Matematika III, 2. cvičení Limity funkcí více proměnných
Pro počítání limit ^ a || nemáme k dispozici žádnou analogii ĽHospitalova pravidla, musíme tedy používat různé úpravy. Rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou proměnných spočívá v odlišnosti okolí limitního bodu: u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (pak má funkce limitu v bodě, pokud existují obě jednostranné limity, které se rovnají), ale u funkce dvou a více proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby (po přímkách, parabolách, ...). Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Pokud tedy dostaneme různé hodnoty limity pro různé cesty, limita v daném bodě neexistuje. V následujících příkladech vypočítejte limity, případně dokažte, že neexistují.
Nápověda. Pokud po dosazení limitních bodů nevyjde neurčitý výraz, můžeme tyto limitní body dosadit. Pokud vyjde neurčitý výraz, můžeme zkoušet různé postupy:
(1) rozložit čitatel nebo jmenovatel na součin podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
(2) rozšířit čitatel i jmenovatel něčím vhodným podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
/ o \   ohraničený výraz      nn/i        ■ -     ''      \ n
[á) -^—-— = U, U • (ohraničený výraz) = (J;
(4) použít vhodnou substituci, po které bychom dostali limitu jedné proměnné;
(5) převést limitu dvou proměnných do polárních souřadnic
x = r cos tp, y = r sin tp
(je-li v limitě výraz x2 + y2, polární souřadnice většinou fungují, protože pak dostaneme jednodušší výraz x2 + y2 = r2 cos2 ip + r2 sin2 p = r2(cos2 ip + sin2 ip) = r2, který nezávisí na ip);
(6) zvolit y = kx (k limitnímu bodu [0,0] se blížíme po přímkách, v případě jiného limitního bodu je potřeba drobná úprava, aby přímky limitním bodem procházely), y = kx2 (k limitnímu bodu [0, 0] se blížíme po parabolách, v případě jiného limitního bodu je opět potřeba drobná úprava), případně jinak vhodně parametricky nahradit x = f (k) a y = g (k), a pokud bude hodnota limity záviset na parametru k, limita neexistuje; tento postup lze použít pouze k důkazu neexistence limity, nikoliv k výpočtu její hodnoty za předpokladu, že existuje!
Příklad 1. lim(:e)ž/)^.(e2)1) ^
Výsledek. 2.
Příklad 2. lim(ližřH(4i4)
Nápověda. Rozložte jmenovatel na součin podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin. Výsledek. ^.
Příklad 3. lim(:E)ž/)^.(1)00)
1
Nápověda. Použijte postup (3). Výsledek. 0.
Příklad 4. lim^^)^.^^) ^r1
Nápověda. Rozšiřte zlomek výrazem | a použijte substituci t = xy (protože (x, y) —> (0, 2), bude t ->• 0). Výsledek. 2.
Příklad 5. Dokažte, že lim^^^^q 0j .^1y neexistuje.
Nápověda. Zvolte y = kx2. tedy k bodu [0,0] se budeme blížit po parabolách. Spojitost funkcí více proměnných
Funkce je spojitá v bodech, ve kterých má vlastní limitu (tj. limita existuje a je různá od ±oo), která je rovna funkční hodnotě.
1x—5y x2+y2-l'
Příklad 6. Určete body, v nichž není spojitá funkce f(x, y) Výsledek. Kružnice fc([0, 0]; 1).
Příklad 7. Určete body, v nichž není spojitá funkce f(x,y) = ^"^(r-?/)' ^' Výsledek. Množina bodů {[x, x + (2k + l)f ]; x G M, A- G Z}. Příklad 8. Určete body, v nichž není spojitá funkce
' 'ta!   pro [X}y] ^ [0,0],
f{x.y) = l x2+y2
\J) pro [x, y] = [0, 0].
Výsledek. Funkce je všude spojitá, včetně bodu [0, 0].
Směrové derivace
Je-li u = u-i) nenulový vektor, pak směrová derivace funkce f(x, y) v bodě [xq, yo] ve směru vektoru u je
,       \    -i.    f(xo + uit, y0 + u2t) - f{x0, y0) fu(xo- yo) = i™---•
Zřejmě f'x = f'(lfl) a f'y = /('0 1}.
Jiný způsob výpočtu směrové derivace (pouze v případě, že funkce je diferencovatelná!): Nejdříve spočítáme obě parciální derivace f'x(xo,yo) a fý(xo,yo)- Pak
fL(xo, yo) = fL(xo,yo) ■ ui + fý(%o, yo) ■ u2.
Pro funkce tří a více proměnných je to analogické.
Příklad 9. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x.y) = x3 + Axy v bodě [2,-1] ve směru vektoru (1,3).
Výsledek. f'^3)(2,-l) = 32.
Příklad 10. Vypočtěte f^(1,-1), kde f(x,y) = arctg(x2 + y2) au=(l,2). Výsledek. — |.
Příklad 11. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = \Jx2 + y2 v bodě [1,1] ve směru vektoru ( — 1,3).
Výsledek. /(' L3)(l, 1) = y/2.
2
Diferenciál, aproximace, tečná rovina
Pro funkci jedné proměnné y = f (x) je diferenciál v bodě xq dán vztahem df{x) = f'{xo)dx. Pro funkci dvou proměnných /: R2 —> R platí df(x,y) = fx(x,y)dx + fý(x,y)dy, diferenciál v pevném bodě [a;o>yo] je
df(x0,y0) = f'x(xo,yQ){x - x0) + fý(x0,y0){y - y0) = f'x(x0,y0)dx + fý(x0,y0)dy.
Pomocí diferenciálu se určí rovnice tečné roviny ke grafu funkce /(.x, y) v bodě [xq, yo, /{xq, yo)}:
z = f(x0, y0) + f'x(x0,yo)(x - x0) + fý{x0, y0){y - yo)   (= f{xo< yo) + df(x0, y0)).
V okolí bodu dotyku tečné roviny můžeme tedy přibližně vypočítat funkční hodnoty (místo přesné funkční hodnoty vezmeme hodnotu z tečné roviny):
f(x,y) = f(x0,y0) +df{x0,yo) = f{x0,y0) + fx(xo,yo){x - x0) + fý{x0,y0)(y - y0).
Analogicky se pomocí parciálních derivací prvního rádu určí vztahy pro diferenciál a tečnou nadrovinu funkce více proměnných.
Diferenciál
Příklad 12. Určete diferenciál funkce f(x,y) = arctg        v bodě [\/3,1]. Výsledek, df (y/Š, 1) = \dx + \dy.
Příklad 13. Určete diferenciál funkce f(x,y) = arcsin , x   o v bodě [\,y/Š].
Výsledek. df(l,VŠ) = &dx-\dy. Aproximace
Příklad 14. Pomocí diferenciálu přibližně vypo čtěte y/2,982 + 4,052.
s 1 02
Příklad 15. Pomoci diferenciálu přibližně vypočtěte arctg q2^.
Nápověda. Zvolte funkci arctg ^,%o = yo = 1-Výsledek, f+ 0,035.
Taylorův polynom
Příklad 16. Určete Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x,y) = x4y + xy2 +x + 2 v bodě 1,1].
Příklad 17. Určete Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x, y) = arctg f^j- v bodě [\/3.1].
3