Matematika III, 4. cvičení Derivace funkce zadané implicitně
Funkci značíme písmenem y, proměnnou písmenem x, můžeme si představit, že y = f (x). Proto derivace x je 1, ale derivace y je y', takže např. (x2)' = 2x a (y2)' = 2yy'.
Příklad 1. Určete první a druhou derivaci, pokud x2 + y2 = 1.
Výsledek, y' = — |, y
x   „// _ y2+x2
Příklad 2. Určete derivaci, pokud xy — 2xy + xó — 3y +5 = 0. Výsledek, y' =
Příklad 3. Určete derivaci, pokud sm(x2) + cos(y2) — 1=0.
Výsledek, y
l _       xcos(x )
ž/siri(j/2)
Příklad 4. Nechť je funkce y = y{x) dána v okolí bodu [1,1] implicitně rovnicí ys— 2xy+x2 = 0. Určete y'{l) a y"(l).
Výsledek. y'(l) = 0, y"(l) = -2.
Příklad 5. Nechi je funkce y = y(x) dána v okolí bodu f2-^-, f ] implicitně rovnicíy —
x.
,J CK—\ \    „  „JICK — l '
Určete y'(^) ay\ 2
Výsledek. y'(z=±) = l,y"(^) = -\.
Příklad 6. Rozhodněte, zda křivka x3 — y3 + 2xy = 0 leží v okolí bodu [1, —1] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Nápověda. Křivku v okolí bodu [1,-1] považujte za funkci y(x) zadanou implicitně, odpovězte podle hodnoty druhé derivace této funkce v daném bodě.
Výsledek. y"(l) = 16 > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.
Příklad 7. Rozhodněte, zda křivka |:c2 — 3xy2 + y3 — | = 0 leží v okolí bodu [1,3] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Výsledek. y"(l) = if > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.
1