Matematika III, 3. cvičení
Příklad 1. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = x2 +xy+2y2 v bodě [xq, yo, zq] = [1,1,?].
Výsledek, zq = 4, 3x + 5y — z = 4.
Příklad 2. Pomoct Taylorova polynomu 2. stupně přibližně vypočtěte y/2, 982 + 4, 052. Lokální extrémy funkcí více proměnných
Připomeňme, že pro funkci jedné proměnné /: R-íla její stacionární bod xq (tj. bod xq £ M, pro který platí f'{xo) = 0) platí:
• je-li f"(xo) < 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální maximum,
• pokud má funkce / v bodě xq neostré lokální minimum, je f"{xo) > 0,
• je-li f"(xo) > 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální minimum,
• pokud má funkce / v bodě xq neostré lokální maximum, je f"{xo) < 0.
Pro jednoduchost budeme uvažovat funkci dvou proměnných /: M2 —> M, obecný případ pro funkci Wl —> M byl probrán na přednášce. Podobné tvrzení jako pro lokální extrémy funkcí jedné proměnné dostaneme pro funkce dvou (resp. více) proměnných:
Nechť [xq, yo] je stacionární bod funkce /: M2 —> M (tedy platí f'x(xQ,yo) = 0, fý(xo, yo) = 0) a nechť má tato funkce v nějakém okolí bodu [xo,yo] spojité parciální derivace druhého řádu. Pak platí:
• Je-li f"x(x0,y0) > 0 a
detHf(x0,yo) = det (Skf^\   ffifc0'™ľ) = f^o,yo)f^xo,yo)-[fx^xo,yo)}2 > 0,
má funkce / v bodě [xo, yo] ostré lokální minimum,
• Je-li fxX(xo,yo) < 0 a det Hf(xo, yo) > 0, má funkce / v bodě [xo,yo] ostré lokální maximum,
• Je-li det Hf(xo, yo) < 0, extrém v bodě [xo,yo] nenastává,
• V ostatních případech (tj. pokud det Hf(xa,ya) = 0), nic o extrému v bodě [xo, yo] nevíme, musíme použít různé triky.
Dále platí, že funkce /: M2 —> M (platí to i pro funkce více než dvou proměnných) může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje.
Příklad 3. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2.
Výsledek. Tři stacionární body: P\ = [0,0], P2 = [1,1], P3 = [—1,-1]. V P\ extrém nenastává, v obou bodech P2, P3 má funkce / ostré lokální minimum.
Příklad 4. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x3 + y3 — 3xy.
Výsledek. Stacionární body jsou P\ = [0, 0], P2 = [1,1], v Pi není extrém, v P2 je ostré lokální minimum.
1
Příklad 5. Určete lokální extrémy funkce f(x. y) = ln(5x) — x2 + xy + y1
Výsledek. Stacionární body jsou P\ = [-\/2/5, — l/-\/IÔ], P2 = [-\/2/5,1/v/IÔ], ani v jednom z nich extrém nenastává.
Příklad 6. Určete lokální extrémy funkce
y2    z2 2
f{x,y,z) = x +---1---h -
Ax     y z
ležící v prvním oktantu (tj v části prostoru, kde jsou všechny tři souřadnice nezáporné) a určete jejich typ.
Výsledek. Jediný stacionární bod je [|, 1,1], ve kterém je lokální minimum, neboť
Hf =
je pozitivně definitní např. podle Sylvestrova kritéria (au > 0, a\\a,22 — &\2a2\ > 0, det Hf > 0).
Příklad 7. Najděte všechny stacionární body funkce z = f(x,y) definované implicitně rovnicí
■ 0 a zjistěte, zda jsou v těchto bodech lokální extrémy.
2x2 + 2y2 + z2 + 8xz - z +
Výsledek. Vyjde
Ax + 8z ' 8x + 2z - 1'
Ay
8x + 2z-l
stacionární body jsou [—2, 0,1], [^, 0, —|]. Dále Hf(-2,0):
Hf(f,0)
4/c|lj 4/15)' takže funkce f(x,y) má v bodě [—2,0] lokální minimum; _4Qld ^4/15V takže funkce f(x,y) má v bodě [—2,0] lokální maximum.
Příklad 8. Určete lokální extrémy funkce f(x.y) = xy\ia(x2 + y2). Výsledek.
r 9^2 n
A/ = x
fx = y
stacionární body jsou
2x2
ln{x2 + y2) +
XZ _|_
ln(x2+  2) + _V
^ _|_ yz:
Dále
11
XX
Pi,2 = [0,±l],    P3,4 = [±l,0],    P5-8 = [±1/Vte, ±l/y/Te\.
2xy(3x2 + y2)
2xy(x2 + 3y2,     t„ _      2 2
4x2y2
f"
yy
(x2 + y2)2
det Hf(Pi-4) = det ( 2 o) = —^ < 0' tudíž v bodech P1-4 není extrém.
Pro P5 = [1/V2Í, 1/V2^] a P6 = [-1/V2^,-l/y/2e\ je /^(Pg.e) = 2 > 0, det Hf(P5fi) = 4 > 0, tudíž v bodech P5, Pg je ostré lokální minimum.
Pro P7 = [1/^, -l/s/Te] a P8 = [-l/V^, 1/^27] je j^(P7,8) = -2 < 0, det Ff(P5,6) = 4 > 0, tudíž v bodech P7, Pg je ostré lokální maximum.
Příklad 9. Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) každý extrém určete jeho typ.
2y + ln \Jx2 + y2 + 3 arctg ^ a pro
2
Výsledek. Vyjde
f = i -ĺ. X ~ 3y      f = -9 -ĺ. 3x + 2/
x2 + y2'     ^ x2 + y2
stacionárni bod je [—7/5,1/5]. Dále
„ _ y2 - x2 + 6xy       „ _ 3y2 - 3x2 - 2xy       „ _ x2 - y2 - 6xy Ixx ~    (x2+y2)2   '    Ixy ~     (x2 + y2)2     '    Iyy ~    (x2+y2)2 '
H f ( — 7/5,1/5) = ^ _ 13/10   93/io0)' takže funkce f (x,y) v bodě [—7/5,1/5] nemá extrém.
3