Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Matematika III – 5. týden Integrace podruhé Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 13.10. – 17.10. 2014 Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Obsah přednášky 1 Literatura 2 Připomenutí 3 Změna souřadnic 4 Integrace diferenciálních forem Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Plán přednášky 1 Literatura 2 Připomenutí 3 Změna souřadnic 4 Integrace diferenciálních forem Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Kde je dobré číst? Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně, Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii + 1232 pp. Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Plán přednášky 1 Literatura 2 Připomenutí 3 Změna souřadnic 4 Integrace diferenciálních forem Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Integrály závislé na parametrech Theorem Pro spojitě diferencovatelnou funkci f (x, y1, . . . , yn) definovanou pro x z konečného intervalu [a, b] a na nějakém okolí bodu a = (a1, . . . , an) ∈ Rn uvažujme integrál F(y1, . . . , yn) = b a f (x, y1, . . . , yn)dx. Potom F je spojitá a pro všechny indexy j = 1, . . . , n platí ∂F ∂yj (a) = b a ∂f ∂yj (x, a1, . . . , an)dx Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Theorem Množina Riemannovsky integrovatelných funkcí na vícerozměrném intervalu S ⊂ Rn je vektorovým prostorem a Riemannův integrál je na něm lineární formou. Pokud je obor integrace S zadán jako disjunktní sjednocení konečně mnoha Riemannovsky měřitelných oborů Si , je integrál funkce f přes S dán součtem integrálů přes obory Si . Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Násobné integrály Riemannovsky integrovatelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěmi funkcemi rozsah další souřadnice y ∈ [ϕ(x), ψ(x)], poté rozsah další souřadnice z ∈ [η(x, y), ζ(x, y)] atd. Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Násobné integrály Riemannovsky integrovatelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěmi funkcemi rozsah další souřadnice y ∈ [ϕ(x), ψ(x)], poté rozsah další souřadnice z ∈ [η(x, y), ζ(x, y)] atd. Theorem V případě množiny S zadané jako výše a Riemannovsky integrovatelné funkce f na S je Riemannův integrál vyčíslen formulí S f (x, y, . . . , z)dx . . . dz = b a ψ(x) ϕ(x) . . . ζ(x,y,... ) η(x,y,... ) f (x, y, . . . , z)dz . . . dy dx Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Theorem (Fubiniho věta) Pro vícerozměrný interval S = [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn] a spojitou funkci f (x1, . . . , xn) na S je násobný integrál S f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn = b1 a1 b2 a2 . . . bn an f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn nezávislý na pořadí ve kterém postupně integraci provádíme. Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Plán přednášky 1 Literatura 2 Připomenutí 3 Změna souřadnic 4 Integrace diferenciálních forem Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Změna souřadnic při integraci Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Integrovaný výraz f (x)dx vyjadřuje plochu obdélníčku určeného (linearizovaným) přírůstkem proměnné x a hodnotou f (x). Pokud proměnnou transformujeme vztahem x = u(t), vzjadřuje se i linearizovaný přírůstek jako dx = du dt dt a proto i příslušný příspěvek pro integrál je vyjádřen jako f (u(t)) du dt dt, přičemž buď předpokládáme, že znaménko derivace u (t) je kladné, nebo dojde k obrácení mezí integrálu, takže ve výsledku se znaménko neprojeví. Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů. Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů. Theorem Nechť G(t1, . . . , tn) : Rn → Rn, (x1, . . . , xn) = G(t1, . . . , tn), je spojitě diferencovatelné zobrazení, S = G(T) a T jsou Riemannovsky měřitelné množiny a f : S → R spojitá funkce. Potom platí S f (x1, . . . , xn)dx1 . . . xn = T f (G(t1, . . . , tn))| det(D1 G(t1, . . . , tn))|dt1 . . . dtn. Podrobný formální důkaz je přímočarou realizací výše uvedené úvahy ve spojení s definicí Riemannova integrálu. Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Například pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s, t) = (g(s, t), h(s, t)). Dostáváme G(T) f (x, y)dxdy = T f (g(s, t), h(s, t)) ∂g ∂s ∂h ∂t − ∂g ∂t ∂h ∂s dsdt. Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Jako příklad spočtěme integrál z charakteristické funkce kružnice o poloměru R (tj. její plochu) Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Jako příklad spočtěme integrál z charakteristické funkce kružnice o poloměru R (tj. její plochu) Nejprve spočítáme Jacobiho matici transformace x = r cos θ, y = r sin θ D1 G = cos θ −r sin θ sin θ r cos θ . Proto je determinant z této matice roven det D1 G(r, θ) = r(sin2 θ + cos2 θ) = r. Můžeme tedy přímo počítat pro kružnici S o poloměru R, která je obrazem obdélníku (r, θ) ∈ [0, R] × [0, 2π] = T: S dxdy = 2π 0 R 0 rdr dθ = R 0 2πrdr = πR2 . Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Plán přednášky 1 Literatura 2 Připomenutí 3 Změna souřadnic 4 Integrace diferenciálních forem Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Vektorový prostor všech k–lineárních antisymetrických forem na tečném prostoru Tx U, U ⊂ Rn budeme značit Λk(Tx Rn)∗. Stručně hovoříme o vnější k–formě v bodě x. Přiřazení k–formy η(x) každému bodu x ∈ U z otevřené podmnožiny v Rn zadává vnější diferenciální k–formu na U. Množinu hladkých vnějších k–forem na U značíme Ωk(U). Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Vektorový prostor všech k–lineárních antisymetrických forem na tečném prostoru Tx U, U ⊂ Rn budeme značit Λk(Tx Rn)∗. Stručně hovoříme o vnější k–formě v bodě x. Přiřazení k–formy η(x) každému bodu x ∈ U z otevřené podmnožiny v Rn zadává vnější diferenciální k–formu na U. Množinu hladkých vnějších k–forem na U značíme Ωk(U). Pro hladkou parametrizaci ϕ : V → M variety M, nějaké η(ϕ(u)) ∈ Λk(Tϕ(u)Rn) a zvolme libovolně k vektorů X1(u), . . . , Xk(u) v tečném prostoru TuV . Podobně jako u lineárních forem nyní můžeme vyčíslit formu η na obrazech vektorů Xi pomocí parametrizace ϕ. Říkáme této operaci stažení formy η pomocí ϕ. ϕ∗ (η(ϕ(u)))(X1(u), . . . , Xk(u)) = η(ϕ(u))(ϕ∗(X1(u)), . . . , ϕ∗(X1(u))). Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Vnější součin a diferenciál Máme-li dány k–formu α ∈ ΛkRn∗ a –formu β ∈ ΛkRn∗ můžeme prostřídat argumenty ve všech pořadích a opatřit správným znaménkem - dostaneme (k + )-formu: (α ∧ β)(X1, . . . , Xk+ ) = 1 k! ! σ∈Σk+ sign(σ)α(Xσ(1), . . . , Xσ(k))β(Xσ(k+1), . . . , Xσ(k+ )). Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Vnější součin a diferenciál Máme-li dány k–formu α ∈ ΛkRn∗ a –formu β ∈ ΛkRn∗ můžeme prostřídat argumenty ve všech pořadích a opatřit správným znaménkem - dostaneme (k + )-formu: (α ∧ β)(X1, . . . , Xk+ ) = 1 k! ! σ∈Σk+ sign(σ)α(Xσ(1), . . . , Xσ(k))β(Xσ(k+1), . . . , Xσ(k+ )). Theorem (Vnější diferenciál d) Existuje jediné zobrazení d : Ωk(M) → Ωk+1M, pro všechny M ⊂ Rn a k = 0, . . . , k, takové že d je lineární vzhledem k násobení reálnými čísly pro k = 0 jde o diferenciál funkcí d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−1)kα ∧ (dβ), kde α ∈ Ωk(M) pro každou funkci f na M platí d(df ) = 0. Literatura Připomenutí Změna souřadnic Integrace diferenciálních forem Stokesova věta Theorem Uvažme hladkou vnější (k − 1)–formu ω s kompaktním nosičem na orientované k-rozměrné ¯M ⊂ Rn s hranicí ∂M se zděděnou orientací. Pak platí M dω = ∂M ω. Případ n = 2, k = 1. Máme plochu M v rovině ohraničenou křivkou C = ∂M. Je-li forma ω(x, y) = f (x, y)dx + g(x, y)dy, je dω = −∂f ∂y + ∂g ∂x dx ∧ dy. Stokesova věta tedy dává vztah C f (x, y)dx + g(x, y)dy = M − ∂f ∂y + ∂g ∂x dx ∧ dy, což je jeden z klasických tvarů tzv. Greenovy věty.