Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Matematika III – 9. týden
Náhodné vektory, číselné charakteristiky náhodných
veličin
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
10.-14. 11. 2014
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Náhodné vektory
3 Funkce náhodných veličin
4 Střední hodnota a rozptyl
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Plán přednášky
1 Literatura
2 Náhodné vektory
3 Funkce náhodných veličin
4 Střední hodnota a rozptyl
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Kde je dobré číst?
Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická
pravděpodobnost statistika, Matfyzpress, 2006, 230pp.
J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně,
Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice
www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne
Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie
pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů),
Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN
80-210-3313-4.
Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní
statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran,
ISBN 80-210-3886-1.
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Plán přednášky
1 Literatura
2 Náhodné vektory
3 Funkce náhodných veličin
4 Střední hodnota a rozptyl
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Obdobně k náhodným veličinám definujeme distribuční funkce a
hustotu a pravděpodobnostní funkci pro spojité a diskrétní náhodné
vektory. Hovoříme také o simultánních (sdružených)
pravděpodobnostních funkcích a hustotách.
Pro dvě proměnné (vektor (X, Y ) náhodných veličin):
f (x, y) =
P(X = xi ∧ Y = yj ) x = xi ∧ y = yj
0 jinak.
u diskrétních a pro všechny a, b ∈ R pro spojité:
F(b, a) = P(−∞ < X < b, ∞ < Y < a) =
a
−∞
b
−∞
f (x, y)dxdy.
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Marginální rozložení
pro jednu z proměnných obdržíme tak, že přes ostatní posčítáme
nebo zintegrujeme. Např. u diskrétních vektorových veličin (X, Y )
tvoří jevy (X = xi , Y = yj ) pro všechny možné hodnoty xi a yj s
nenulovými pravděpodobnostmi pro X a Y úplný systém jevů pro
vektor (X, Y ) a dostáváme vztah:
P(X = xi ) =
∞
j=1
P(X = xi , Y = yj )
mezi marginálním rozdělením pravděpodobnosti náhodné
veličiny X a sdruženým rozdělením pravděpodobnosti
náhodného vektoru (X, Y ).
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Náhodné veličiny X a Y jsou stochasticky nezávislé, jestliže
jejich sdružená distribuční funkce splňuje
F(x, y) = G(x) · H(y),
kde G a H jsou distribuční funkce veličin X a Y .
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Plán přednášky
1 Literatura
2 Náhodné vektory
3 Funkce náhodných veličin
4 Střední hodnota a rozptyl
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Definition
Pro danou spojitou funkci ψ : R → R a náhodnou veličinu X máme
dánu také náhodnou veličinu Y = ψ(X). Nazýváme ji funkcí
náhodné veličiny X.
V případě náhodného vektoru (X1, . . . , Xn) a funkce ψ : Rn → R
hovoříme o funkci Y = ψ(X1, . . . , Xn) náhodného vektoru.
Požadavek spojitosti ψ zaručuje, že je Y opět náhodnou veličinou
podle naší definice, protože vzor borelovské množiny ve spojitém
zobrazení je opět borelovská množina.
Obecněji můžeme právě tento požadavek na ψ vztáhnout pro každý
speciální případ veličiny či vektoru a definovat tak pojem funkce
z náhodné veličiny či vektoru obecněji.
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Nejjednodušší funkcí po konstantách je afinní závislost
ψ(X) = a + bX
s konstantami a, b ∈ R, b = 0.
Je-li fX (x) pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny s diskrétním
rozdělením, snadno se vypočte
fψ(X)(y) = P(ψ(X) = y) =
ψ(xi )=y
f (xi ).
V případě afinní závislosti Y = a + bX je proto pravděpodobnostní
funkce nenulová právě v bodech yi = axi + b.
Např. součet n nezávislých náhodných veličin s alternativním
rozdělením A(p) je veličina s binomiální rozdělení Bi(n, p).
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Podobně můžeme přepočíst distribuční funkci rozdělení funkce ze
spojité náhodné veličiny, či vektoru.
Např. má-li Z s normální rozdělení N(0, 1), pak veličiny
Y = µ + σZ budou mít normální rozdělení N(µ, σ).
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Podobně můžeme přepočíst distribuční funkci rozdělení funkce ze
spojité náhodné veličiny, či vektoru.
Např. má-li Z s normální rozdělení N(0, 1), pak veličiny
Y = µ + σZ budou mít normální rozdělení N(µ, σ).
Se součty nezávislých spojitých veličin X a Y s hustotami fX a fY
je to složitější. Přímým výpočtem spočteme distribuční funkci
náhodné promnné V = X + Y .
FV (u) =
x+y<u
fX (x)fY (y) dxdy
=
u
−∞
∞
−∞
fX (x)fY (v − x) dx dv.
Je tedy sdruženou hustotou součtu dvou nezávislých veličin právě
konvoluce jejich hustot
fV = fX ∗ fY .
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Plán přednášky
1 Literatura
2 Náhodné vektory
3 Funkce náhodných veličin
4 Střední hodnota a rozptyl
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Střední hodnota
Nechť X je náhodná veličina s diskrétním rozdělením. Jestliže řada
∞
k=1 xi P(X = xi ) konverguje absolutně (zejména tedy pro
všechny X s konečně mnoha možnými hodnotami xi ), pak její
součet E X nazýváme střední hodnotou X.
