'DiferenciaCni rovnice
MB103 ■ podzim 2013 Cvičení 8
Příklad 1. Najděte obecné řešení rovnice
-'// - -'-V = o.
Výsledek, y = ce
—x
.-2
Příklad 2. Najděte obecné řešení rovnice
0.
Výsledek, f
+ c
y cos y — sin y
Příklad 3. Najděte obecné řešení rovnice
(x + l)dy + xydx = 0.
Výsledek, y = c(x + \)e~x
Příklad 4. Najděte obecné řešení rovnice
Výsledek, y = c(x + 1) + 1
Příklad 5. Řešte diferenciální rovnici s počátečními podmínkami y(l)
Výsledek, y = 1
Příklad 6. Řešte diferenciální rovnici s počátečními podmínkami y(0)
y lny + xy' = 0.
(l + ex)^- + ex = 0.
y
Výsledek, y = 2(1 + ex)
-i
Příklad 7. Najděte obecné řešení rovnice
2xy' = 3y + x.
Výsledek, ex3
(x + y)2
Příklad 8. Najděte obecné řešení rovnice
(:r2 - xy)y + y2 = 0.
Výsledek, y = ce*
Příklad 9. Najděte obecné řešení rovnice
xy = 2x + y.
Výsledek, y = 2xln \ cx\
Příklad 10. Najděte obecné řešení rovnice
(x2 + 2xy)dx + {x2 - y2)dy = 0.
Výsledek, y3 — 3yx2 — x3 = c
Příklad 11. Najděte obecné řešení rovnice
y = 6x — 2y.
Výsledek, y = 3x — | + ce~2x
Příklad 12. Najděte obecné řešení rovnice
y + Ax3y = x2e~x4.
Výsledek, y = (y + c)e~xi
Příklad 13. Najděte obecné řešení rovnice
y = 6xy + Axe3x2.
Výsledek. (2x2 + c)e3x2
Příklad 14. Najděte obecné řešení rovnice
y + y cos x = sin 2x. Výsledek, y = 2 (sin a- - 1) + ce"sinx Příklad 15. Najděte obecné řešení rovnice
{ey - x)y = y.
Výsledek, x =
Příklad 16. Najděte obecné řešení rovnice
xy' — y = —xy2.
Výsledek, y = -J*f^, y = 0
Příklad 17. Najděte obecné řešení rovnice
y + xy = xy3.
Výsledek, y2 = (cex +1) 1
Příklad 18. Najděte obecné řešení rovnice
xy' + y = y2 lux.
Výsledek, y = y(l + ln x + cx) = 1 Příklad 19. Najděte obecné řešení rovnice
/ 4y _ y = —I- Xy/y.
x
Výsledek, y = x4 (ln (\/jx}) + c
\2
Příklad 20. Čistička vody o objemu 2000 m3 byla znečištěna olovem, které se nachází ve vodě v ní v množství 10 g/m3. Do čističky přitéká čistá voda rychlostí 2 m3/s a stejnou rychlostí i vytéká. Za jak dlouho poklesne obsah olova ve vodě v čističce pod 10 /ig/m3, předpokládáme-li, že voda je neustále rovnoměrně promíchávána?
Výsledek. 6 hodin a 35 minut.
Příklad 21. Rychlost, kterou se šíří epidemie v dané uzavřené populaci o P lidech, je přímo úměrná součinu počtu lidí, kteří jsou nakaženi, a počtu lidí, kteří jsou ještě nenakaženi. Určete funkci fit) popisující počet nakažených v čase.
Příklad 22. Poločas rozpadu radioaktivního prvku A je pět let, prvku B jeden rok. Máme-li 5 kg prvku i? a 1 kg prvku A, za jak dlouho budeme mít stejné množství obou.
Výsledek. f£f