TIL (5.11. 2015)
Marie Duží
http://www.cs.vsb.cz/duzi/

Příklady ze cvičení 3
nTeplota v Amsterdamu stoupá.
n Teplota v Amsterdamu = teplota v Praze.
n ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
n Teplota v Praze stoupá.
nTypy: Výrazy  „teplota v Amsterdamu“ a „teplota v Praze“ označují tzv. veličiny typu ttw,
Teplota(_v_něčeho)/(ti)tw, Praha, Amsterdam/i, =/(ott), Stoupat/(ottw)tw: vlastnost funkce (zde
veličiny), že v daném světamihu stoupá (má kladnou derivaci)
nSyntéza: lwlt [0Teplotawt 0Amsterdam], lwlt [0Teplotawt 0Praha] ® ttw
n lwlt [0Stoupatwt lwlt [0Teplotawt 0Amsterdam]]
n lwlt [0= lwlt [0Teplotawt 0Amsterdam]wt lwlt [0Teplotawt 0Praha]wt]
n –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
n lwlt [0Stoupatwt lwlt [0Teplotawt 0Praha]]
nÚsudek je neplatný, protože druhá premisa zaručuje pouze náhodnou identitu hodnot obou veličin,
přičemž Stoupat je vlastnost celé veličiny. Abychom mohli substituovat, musela by druhá premisa
stanovit identitu veličin.
nJinými slovy, podkonstrukce lwlt [0Teplotawt 0Amsterdam] a lwlt [0Teplotawt 0Praha] mají v první
premise a závěru výskyt de dicto, kdežto ve druhé premise de re.

Příklady ze cvičení 3
nPrimátor Ostravy navštívil Brno.
n––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
nPrimátor Ostravy existuje.
qlwlt [0Visitwt lwlt [0Primatorwt 0Ostrava]wt 0Brno]
q–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
qlwlt [0Existwt lwlt [0Primatorwt 0Ostrava]]
nTypy: Visit/(oii)tw: vztah mezi individui, že první navštívil druhé; Exist/(oitw)tw
nExist = lwlt lu [0$lx [x = uwt]]; u ®v itw, x ®v i, =/(oii): identita individuí
nDůkaz:
n1. [0Visitwt lwlt [0Primatorwt 0Ostrava]wt  0Brno] předpoklad
n2. Ø[0Improper lwlt [0Primatorwt 0Ostrava]wt] Def. Kompozice
n3. Ø[0Empty lx [x=lwlt [0Primatorwt 0Ostrava]wt]
n4. [0$lx [x=lwlt [0Primatorwt 0Ostrava]wt]] existenční generalizace
n5. [0Existwt  lwlt [0Primatorwt 0Ostrava]] Def. Exist
n
nPozn.: existenční presupozice de re

Příklady ze cvičení 3
nPro všechna číslo x platí, že dělení x číslem 0 je nevlastní.
nImproper/(o*1): množina konstrukcí v-nevlastních pro každou valuaci v.
n[0Improper 0[0: x 00]] – konstruuje T bez ohledu na valuaci proměnné x, neboť konstrukce [0: x 00]
je v-nevlastní pro každou valuaci x. Proměnná x je o-vázaná, což je silnější než l-vázaná, má
hyperintenzionální výskyt (není v modu provádění)
nMá smysl kvantifikovat přes x?
n [0"lx [0Improper 0[0: x 00]]] – konstruuje T, OK, ale
nnapř. [lx [0Improper 0[0: x 00]] 05] konstruuje
n [0Improper 0[0: x 00]] ne (jak bychom snad očekávali)
n [0Improper 0[0: 05 00]]

Příklady ze cvičení 3
nExistuje číslo y takové, že pro libovolné číslo x platí, že dělení x číslem y je nevlastní.
n [0Improper 0[0: x 00]]
n ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ???
n [0$ly [0Improper 0[0: x y]]]
nAle, konstrukce [0: x y] není v-nevlastní pro libovolnou valuaci v, je např. v(5/x, 1/y)-vlastní!
nExistenční kvantifikátor zde „nefunguje“, protože proměnná y není volná v 0[0: x y]
nKdybychom chtěli provést důkaz, narazíme:
1.[0Improper 0[0: x 00]] premisa - T
2.[ly [0Improper 0[0: x y]] 00] konstruuje F !!!