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Střední hodnota
Nechť X je náhodná veličina s diskrétním rozdělením. Jestliže řada
∞
k=1 xi P(X = xi ) konverguje absolutně (zejména tedy pro
všechny X s konečně mnoha možnými hodnotami xi ), pak její
součet E X nazýváme střední hodnotou X.
Je-li X náhodná veličina se spojitým rozdělením s hustotou f (x) a
nevlastní integrál
∞
−∞ xf (x)dx konverguje absolutně, pak jeho
hodnota E X se nazývá střední hodnota X.
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Střední hodnota
Nechť X je náhodná veličina s diskrétním rozdělením. Jestliže řada
∞
k=1 xi P(X = xi ) konverguje absolutně (zejména tedy pro
všechny X s konečně mnoha možnými hodnotami xi ), pak její
součet E X nazýváme střední hodnotou X.
Je-li X náhodná veličina se spojitým rozdělením s hustotou f (x) a
nevlastní integrál
∞
−∞ xf (x)dx konverguje absolutně, pak jeho
hodnota E X se nazývá střední hodnota X.
Je tedy E X = np, je-li X ∼ Bi(n, p), zatímco pro rovnoměrné
rozdělení na intervalu (a, b) dostaneme dle očekávání
E X =
b
a
x
b − a
dx =
1
2
b2 − a2
b − a
=
1
2
(a + b).
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Vlastnosti střední hodnoty
Theorem
Uvažme náhodné veličiny X, Y , skaláry a, b ∈ R, náhodný vektor
W = (X1, . . . , Xn) a čtvercovou skalární matici B s n řádky.
Pro konstantní náhodnou veličinu X = a ∈ R je E a = a.
E(a + bX) = a + b E X.
E(X + Y ) = E X + E Y .
E(a + BX) = a + B(E X).
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Vlastnosti střední hodnoty
Theorem
Uvažme náhodné veličiny X, Y , skaláry a, b ∈ R, náhodný vektor
W = (X1, . . . , Xn) a čtvercovou skalární matici B s n řádky.
Pro konstantní náhodnou veličinu X = a ∈ R je E a = a.
E(a + bX) = a + b E X.
E(X + Y ) = E X + E Y .
E(a + BX) = a + B(E X).
Theorem
Jsou-li veličiny X a Y nezávislé, pak E(XY ) = E X E Y .
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Rozptyl
Další charakteristika popisuje, jak moc se dá čekat, že se hodnoty
náhodné veličiny „hemží“ kolem nějaké hodnoty.
Definition
Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou. Pak
definujeme rozptyl veličiny X výrazem
var X = E(X − E X)2
,
pokud taková konečná hodnota existuje.
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Rozptyl
Další charakteristika popisuje, jak moc se dá čekat, že se hodnoty
náhodné veličiny „hemží“ kolem nějaké hodnoty.
Definition
Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou. Pak
definujeme rozptyl veličiny X výrazem
var X = E(X − E X)2
,
pokud taková konečná hodnota existuje.
Odmocnina z rozptylu
√
var X se nazývá směrodatná odchylka
náhodné veličiny X.
Jde o zjevnou obdobu definice kvadrátu vzdálenosti vektorů nebo
funkcí. Zachycujeme tak „očekávanou vzdálenost“ hodnot X od její
střední hodnoty.
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Theorem
Jestliže má náhodná veličina X konečný rozptyl, pro libovolné
skaláry a, b ∈ R platí
var X = E X2 − (E X)2
var(a + bX) = b2 var X
var(a + bX) = |b|
√
var X.
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Theorem
Jestliže má náhodná veličina X konečný rozptyl, pro libovolné
skaláry a, b ∈ R platí
var X = E X2 − (E X)2
var(a + bX) = b2 var X
var(a + bX) = |b|
√
var X.
Občas přiřazujeme k X normovanou veličinu Z,
Z =
X − E X
√
var X
,
která má zjevně nulovou střední hodnotu a jednotkový rozptyl.
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Normální rozdělení Z má hustotu ϕ(z) = 1√
2π
e−z2/2 distribuční
funkci Φ(z) =
z
−∞ ϕ(t)dt =
z
−∞
1√
2π
e−z2/2dt.
Náhodná veličina Y = µ + σZ, µ, σ ∈ R, σ > 0 má distribuční
funkci
FY (y) =
y−µ
σ
−∞
1
√
2π
e−z2/2
dz
{substituce x = µ + σz}
=
y
−∞
1
√
2πσ
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx
Takové rozdělení je normální, píšeme Y ∼ N(µ, σ2).
Parametry odpovídají střední hodnotě a rozptylu.
Literatura Náhodné vektory Funkce náhodných veličin Střední hodnota a rozptyl
Uvažme Z ∼ N(0, 1) a podívejme se na náhodnou veličinu X = Z2.
FX (x) = P[Z2
< x]
=
√
x
−
√
x
1
√
2π
e−z2/2
dz
=
x
0
1
√
2π
t−1/2
e−t/2
dt
s hustotou
fX (x) =
1
√
2π
t−1/2
e−t/2
.
Říkáme mu rozdělení χ2, píšeme X ∼ χ2(1).