Matematika III, 1. cvičení Definiční obory
Poznámka. Pro kružnici se středem v bodě [x, y] a poloměrem r budeme používat označení k([x,y];r).
Příklad 1. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y) =    {x2 + y2 - 1)(4 - x2 - y2). Výsledek. Mezikruží mezi fc([0,0]; 1) a fc([0,0];2) Příklad 2. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y)
x2 + y2 — x
2x — x2 — y
2 •
Výsledek. Prostor mezi k([^, 0]; ^) a k([l, 0]; 1), menší kružnice tam patří, větší ne. Příklad 3. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x, y) = arcsin---—:-:—-.
y   \y\ - \x\
Výsledek. Prostor mezi přímkami y = x a y = —x kromě těchto přímek (do této množiny patří osa y kromě bodu [0, 0], množina vypadá jako přesýpací hodiny).
Příklad 4. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
tJC^
Výsledek. Elipsoid (i s vnitřkem) se středem v bodě [0, 0, 0] a poloosami a (prochází bodem [a, 0, 0]), b (prochází bodem [0, b, 0]) a c (prochází bodem [0, 0, c]).
Křivky v IRn, tečna ke křivce
Křivka v W1 je zobrazení c: M —> W1, tedy c zobrazí reálné číslo x na bod [ci(x),... ,cn(x)] v prostoru Wl, přičemž c±,... ,cn jsou funkce M —> M. Derivace funkce c v bodě to, tj. vektor c'(to) = (cí(ío)5 • • •, cn(^o))> Je tečným vektorem ke křivce c v bodě c(to). Přímka
P = {c(*o) +sc'(t0);s g R}
je tečna ke křivce c v bodě tg-
Příklad 5. Určete tečnu křivky dané předpisem c(t) = (lni, arctgí, esm(nt)} v bodě íq = 1-Výsledek. Tečna p = {[s, j + |, 1 - irs]; s g R}.
Příklad 6. Určete parametrickou rovnici tečny v bodě [1,1,^2] ke křivce, jež vznikla jako průsečík plochy o rovnici x2 + y2 + z2 = 4 s plochou x2 + y2 — 2x = 0.
Nápověda. Křivku si v okolí daného bodu vyjádřete stejným způsobem jako ve výše uvedených příkladech.
Výsledek. Tečna p = {[1 - V2s, 1, V2 + s]; s g R}.
1
Limity funkcí více proměnných
Pro počítání limit jj a ^ nemáme k dispozici žádnou analogii ĽHospitalova pravidla, musíme tedy používat různé úpravy. Rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou proměnných spočívá v odlišnosti okolí limitního bodu: u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (pak má funkce limitu v bodě, pokud existují obě jednostranné limity, které se rovnají), ale u funkce dvou a více proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby (po přímkách, parabolách, ...). Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Pokud tedy dostaneme různé hodnoty limity pro různé cesty, limita v daném bodě neexistuje. V následujících příkladech vypočítejte limity, případně dokažte, že neexistují.
Nápověda. Pokud po dosazení limitních bodů nevyjde neurčitý výraz, můžeme tyto limitní body dosadit. Pokud vyjde neurčitý výraz, můžeme zkoušet různé postupy:
(1) rozložit čitatel nebo jmenovatel na součin podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
(2) rozšířit čitatel i jmenovatel něčím vhodným podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
/ o \   ohraničený výraz      nn/i        ■ -     '     '      \ n
[á) -^—-— = U, U • (ohraničený výraz) = (J;
(4) použít vhodnou substituci, po které bychom dostali limitu jedné proměnné;
(5) převést limitu dvou proměnných do polárních souřadnic
x = r cos p, y = r sin p>
(je-li v limitě výraz x2 + y2, polární souřadnice většinou fungují, protože pak dostaneme jednodušší výraz x2 + y2 = r2 cos2 ip + r2 sin2 p = r2 (cos2 p + sin2 ip) = r2, který nezávisí na tp);
(6) zvolit y = kx (k limitnímu bodu [0,0] se blížíme po přímkách, v případě jiného limitního bodu je potřeba drobná úprava, aby přímky limitním bodem procházely), y = kx2 (k limitnímu bodu [0, 0] se blížíme po parabolách, v případě jiného limitního bodu je opět potřeba drobná úprava), případně jinak vhodně parametricky nahradit x = f (k) a y = g (k), a pokud bude hodnota limity záviset na parametru k, limita neexistuje; tento postup lze použít pouze k důkazu neexistence limity, nikoliv k výpočtu její hodnoty za předpokladu, že existuje!
Příklad 7. Um(a.ij/)_,(e2il) ljf
Výsledek. 2.
Příklad 8. lim^j,)^) ^f-
Nápověda. Rozložte jmenovatel na součin podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin. Výsledek. ^.
Příklad 9. lim(a.ij/)^(li0o)
Nápověda. Použijte postup (3). Výsledek. 0.
2
Příklad 10. lim(:E)ž/)^.(0)2)
Nápověda. Rozšiřte zlomek výrazem 2 a použijte substituci t = xy (protože (x, y) —> (0, 2), bude i-)-0). *
Výsledek. 2. Parciální derivace
Pro funkci /: M2 —?► M jsou parciální derivace prvního řádu definovány takto:
Při výpočtu parciální derivace podle jedné proměnné považujeme druhou proměnnou za konstantu a derivujeme podle první proměnné.
Parciální derivace druhého a vyšších řádů dostaneme (podobně jako několikanásobné derivace funkcí jedné proměnné) opětovným derivováním dané funkce. Např. fxy dostaneme tak, že nejdřív zderivujeme funkci / podle x (přitom y považujeme za konstantu) a výsledek pak zderivujeme podle y (tentokrát x považujeme za konstantu).
Příklad 11. Vypočtěte f'x a f, kde f(x,y) = arctg^.
Příklad 12. Vypočtěte f'x a f, kde f(x,y) = xy;x > 0.
Příklad 13. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu funkce f(x, y, z) =
v
Xz .
ťL = f (I - l)**"2, nv = x* In2 x •     f»z = xí hr
Výsledek. fx = \x*    , /' = x* ln x • -, f'z = x z In x
3