hyperintensionální kontext
nCelá konstrukce C je objektem predikace (argumentem), tedy její výstup – funkce, kterou
konstruuje, pokud vůbec něco, je irelevantní
nkonstrukce C není užita v módu provádění, ale její výskyt je pouze zmíněn (displayed)
nVšechny podkonstrukce C (včetně proměnných) jsou pouze zmíněny hyperintensionálně, nejsou v módu
provádění
nJak tedy pracovat s konstrukcí C, jejíž výskyt je hyperintensionální? Jak budeme operovat na
hyperintensionálním kontextu?
nSubstituční metoda !!!

hyperintensionální kontext
nSubstituční metoda
n [0Improper 0[0: x 00]]
n ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾   !!!
n [0$ly [0Improper [0Sub [0Tr y] 0z 0[0: x z]]]]
nProměnná y je nyní volná v Kompozici [0Improper … ], má smysl ji l-vázat, rovněž $ zde funguje
tak, jak je zamýšleno
nDůkaz:
1.[0Improper 0[0: x 00]] premisa
2.[ly [0Improper [0Sub [0Tr y] 0z 0[0: x z]]] 00] l-abstrakce
n (konstruuje T, neboť [0Sub [0Tr y] 0z 0[0: x z]] v(0/y)-konstruuje konstrukci [0: x 00])
3.Ø[0Empty ly [0Improper [0Sub [0Tr y] 0z 0[0: x z]]]]
4.[0$ly [0Improper [0Sub [0Tr y] 0z 0[0: x z]]]]

De dicto vs. de re
nlwlt [0Chce_bytwt 0Tom 0Papež]
n    de dicto
nlwlt [0= 0Papežwt 0František]
n de re
nDe dicto je speciální případ intensionálního výskytu (empirických pojmů)
nDe re je speciální případ extensionálního výskytu (empirických pojmů) v konstrukci, která
následuje za prvním lwlt, tj. svět w a čas t, ve kterém vyhodnocujeme.

Tři druhy kontextu
nNechť C je podkonstrukce konstrukce D. Pak
nVýskyt C v D je hyperintensionální, jestliže je celá konstrukce C objektem predikace v D
(argumentem). Řekneme, že výskyt C je zmíněn v D jako argument. Pak všechny podkonstrukce tohoto
výskytu C mají rovněž hyperintensionální výskyt.
nPříklad: Tom počítá Sin(p).
n lwlt [0Počítáwt 0Tom 0[0Sin 0p]]
n
n    hyperint
n Počítá/(oi*1)tw
nTrivializace konstrukce C (0C) zvedá kontext nahoru na hyperintensionální úroveň (C a její
podkonstrukce – hyperint.)
nDvojí Provedení snižuje kontext dolů na úroveň intensionální nebo extensionální: 20C = C

Tři druhy kontextu
nPokud výskyt C v D není hyperintensionální, je konstrukce C užita v módu provádění, tj. je
konstituentem D. Pak může být výskyt C v D intenzionální nebo extenzionální.
a)Intenzionální výskyt C ®v f: celá funkce f v-konstruovaná konstrukcí C (může to být i nulární
funkce, tj. atomický objekt) je objektem predikace.
q Pak všechny konstituenty C mají rovněž výskyt intenzionální.
b)Extenzionální výskyt C ®v f/(ab): a-hodnota funkce f v-konstruované konstrukcí C (funkce f je
alespoň unární) je objektem predikace.

Tři druhy kontextu
nlwlt [0Počítáwt 0Tom 0[0+ 03 05]]
nKonstituenty Kompozice [0Počítáwt 0Tom 0[0+ 03 05]], tedy podkonstrukce, které je nutno vykonat
k získání pravdivostní hodnoty v libovolném světočase áw, tñ, jsou (kromě této Kompozice samotné)
tyto:
n[[0Počítá w]t]
n[0Počítá w],
n0Počítá,
nw,
nt,
n0Tom,
n0[0+ 03 05].
nPodkonstrukce [0+ 03 05] není konstituentem, je pouze objektem, o kterém se zde vypovídá, že Tom
zjišťuje, co tato konstrukce konstruuje.

