Matematika III, 5. cvičení
Absolutní extrémy funkcí více proměnných na kompaktní množině
Na kompaktní (tj. uzavřené a ohraničené) množině M nabývá funkce / svých absolutních (globálních) extrémů buď ve stacionárních bodech ležících v M nebo na hranici množiny M. Při určování absolutních extrémů funkce / postupujeme takto:
(1) určíme stacionární body uvnitř M, případně body, ve kterých nějaká parciální derivace funkce / neexistuje;
(2) vyšetříme funkci / na hranici M;
(3) vybereme největší a nejmenší dosaženou funkční hodnotu.
V bodě (2), který bývá obvykle nej těžší, se dá pro funkci dvou proměnných postupovat následujícím způsobem:
Na částech Mj hranice M si vyjádříme y pomocí x nebo naopak (hranici M rozdělíme na takové části Mi, aby vyjádření jedné proměnné pomocí druhé nebylo moc komplikované), a to pak dosadíme do předpisu funkce /, čímž pro každou část Mi dostaneme novou funkci §i jedné proměnné. U každé funkce gi určíme také uzavřený interval (protože M je uzavřená, bude také interval uzavřený), ze kterého je proměnná této funkce, a na tomto intervalu vyšetříme funkci gi, tj. určíme funkční hodnoty funkce gi v krajních bodech intervalu, v jejích stacionárních bodech ležících uvnitř intervalu a případně v bodech uvnitř intervalu, ve kterých neexistuje g^. Tyto hodnoty funkce gi budou stejné jako hodnoty funkce / v odpovídajících bodech na hranici M.
Příklad 1. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = (2x2+3y2)e~(x2+y2^ na množině M : x2 +y2 < A.
Výsledek. Největší hodnota je | pro [x,y] = [0, ±1], nejmenší hodnota je 0 pro [x,y] = [0, 0].
Příklad 2. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x,y) = xy — x2 — y2+x+y v trojúhelníku M ohraničeném souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0.
Výsledek. Jediným stacionárním bodem je [1,1], v němž je absolutní maximum /(l, 1) = 1. Absolutní minimum —12 je v bodech [4,0] a [0,4] ležících na hranici.
Příklad 3. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x2 + 2xy + 2y2 — 3x — 5y v trojúhelníku M s vrcholy A =[0,2], B = [3, 0] a C = [0, -1].
Výsledek. Absolutní maximum je 7 v bodě [0,-1], absolutní minimum je — ^ v bodě [^,1].
Funkční hodnoty v kandidátech na extrém jsou: /(|, 1) = —^,/(0, —1) = 7,/(0, 2) = — 2,/(3, 0) = n  f((] 5\ _ _25   f(9_  7\ _ _49   f(36  _5_\ _ _25 viJ\vi4) 8'-/U0'5'1 20'-'U7'    17' 17"
Příklad 4. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x,y) = 2x2 + Ay2 na množině M : x2 + y2 < 9.
Výsledek. Absolutní maximum je 36 v bodech [0, ±3], absolutní minimum je 0 v bodě [0, 0].
Příklad 5. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x2 + 3xy + y2 + 2 na množině M ohraničené grafy funkcí y = 2 a y = \x\.
Výsledek. Absolutní maximum je 22 v bodě [2, 2], absolutní minimum je —2 v bodě [—2, 2].
Příklad 6. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f{x, y) = x2 + 2xy — Ax + 8y na množině určené podmínkami 0<x<l,0<y<2.
1
Výsledek. Absolutní maximum je 17 v bodě [1, 2], absolutní minimum je —3 v bodě [1, 0].
Příklad 7. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y, z) = x + 2y + 3z na množině M : x2 +y2 < z < 1.
Nápověda. Protože f'x = 1, f ý = 2, f'z = 3, nejsou žádné stacionární body, tudíž hledané hodnoty budou na hranici M, tj. na množině M\ U M2, kde Mi : x2 + y2 = z < 1, M2 : x2 + y2 < z = 1. Pro Mi máme funkci /i(x, y) = x + 2y + 3(x2 + y2) na množině N\ : x2 + y2 < 1, pro M2 máme funkci f2(x,y) = x + 2y + 3 na množině ÍV2 : x2 + y2 < 1. Pro funkce dvou proměnných už to (snad) umíme dořešit.
Výsledek. Absolutní maximum je 3 + v bodě [-^g, -^g, 1], absolutní minimum je — ^ v bodě L   6'    3 ' 36 J •
V některých speciálních případech (pokud např. umíme sestrojit vrstevnice funkce, jejíž extrémy hledáme, a pokud množina, na níž tyto extrémy hledáme, je „dostatečně jednoduchá") můžeme použít rychlejší metodu, kterou si objasníme na následujícím příkladu:
Příklad 8. Pomoct vrstevnic funkce f(x, y) = x — y určete její největšt a nejmenšt hodnotu na množině M : x2 + y2 < 1.
