Matematika III, 2. cvičení Limity funkcí více proměnných
Pro počítání limit § a ^ nemáme k dispozici žádnou analogii ĽHospitalova pravidla, musíme tedy používat různé úpravy. Rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou proměnných spočívá v odlišnosti okolí limitního bodu: u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (pak má funkce limitu v bodě, pokud existují obě jednostranné limity, které se rovnají), ale u funkce dvou a více proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby (po přímkách, parabolách, ...). Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Pokud tedy dostaneme různé hodnoty limity pro různé cesty, limita v daném bodě neexistuje. V následujících příkladech vypočítejte limity, případně dokažte, že neexistují.
Nápověda. Pokud po dosazení limitních bodů nevyjde neurčitý výraz, můžeme tyto limitní body dosadit. Pokud vyjde neurčitý výraz, můžeme zkoušet různé postupy:
(1) rozložit čitatel nebo jmenovatel na součin podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
(2) rozšířit čitatel i jmenovatel něčím vhodným podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
/ o \   ohraničený výraz      nn/i        ■ -     '     '      \ n
[á) -^—-— = U, U • (ohraničený výraz) = (J;
(4) použít vhodnou substituci, po které bychom dostali limitu jedné proměnné;
(5) převést limitu dvou proměnných do polárních souřadnic
x = r cos p, y = r sin p>
(je-li v limitě výraz x2 + y2, polární souřadnice většinou fungují, protože pak dostaneme jednodušší výraz x2 + y2 = r2 cos2 ip + r2 sin2 p = r2 (cos2 p + sin2 ip) = r2, který nezávisí na tp);
(6) zvolit y = kx (k limitnímu bodu [0,0] se blížíme po přímkách, v případě jiného limitního bodu je potřeba drobná úprava, aby přímky limitním bodem procházely), y = kx2 (k limitnímu bodu [0, 0] se blížíme po parabolách, v případě jiného limitního bodu je opět potřeba drobná úprava), případně jinak vhodně parametricky nahradit x = f (k) a y = g (k), a pokud bude hodnota limity záviset na parametru k, limita neexistuje; tento postup lze použít pouze k důkazu neexistence limity, nikoliv k výpočtu její hodnoty za předpokladu, že existuje!
Příklad 1. Um(a.ií/)_,(e2il) ljf
Výsledek. 2.
Příklad 2. lim^j,)^) ^f-
Nápověda. Rozložte jmenovatel na součin podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin. Výsledek. ^.
Příklad 3. lim(:E)ž/)^.(1)00)
1
Nápověda. Použijte postup (3). Výsledek. 0.
Příklad 4. lim^^-^a) ^F1
Nápověda. Rozšiřte zlomek výrazem | a použijte substituci t = xy (protože (x, y) —> (0, 2), bude t -> 0). Výsledek. 2.
Příklad 5. Dokažte, že lim^^^Q.o) neexistuje.
Nápověda. Zvolte y = kx2. tedy k bodu [0,0] se budeme blížit po parabolách. Spojitost funkcí více proměnných
Funkce je spojitá v bodech, ve kterých má vlastní limitu (tj. limita existuje a je různá od ±oo), která je rovna funkční hodnotě.
Příklad 6. Určete body, v nichž není spojitá funkce f(x, y)
2x—5y x2+y2-l '
Výsledek. Kružnice fc([0,0];l).
cas(x-y)
Příklad 7. Určete body, v nichž není spojitá funkce f(x, y) — alll(J v+xv )
Výsledek. Množina bodů {[x. x + (2fc + l)f ]; x G K, 6 Z). Příklad 8. Určete body, v nichž není spojitá funkce
g±j£ prO[x,y]^[0,0],
/(z,y) =
I 0 pro [x, y] = [0, 0].
Výsledek. Funkce je všude spojitá, včetně bodu [0,0].
Směrové derivace
Je-li u = (ui, U2) nenulový vektor, pak směrová derivace funkce f(x, y) v bodě [xq, yo] ve směru vektoru u je
,/1       ,    v   f{xQ + uit, y0 + utf) - f{x0,y0) fu(x0. yo) = Irm---.
Zřejmě f'x = f'{lfi) a f'y = f^1}.
Jiný způsob výpočtu směrové derivace (pouze v případě, že funkce je diferencovatelná!): Nejdříve spočítáme obě parciální derivace fx{xo,yo) a fý(xQ,yo). Pak
fu(xo, yo) = fx(xo,yo) ■ ui + fý(xQ, yo) ■ u-2-
Pro funkce tří a více proměnných je to analogické.
Příklad 9. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f{x.y) = x3 + Axy v bodě [2,-1] ve směru vektoru (1,3).
Výsledek. f'^3)(2,-l) = 32.
Příklad 10. Vypočtěte fu{l, —1), kde f(x, y) = arctg(x2 + y2) a u = (1, 2). Výsledek. — |.
Příklad 11. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = \Jx2 + y2 v bodě [1,1] ve směru vektoru ( — 1,3).
Výsledek. /('_1)3)(1,1) = VŽ.
2
Diferenciál, aproximace, tečná rovina
Pro funkci jedné proměnné y = f (x) je diferenciál v bodě xq dán vztahem df{x) = f'{xo)dx. Pro funkci dvou proměnných /: R2 —> R platí df(x,y) = fx(x,y)dx + fý(x,y)dy, diferenciál v pevném bodě [a;o>yo] je
df(x0,y0) = f'x(xQ,yQ){x - x0) + fý{x0,yo){y - yo) = fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy.
Pomocí diferenciálu se určí rovnice tečné roviny ke grafu funkce /(.x, y) v bodě [xq, yo, /{xq, yo)}:
z = f(x0,y0) + fx(x0,yo)(x - x0) + fý{x0,yo){y - yo)   (= fi^o-Vo) + df(x0,y0)).
V okolí bodu dotyku tečné roviny můžeme tedy přibližně vypočítat funkční hodnoty (místo přesné funkční hodnoty vezmeme hodnotu z tečné roviny):
f(x,y) = f(x0,y0) + df{x0,yo) = f{x0,y0) + fx(xo,yo)(x - x0) + fý(x0,y0)(y - y0).
Analogicky se pomocí parciálních derivací prvního řádu určí vztahy pro diferenciál a tečnou nadrovinu funkce více proměnných.
Diferenciál
Příklad 12. Určete diferenciál funkce f(x,y) = arctg        v bodě [VŠ, 1]-Výsledek, df (y/Š, 1) = \dx + \dy.
Příklad 13. Určete diferenciál funkce f(x,y) =
arcsm
X
= v bodě [1, \/3].
Výsledek. df (1,^/3) = Ydx ~ \dV-
Aproximace
Příklad 14. Pomocí diferenciálu přibližně vypo čtěte y/2,982 +4,052.
s 1 02
Příklad 15. Pomoci diferenciálu přibližně vypočtěte arctg g2^.
Nápověda. Zvolte funkci arctg |,^o = yo = 1-Výsledek, f + 0,035.
Taylorův polynom
x4y + xy2 +x + 2 v bodě
Příklad 17. Určete Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x,y) = arctg
l-xy
v bodě [s/3,1].
3