vložením libovolného slova z jazyka $R$ někam do libovolného slova z jazyka $L$. Například:
\begin{align*}
\mathit{inject}(\left\{a,aa\right\},\left\{b,bb\right\}) &= \left\{ba,ab,bba,abb,baa,aba,aab,bbaa,abba,aabb\right\} \\
\mathit{inject}(\left\{\eps, a\right\},\left\{a,ab\right\}) &= \left\{a,ab,aa,aab,aba\right\}
\end{align*}


\bigskip
\noindent
Vaším úkolem je rozhodnout, zda je jazyk $\mathit{inject}(L,R)$ regulární, tedy že třída regulárních jazyků je uzavřená na operaci $\mathit{inject}$. Vaši odpověď dokažte, a to tak, že:
\begin{itemize}
\item Pokud rozhodnete, že není, najděte regulární jazyky $L$ a $R$ takové, že jazyk $\mathit{inject}(L,R)$ regulární není.
\item Pokud rozhodnete, že je, dokažte tvrzení například s pomocí známých
uzávěrových vlastností třídy regulárních jazyků prezentovaných na přednášce, nebo konstruktivně
popsáním algoritmu na transformaci nějakého formalizmu pro popis
regulárních jazyků.
\end{itemize}


\end{zadani}

\begin{reseni}
%%% SEM PISTE SVE RESENI
\end{reseni}

\end{document}