Tři druhy kontextu
nPříklad.
nSinus je periodická funkce.
nTypy: Periodic/(o(tt)): množina periodických unárních funkcí, Sin/(tt).
n [0Periodic 0Sin]
n
n     intens
nSin(p)=0: [0= [0Sin 0p] 00]
n
n      extens

Intenionální vs. extenzionální kontext
nl-uzávěr vytváří generický intenzionální kontext, tj. zvedá kontext na intenzionální úroveň.
nKompozice snižuje kontext na úroveň extenzionální.
qAvšak vždy platí, že vyšší kontext je dominantní, „přebíjí nižší“.
n[0: x 00]
qkonstituent 0: zde má extenzionální výskyt. Kompozice je v-nevlastní pro libovolnou valuaci x
nlx [0: x 00]
qkonstituent 0: zde má intenzionální výskyt. Uzávěr není v-nevlastní pro žádnou valuaci x.
Konstruuje degenerovanou funkci

Intenionální vs. extenzionální kontext
n[lx ly [0: x y] [0Cotg 0p]]
nVýskyt 0Cotg je zde extenzionální. Kompozice je nevlastní, nekonstruuje nic, protože [0Cotg 0p] je
nevlastní. Funkce Cotg nemá na argumentu p hodnotu.
qb-redukce jménem:
n[ly [0: [0Cotg 0p] y]]
nVýskyt 0Cotg je zde intenzionální. Kompozice konstruuje opět degenerovanou funkci, není nevlastní
qb-redukce hodnotou:
n2[0Sub [0Tr [0Cotg 0p]] 0x 0[ly [0: x y]]
nVýskyt 0Cotg je zde extenzionální. Kompozice je nevlastní, nekonstruuje nic, protože [0Cotg 0p] je
nevlastní a parcialita je „propagována nahoru“.

Substituce
nIntensionální kontext:
qCelá konstruovaná funkce (intense) f je objektem predikace
qZa intensionální výskyt C můžeme substituovat pouze konstrukci D, která konstruuje tutéž funkci f.
qTedy C=D, jsou ekvivalentní, tj. v-kongruentní pro každou valuaci v
nExtensionální kontext:
qHodnota konstruované funkce (intense) f je objektem predikace
qZa extensionální výskyt C můžeme substituovat konstrukci D, která v-konstruuje tutéž hodnotu (i
jiné funkce).
qTedy C =v D, jsou v-kongruentní pro určitou valuaci v

Substituce
nHyperintensionální kontext:
qCelá konstrukce C je objektem predikace
qZa hyperintensionální výskyt C můžeme substituovat tutéž konstrukci C.
qPouze tutéž konstrukci C? Ukazuje se, že je to příliš silný požadavek.
qLze substituovat konstrukci D, která je s C procedurálně isomorfní
qTedy 0C =i 0D, tedy C, D jsou procedurálně isomorfní, tj. ???

How hyper is hyper?
nIdentity of procedures
qFunctions in extension (sets, mappings, PWS-intensions) are extensionally individuated:
n"x [f(x) = g(x)] Þ f = g
nProcedures are (hyper)intensionally individuated; Church’s ‘functions in intension’
qProcedures are equivalent Û produce the same object
qProcedures are identical  Û  consist of the same constituents
nBut: each procedure can be refined, ad infinitum, when are the constituents identical ???
nDoes it matter?
nHyperintensional contexts – only synonymous terms can be substituted
nSynonymous terms Û have the same meaning, are assigned the same meaning construction, procedure
(?)