Výsledek. Absolutní maximum v bodě [l/\/2, —1/\/2], jeho hodnota je ^/2, absolutní minimum v bodě [—1/\/2> 1 / V2], jeho hodnota je — y/2.
Příklad 9. Pomoct vrstevnic funkce f(x, y) = xy určete její největšt a nejmenšt hodnotu na množině M : \x\ + \y\ < 1.
Výsledek. Absolutní maximum je ^ v bodech [±^,±|], absolutní minimum je — ^ v bodech
Příklad 10. Pomoct vrstevnic funkce f(x, y) = x2 — Ax + y2 — 4y + 10 určete její největší a nejmenší hodnotu na množině M : x2 + y2 < 1.
Výsledek. Absolutní maximum je 11 + 4V2 v bodě [-1/V2,-l/\/2], absolutní minimum je 11 - 4^2 v bodě [1/V2,1/V2].
Příklad 11. Pomocí vrstevnic funkce f(x,y) = \x\ + |y| určete její největší a nejmenší hodnotu na množině M : (x — l)2 + (y — l)2 < 1.
Výsledek. Absolutní maximum je 2 + y/2 v bodě [1 + l/y/2,1 + l/y/2], absolutní minimum je 2 - y/2 v bodě [1 - 1/V2,1 - 1/V2].
Jacobiho matice zobrazení z IR2 do IR2 a jeho inverze
Nechť F = (f, g) : M2 —^ M2 a předpokládejme, že funkce /, g (tj. složky zobrazení F) mají v bodě [xo,yo] spojité parciální derivace a že Jacobiho matice F'(xo,yo) = (^(^°'^°) g^(x0'j/o)) zobrazení i7 v bodě [xo,yo] je regulární, tj. det F'(xq, yo) 7^ 0 (det F'(xq, yo) se nazývá jacobián zobrazení F v bodě [xo, yo])- Pak existuje okolí bodu [xq, yo], v němž je zobrazení F prosté, tudíž k němu existuje inverzní zobrazení F^1 v okolí bodu F(xo,yo), a pro Jacobiho matici tohoto inverzního zobrazení v bodě [uo,«o] = F(xo,yo) platí (F^1)'(uq, vq) = [F'(xq, yo)]_1.
Příklad 12. Rozhodněte, zdaje zobrazení F = (f, g) : M2 —> M2, kde f (x,y) = x2 — y2, g(x,y) = 2xy (tj. zobrazení z 1—> z2, uvažujeme-li F jako zobrazení C —> C), prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. V případě, že ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě F(2,l).
2
Výsledek. deti?/(2,1) = 20 7^ 0, tudíž v nějakém okolí bodu [2,1] je F prosté. Dále
Příklad 13. Rozhodněte, zda je zobrazeni F = (f,g) : M2 —> M2, kde f(x,y) = xy,g(x,y) = ^, prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. V kladném případě určete Jacobiho matici inverzního zobrazení F-1 v bodě F'(2,1).
1/5 1/10 -1/10 1/5
Výsledek. detF'(2,l)
-4 7^ 0, tudíž F je prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. Dále
Příklad 14. Rozhodněte, zdaje zobrazení F = (f, g) : M2 —>■ M2, kde f (x,y) = \J x2 + y2,g(x, y) -xy, prosté v nějakém okolí bodu [0,1]. V kladném případě určete Jacobiho matici inverzního zobrazení F^1 v bodě F(0,1).
Výsledek. detF'(0,1)
-1 7^ 0, tudíž F je prosté v nějakém okolí bodu [0,1]. Dále
(f-7(i,o) = (J l
Příklad 15. Spočítejte jacobián funkce F, která je transformací dvou proměnných do polárních souřadnic, a příslušné inverzní transformace.
Nápověda. Funkce F je definována následujícím způsobem:
[x, y] 1—> V1 x2 + y2, arctg —   pro x > 0,
[x,y] 1-4-   \/x2 + y2,7T + arctg
pro x < 0,
7T
[0, y] >->• [y, - sgn(y)
Z polárních souřadnic nazpět je to i7 1 : [r, </?] 1—> [r cos </?, r sin </?]. Lépe se bude počítat, když napřed určíme jacobián zobrazení F^1 a z něj pak jacobián zobrazení F.
Výsledek. de^F"1)' = r,detF' = ±.
3