Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Matematika III – 2. týden
Limity funcí více proměnných, směrové derivace,
diferenciál, Taylorův rozvoj
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
28. září – 2. října 2015
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Derivace a diferenciál
Derivace ve směru vektoru
Totální diferenciál
Tečná nadrovina ke grafu funkce
3 Derivace vyšších řádů
Iterované parciální derivace
Hessián – aproximace 2. řádu
4 Taylorova věta
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Plán přednášky
1 Literatura
2 Derivace a diferenciál
Derivace ve směru vektoru
Totální diferenciál
Tečná nadrovina ke grafu funkce
3 Derivace vyšších řádů
Iterované parciální derivace
Hessián – aproximace 2. řádu
4 Taylorova věta
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Kde je dobré číst?
Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet
funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999,
273 s.
J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně,
Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice
www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Plán přednášky
1 Literatura
2 Derivace a diferenciál
Derivace ve směru vektoru
Totální diferenciál
Tečná nadrovina ke grafu funkce
3 Derivace vyšších řádů
Iterované parciální derivace
Hessián – aproximace 2. řádu
4 Taylorova věta
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Definition
Funkce f : Rn → R má derivaci ve směru vektoru v ∈ Rn v bodě
x ∈ En, jestliže existuje derivace dv f (x) složeného zobrazení
t → f (x + tv) v bodě t = 0, tj.
dv f (x) = lim
t→0
1
t
(f (x + tv) − f (x)).
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Definition
Funkce f : Rn → R má derivaci ve směru vektoru v ∈ Rn v bodě
x ∈ En, jestliže existuje derivace dv f (x) složeného zobrazení
t → f (x + tv) v bodě t = 0, tj.
dv f (x) = lim
t→0
1
t
(f (x + tv) − f (x)).
Speciální volbou přímek ve směru souřadných os dostáváme tzv.
parciální derivace funkce f , které značíme ∂f
∂xi
, i = 1, . . . , n, nebo
bez odkazu na samotnou fukci jako operace ∂
∂xi
.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Definition
Funkce f : Rn → R má derivaci ve směru vektoru v ∈ Rn v bodě
x ∈ En, jestliže existuje derivace dv f (x) složeného zobrazení
t → f (x + tv) v bodě t = 0, tj.
dv f (x) = lim
t→0
1
t
(f (x + tv) − f (x)).
Speciální volbou přímek ve směru souřadných os dostáváme tzv.
parciální derivace funkce f , které značíme ∂f
∂xi
, i = 1, . . . , n, nebo
bez odkazu na samotnou fukci jako operace ∂
∂xi
.
Pro funkce v E2 dostáváme
∂
∂x
f (x, y) = lim
t→0
1
t
(f (x + t, y) − f (x, y)),
∂
∂y
f (x, y) = lim
t→0
1
t
(f (x, y + t) − f (x, y)).
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Example
Se samotnými parciálními nebo směrovými derivacemi nevystačíme
pro dobrou aproximaci chování funkce lineárními výrazy:
g(x, y) =
1 když xy = 0
0 jinak
, h(x, y) =
1 když y = x2 = 0
0 jinak
.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Example
Se samotnými parciálními nebo směrovými derivacemi nevystačíme
pro dobrou aproximaci chování funkce lineárními výrazy:
g(x, y) =
1 když xy = 0
0 jinak
, h(x, y) =
1 když y = x2 = 0
0 jinak
.
Žádná z nich neprodlužuje všechny hladké křivky procházející
bodem (0, 0) na hladké křivky.
Pro g existují obě parciální derivace v (0, 0) a jiné směrové derivace
neexistují, zatímco pro h existují všechny směrové derivace v bodě
(0, 0) a platí dv h(0) = 0 pro všechny směry v, takže jde o lineární
závislost na v ∈ R2.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné
proměnné:
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné
proměnné:
Definition
Funkce f : Rn → R je diferencovatelná v bodě x, jestliže
1 v bodě x existují všechny směrové derivace dv f (x), v ∈ Rn,
2 dv f (x) je lineární v závislosti na přírůstku v
3 0 = limv→0
1
v f (x + v) − f (x) − dv f (x) .
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné
proměnné:
Definition
Funkce f : Rn → R je diferencovatelná v bodě x, jestliže
1 v bodě x existují všechny směrové derivace dv f (x), v ∈ Rn,
2 dv f (x) je lineární v závislosti na přírůstku v
3 0 = limv→0
1
v f (x + v) − f (x) − dv f (x) .
