Matematika III, 6. cvičení Integrální počet funkcí dvou proměnných
Pokud lze množinu SCK2 zadat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici (např. x G (a, b)) umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y G (íp(x),ip(x)), pak
fb ( rtix) \ f(x,y)dxdy = /      / f(x,y)dy\dx.
S Ja   \J<p(x) )
Příklad 1. Vypočtěte Jj^1^x^_12)(x2 + 2xy)dxdy. Výsledek. |.
Příklad 2. Vypočtěte jj"(0il)x(0,3)[3(x - l)2 + (y - 2)2 + 2] dx dy. Výsledek. 12.
Příklad 3. Vypočtěte Jq f*2 (2 - xy) dy dx.
Výsledek.
Příklad 4. Vypočtěte Jq /^(xsiny) dydx. Výsledek. 1.
Příklad 5. Vypočtěte J^x x2_\x+2 dydx. (Tip: po nějaké době rozložte na parciální zlomky.) Výsledek. 3 ln 2 —ln 3.
Příklad 6. Zaměňte pořadí integrace: /Q2 /Jf f(x, y) dy dx. Výsledek. /Q4 ff f(x,y)dxdy.
Příklad 7. Zaměňte pořadí integrace: JQ2 j^inx f(x, y) dy dx.
Výsledek. Q J^Icsiny f(x, y) dx dy.
Příklad 8. Spočítejte J0V 2      2 y2s'mx2dxdy.
Nápověda. Protože integrál Jsinx2 dx neumíme vypočítat, zaměňte nejdříve pořadí integrace a pak výsledný integrál spočítejte pomocí substituce t = x2.
Výsledek. |.
Příklad 9. Spočítejte I = ffM8ydx dy, kde M = {[x, y] G R2; x > 0, xy > 1, x + y < §}. Nápověda. 1 = fi f? X 8y dydx.
2
9
Výsledek. |.
Příklad 10. Spočítejte jjsxy2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y = x a y = x2.
Výsledek.
Příklad 11. Spočítejte ffAx3ydxdy, kde A je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y — x a y = x3.
Výsledek.
1
Transformace souřadnic při integraci
Nechť G(x, y): M C M2 —> M2 je prosté, prvky Jacobiho matice G'(x, y) jsou spojité funkce a det G'(x, y) 7^ 0 pro všechna [x, y] G M. Pak pro každou „rozumnou" (přesněji Riemannovsky měřitelnou) množinu K a spojitou funkci /: G{K) —> M platí:
f(s,t)dsdt= [í f(G(x,y))\det G'\x, y)\dxdy.
G (K) J J K
Velmi důležitá je transformace do polárních souřadnic:
x = r cos (p,    y = r sin tp,
tj. pro dané r a tp dostaneme bod ve vzdálenosti r od počátku [0,0], přičemž velikost orientovaného úhlu, vedeného v kladném směru (tj. proti směru hodinových ručiček) od osy x k polopřímce začínající v [0, 0] a procházející přes tento bod, je p.
Tedy G(r,p) = [rcos</?,rsin</?] = [g(r,p),h(r,p)]. Pak Jacobiho matice zobrazení G je
G'(r, p) = (^ľ) = (s°n^ řTy) • Dále Jacobián je det G'(r, p) = r cos2 (p + r sin2 (p = r. Protože poloměr r > 0, je | det G'(r, tp)\ = \r\ = r. Transformace do polárních souřadnic je obvykle výhodná, pokud je množina, přes kterou integrujeme, kruhem, mezikružím, kruhovou výsečí nebo něčím podobným.
Někdy je lepší použít transformaci do polárních souřadnic se středem v bodě [a, b] (obvykle v případech, kdy je množina, přes kterou integrujeme, podobná kruhu se středem v bodě [a, b]) místo výše uvedené transformace se středem v bodě [0, 0]:
x = r cos ip + a,    y = r sin tp + b.
Snadno si můžete ověřit, že jacobián této transformace je opět r. Přípustné hodnoty nových proměnných jsou r G (0, 00), p> G (0, 2tt).
Zdůrazněme zejména, že transformace při výpočtu integrálů více proměnných vybíráme podle tvaru množiny, přes kterou se integruje, nikoliv podle integrované funkce, jako je tomu u integrálů jedné proměnné!
Příklad 12. Spočítejte integrál
y/(x- l)2 + (y + l)2 dx dy,
M
kde M : 1 < (x - l)2 + (y + l)2 < 4.
Nápověda. M je mezikruží se středem [1,-1], tudíž použijeme polární souřadnice se středem [1,-1]-
Výsledek, ^-tt.
Příklad 13. Vypočtěte integrál JJA 2(x2 + y2) dA, kde A : 1 < x2 + y2 < 4, y > \x\.
Nápověda. Převeďte do polárních souřadnic. Výsledek, ^r-ir.
Příklad 14. Vypočtěte Jq j^^-^dydx.
Nápověda. Transformujte do polárních souřadnic.
Výsledek. |7r.
2
Obsah plochy, hmotnost, těžiště
Integrály můžeme využít například při výpočtu následujících věcí: (1) obsah plochy A je
dx dy,
i a
(2) hmotná destička mající plochu A a hustotu v bodě [x, y] danou funkcí g(x, y) má hmotnost
M = JJa ^dx dy'
(3) hmotná destička mající plochu A a hustotu v bodě [x, y] danou funkcí g(x, y) má souřadnice těžiště [rcoiž/o] dané vztahy
x°=iá S Sa x8<kx' ^dx dy' m=SSa ^dx dy'
Příklad 15. Určete obsah množiny A ohraničené křivkami x = y2 a x = 4y2 — 3. Výsledek. 4.
Příklad 16. Určete obsah rovinného obrazce omezeného křivkami o rovnicích x = 0, y = ^, y = 8 a y = Ax.
Výsledek. \ + 2 ln 2.
Příklad 17. Určete obsah elipsy x2 + 2y2 = 1.
Nápověda. Použijte afinní transformaci souřadnic. Výsledek. l/sqrť2.
Příklad 18. Máme destičku ve tvaru rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka s přeponou délky
1, jejíž hustota je přímo úměrná vzdálenosti od jedné z odvěsen a v protějším vrcholu je rovna
2. Najděte těžiště destičky.
Nápověda. Uvažujte trojúhelník s vrcholy [0, 0], [1/\/2, 0], [0, l/\/2]. Výsledek. M = ±, x0 = ^, y0 = $ ít^ 2^V2 áV áx = & T = ti?' #
Příklad 19. Určete souřadnice těžiště homogenní destičky ohraničené grafy křivek y = x2 a x + y = 2.
Výsledek. T= [-|,f].
Příklad 20. Určete souřadnice těžiště destičky, ohraničené grafy křivek y = x2ax + y = l, je-li hustota v bodě [x, y] rovna jeho vzdálenosti od osy y.
Výsledek. T = [-£,§].
Příklad 21. Určete souřadnice těžiště T kruhové destičky x2 + y2 < a2, kde a > 0. je-li její hustota v daném bodě přímo úměrná vzdálenosti tohoto bodu od bodu [a, 0] (pro výpočet můžeme vzít hustotu rovnu c krát zmíněná vzdálenost).
Nápověda. Užijte transformaci x — a = r cos </?, y = rsimp, tj. polární souřadnice se středem [a,0].
Výsledek. M = = [-§,0].
3