How hyper is hyper?
nCarnap’s intensional isomorphism
nChurch’s synonymous isomorphism
qAny two terms or expressions whose respective meanings are procedurally isomorphic are deemed
semantically indistinguishable, hence synonymous. Thus procedurally isomorphic constructions can be
mutually substituted in any context, including hyperintensional ones.
nChurch’s Alternatives;
q(A2) logical equivalence
q(A1) includes a- and b-conversion; (A1’) + h-conversion
q(A0) includes a-conversion and meaning postulates for atomic constants such as ‘bachelor’,
‘fortnight’, ‘prime’.
nProcedural isomorphism;
q(A½) Quid-relation (Materna); a- and h-conversion
  (Duží, Jespersen, Materna 2010)
q(A¾); a-, h-conversion and restricted b-conversion (Duží, Jespersen 2013)
q(A1’’); modification of Church’s (A1), b-conversion ‘by value’ (Duží, Jespersen 2014)
q(A0’) ???

Procedural isomorfismus
nStrict criterion:
nWe exclude h-conversion and unrestricted
b-conversion ‘by name’
qIn the logic of partial functions such as TIL these conversions are not equivalent transformations
qDifferent constituents
qLoss of analytic information
n

Problems with b- (/h)-reduction
nnon-equivalence arises when drawing an extensional occurrence of a constituent into (hyper/)
intensional context
nExample:
n[lx [ly [0+ x y]] [0Cotg 0p]]
n is an improper construction; it does not construct anything, because there is no value of the
cotangent function at p
n but its b-reduced Composition
n[ly [0+ [0Cotg 0p] y]]
n constructs a degenerated function
nThe improper construction [0Cotg 0p] has been drawn into the intensional context of the Closure
[ly [0+ x y]].
nDe re attitudes:
n Tilman believes of the Pope that he is wise
n lwlt [lhe [0Believewt 0Tilman lw*lt* [0Wisew*t* he]] 0Popewt] �
n lwlt [0Believewt 0Tilman lw*lt* [0Wisew*t* 0Popewt]]

Procedurální isomorfismus
na-konverze
nMnožina kladných čísel:
qlx [0> x 00], ly [0> y 00], lz [0> z 00],…
nOmezená b-konverze jménem:
nPrimátor Ostravy je bohatý:
qlwlt [0Bohatywt lwlt [0Primatorwt 0Ostrava]wt] =bi
qlwlt [0Bohatywt [0Primatorwt 0Ostrava]]
nV přirozeném jazyce neužíváme l-vázané proměnné
nb-konverze hodnotou

Domněnkové věty
nTom si myslí, že papež je moudrý
qTedy Tom si myslí, že propozice „papež je moudrý“ je pravdivá – papež se vyskytuje v supozici de
dicto
qlwlt [0Myslíwt 0Tom [lwlt [0Moudrýwt 0Papežwt]]
qMyslí/(oiotw)tw: vztah individua k propozici; Moudrý/(oi)tw; Papež/itw.
q0Papež zde má výskyt de dicto, ačkoliv je v Kompozici s proměnnými w, t, proč?
qlwlt [0Myslíwt 0Tom [lw1lt1 [0Moudrýw1t1 0Papežw1t1]]
qmá výskyt v generickém l-kontextu (lw1lt1), tedy úřad není extensionalizován vzhledem ke stavu
světa w,t, ve kterém vyhodnocujeme
nTom si o papeži myslí, že (on) je moudrý
qTedy Tom si o tom individuu, které aktuálně zastává úřad papeže myslí, že je moudré – význam
výrazu „papež“ se vyskytuje v supozici de re

Domněnkové věty de re
nTom si o papeži myslí, že (on) je moudrý
qlwlt [0Myslíwt 0Tom [lw1lt1 [0Moudrýw1t1 0Papežwt]] ???
qMyslí/(oiotw)tw; Moudrý/(oi)tw; Papež/itw.
qStále de dicto !!! Výskyt v  generickém l-kontextu (lw1lt1). Pokud papež v daném w,t neexistuje,
má Tom vztah k  degenerované propozici, což může být pravda – není zde existenční presupozice
qJe nutno konstrukci 0Papežwt „vytáhnout ven“ z generického kontextu (lw1lt1)
nDva způsoby:
a)Papež má tu vlastnost, že si o něm Tom myslí, že je moudrý
b)Aplikace substituční metody, „přímo“