Lineární výraz dv f (závislý na vektorové proměnné v) nazýváme
diferenciál funkce f vyčíslený na přírůstku v.
Pozor na pochopení obsahu definice limity funkce na Rn! Je třeba
vidět v kontextu metriky na Rn. Pro diferenciál je zde pro každé
> 0 k dispozici δ > δ takové, že pro přírůstky v menší než δ bude
chyba aproximace poměrného přírůstku hodnot pomocí poměrného
přírůstku diferenciálu menší než .
V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f .
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Uvažujme f : E2 → R se spojitými parciálními derivacemi.
Diferenciál v pevném bodě (x0, y0) je lineární funkce df : R2 → R
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy
na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Uvažujme f : E2 → R se spojitými parciálními derivacemi.
Diferenciál v pevném bodě (x0, y0) je lineární funkce df : R2 → R
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy
na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi.
Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně
df =
∂f
∂x1
dx1 +
∂f
∂x2
dx2 + · · · +
∂f
∂xn
dxn (∗)
a platí:
Theorem
Nechť f : En → R je funkce n proměnných, která má v okolí bodu
x ∈ En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál df
v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (∗).
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Funkce třídy C1
Definition
Říkáme, že funkce f : Rn → R je třídy C1 na množině A, jestliže
má ve všech bodech množiny A spojité parciální derivace. Píšeme
f ∈ C1(A).
Viděli jsme, že funkce v C1(A) mají na A diferenciál, tj. jsou na A
diferencovatelné.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Pro f : E2 → R a pevný bod (x0, y0) ∈ E2 uvažme rovinu v E3:
z = f (x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x − x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0).
Je to jediná rovina procházející (x0, y0), ve které leží derivace a
tedy i tečny všech křivek c(t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Říkáme
jí tečná rovina ke grafu funkce f .
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Pro f : E2 → R a pevný bod (x0, y0) ∈ E2 uvažme rovinu v E3:
z = f (x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x − x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0).
Je to jediná rovina procházející (x0, y0), ve které leží derivace a
tedy i tečny všech křivek c(t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Říkáme
jí tečná rovina ke grafu funkce f .
Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce
f (x, y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky
c(t) = (t, t, f (t, t)).
0
1
2
3
x
0
-2 4
1 2
-1
5
3 4
0
y 5
6
6
1
2
0
1
2
3
x
0
-2 4
1 2
-1
5
3 4
0
y 5
6
6
1
2
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Diferenciál zadává tečné (nad)roviny funkce n proměnných.
0
1
2
3
x
0
-2 4
1 2
-1
5
3 4
0
y 5
6
6
1
2
0
1
2
3
x
0
-2 4
1 2
-1
5
3 4
0
y 5
6
6
1
2
Graf funkce f (x, y) = sin(x) cos(y), červená čára je obrazem křivky
c(t) = (t, t, f (t, t)).
Diferencovatelná funkce f na En v bodě x ∈ En má nulový
diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou
procházející tímto bodem zde má stacionární bod. To ovšem
neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň lokálně buď
maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné proměnné
můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Obecně pro f : En → R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+1.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Obecně pro f : En → R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+1.
Tato nadrovina
1 prochází bodem (x, f (x))
2 její zaměření je grafem lineárního zobrazení df (x) : Rn → R,
tj. diferenciálu v bodě x ∈ En.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Plán přednášky
1 Literatura
2 Derivace a diferenciál
Derivace ve směru vektoru
Totální diferenciál
Tečná nadrovina ke grafu funkce
3 Derivace vyšších řádů
Iterované parciální derivace
Hessián – aproximace 2. řádu
4 Taylorova věta
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Pro pevný přírůstek v ∈ Rn je vyčíslení diferenciálů na tomto
přírůstku opět (diferenciální) operace na funkcích f : En → R
f → dv f = df (v).
Výsledkem je df (v) : En → R. Jestliže je tato funkce opět
diferencovatelná, můžeme iterovat.
Pro parciální derivace druhého řádu píšeme
(
∂
∂xj
◦
∂
∂xi
)f =
∂2
∂xi ∂xj
f =
∂2f
∂xi ∂xj
v případě opakované volby i = j píšeme také
(
∂
∂xi
◦
∂
∂xi
)f =
∂2
∂x2
i
f =
∂2f
∂x2
i
.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o
parciálních derivacích k-tého řádu
∂kf
∂xi1 . . . ∂xik
.
Theorem
Nechť f : En → R je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými
parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu x ∈ Rn.
Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Definition
Je-li f : Rn → R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce,
nazýváme symetrickou matici funkcí
Hf (x) =
∂2f
∂xi ∂xj
(x) =



∂2f
∂x1∂x1
(x) . . . ∂2f
∂x1∂xn
(x)
...
...
...
∂2f
∂xn∂x1
(x) . . . ∂2f
∂xn∂xn
(x)



Hessián funkce f v bodě x.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Pro křivku c(t) = (x(t), y(t)) = (x0 + ξt, y0 + ηt) mají funkce
α(t) = f (x(t), y(t))
β(t) = f (x0, y0) + t ·
∂f
∂x
(x0, y0)ξ +
∂f
∂y
(x0, y0)η
+
1
2
t2
fxx (x0, y0)ξ2
+ 2fxy (x0, y0)ξη + fyy (x0, y0)η2
stejné derivace do druhého řádu včetně. Funkci β píšeme vektorově:
β(t) = f (x0, y0) + tdf (x0, y0) ·
ξ
η
+
1
2
t2
(ξ η) · Hf (x0, y0) ·
ξ
η
nebo β(t) = f (x0, y0) + tdf (x0, y0)(v) + 1
2 t2Hf (x0, y0)(v, v), kde
v = (ξ, η) = c (t) je přírůstek zadaný derivací křivky c(t) a Hessián
symetrická 2–forma.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Plán přednášky
1 Literatura
2 Derivace a diferenciál
Derivace ve směru vektoru
Totální diferenciál
Tečná nadrovina ke grafu funkce
3 Derivace vyšších řádů
Iterované parciální derivace
Hessián – aproximace 2. řádu
4 Taylorova věta
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné!
6
5
4 x
3
2
1
0
0
1
2
3
4 y
5
6-2
-1
0
1
2
6
5
4 x
3
2
1
0
0
1
2
3
4 y
5
6-2
-1
0
1
2
Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro
funkci f (x, y) = sin(x) cos(y).
Obecně pro funkce f : En → R, body x = (x1, . . . , x2) ∈ En a
přírůstky v = (ξ1, . . . , ξn) klademe
Dk
f (x)(v) =
1≤i1,...,ik ≤n
∂kf
∂xi1 . . . ∂xik
(x1, . . . , xn) · ξi1 · · · ξik
.
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Ukažme ve dvou proměnných:
Tečná rovina: f (x0, y0) + D1(x0, y0)(x − x0, y − y0)
Aproximace pomocí hesiánu:
f (x0, y0) + D1(x0, y0)(x − x0, y − y0) + 1
2D2(x0, y0)f (x − x0, y − y0)
výraz třetího řádu
D3
f (x, y)(ξ, η) =
∂3f
∂x3
ξ3
+ 3
∂3f
∂x2∂y
ξ2
η + 3
∂3f
∂x∂y2
ξη2
+
∂3f
∂y3
η3
a obecně
Dk
f (x, y)(ξ, η) =
k
=0
k ∂kf
∂xk− ∂y
ξk−
η .
Literatura Derivace a diferenciál Derivace vyšších řádů Taylorova věta
Theorem (Taylorův rozvoj se zbytkem)
Nechť f : En → R je k–krát diferencovatelná funkce v okolí Oδ(x)
bodu x ∈ En. Pro každý přírůstek v ∈ Rn s velikostí v < δ pak
existuje číslo 0 ≤ θ ≤ 1 takové, že
f (x + v) = f (x) + D1
f (x)(v) + · · · +
1
(k − 1)!
Dk−1
f (x)(v)
+
1
k!
Dk
f (x + θ · v)(v).
Náznak důkazu: Pro přírůstek v ∈ Rn volíme c(t) = x + tv v En a
zkoumáme ϕ : R → R definovanou složením ϕ(t) = f ◦ c(t).
Taylorova věta pro funkce jedné proměnné říká:
ϕ(t) = ϕ(0)+ϕ (0)t +· · ·+
1
(k − 1)!
ϕ(k−1)
(0)tk−1
+
1
k!
ϕ(k)
(θ)tk
.
Zbývá nám tedy jen ověřit, že postupným derivováním složené
funkce ϕ dostaneme právě požadovaný vztah. To lze provést
indukcí přes řád k.