Domněnkové věty de re
a)Nechť MTM je vlastnost individuí, že Tom si o nich myslí, že jsou moudrá
n Pak „hrubá analýza“ naší věty je: lwlt [0MTMwt 0Papežwt]
n0MTM = lwlt lx [0Myslíwt 0Tom [lwlt [0Moudrýwt x]]
n Aplikujeme na 0Papežwt:
nlwlt [lx [0Myslíwt 0Tom [lwlt [0Moudrýwt x]] 0Papežwt]
n Papež patří do množiny těch individuí, o kterých si Tom myslí, že jsou moudrá. Je to korektní
analýza případu de re.
qOK, ale co když uděláme b-redukci? Dostaneme:
nlwlt [0Myslíwt 0Tom [lwlt [0Moudrýwt 0Papežwt]]]
n Obdrželi jsme analýzu případu de dicto! Kde je chyba?
nPředevším, došlo ke kolizi proměnných, musíme přejmenovat:
nlwlt [0Myslíwt 0Tom [lw1lt1 [0Moudrýw1t1 0Papežwt]]]
qAle opět výskyt konstrukce 0Papež v supozici de dicto! Kde je chyba?
qProblém spočívá v tom, že jsme provedli b-redukci jménem, ta není v logice parciálních funkcí
(jakou je TIL) ekvivalentní

Domněnkové věty de re
a)„Papež má tu vlastnost, že si o něm Tom myslí, že je moudrý“:
n lwlt [lx [0Myslíwt 0Tom [lwlt [0Moudrýwt x]] 0Papežwt]
b)„Tom si o papeži myslí, že (on) je moudrý“:
n lwlt [0Myslíwt 0Tom 2[0Sub [0Tr 0Papežwt] 0on
                                              0[lwlt [0Moudrýwt on]]]]
nJsou tyto dvě konstrukce procedurálně isomorfní?
nJinými slovy, jsou věty ad a), b) synonymní?
nDodatečné typy:
n Sub/(*n*n*n*n): operuje na konstrukcích,
[0Sub co za-co kam], výsledkem je upravená konstrukce.
n Tr /(*n i): konstruuje Trivializaci individua na vstupu (dodá „pointer“ na to individuum)

Procedurální isomorfismus
nZřejmě budeme potřebovat různá kriteria procedurálního isomorfismu (a tedy i synonymie) dle toho,
jakým diskursem se zabýváme
nPřirozený jazyk – neužíváme l-vázané proměnné
qNejpřísnější kriterium: a-konverze + významové postuláty pro konstanty (Churchovo A0)
nJazyk matematiky nebo programovací jazyk – proměnné hrají velkou roli

Existenční generalizace
nExtensionální kontext – pouze zde může hrát roli parcialita: aplikace funkce f®(ab) na argument a
®a může selhat, pokud je f na a nedefinována (x ® a):
q[0Proper [f a]] |¾ Ø[Empty lx [f x]] |¾ [0$ lx [f x]]
nIntensionální kontext – můžeme odvodit, že existuje funkce f, která je objektem predikace, ale ne
její hodnota
qTom hledá sněžného muže |¹ existuje sněžný muž
qLogika není magie J

Existenční generalizace
nTom hledá sněžného muže
n------------------------------------
nTom něco hledá
(existuje něco, co Tom hledá)
nlwlt [0Hledatwt 0Tom [0Snezny 0Muz]]
nlwlt [0$lp [0Hledatwt 0Tom p]]
qHledat/(oi(oi)tw): vztah individua k vlastnosti, že chce najít její instance,
Snezny/((oi)tw(oi)tw): modifikátor vlastnosti, Muž/(oi)tw, p ®v (oi)tw

Existenční generalizace
n Tom hledá sněžného muže
n Sněžný muž je Yetti
n ------------------------------------   ???
n Tom hledá Yettiho
nDruhá premisa je míněna de dicto, jako identita vlastnosti
nAvšak úsudek není platný, Tom může hledat sněžného muže, aniž by hledal yetiho. Proto potřebujeme
i zde hyperintensionlání analýzu
nKvantifikace do hyperintensionálních kontextů – příští přednáška