Množiny a množiny...

• Konkrétní ukázky množin v matematice; číselné obory, atd.
  (Třebaže zmíníme nekonečné číselné obory jako ukázky množin, cvičení se týká výhradně naivní teorie konečných množin.)
• Množinový kalkul, Vennovy diagramy, jednoduché ukázky a identity.
  Například: distributivita průniku vůči sjednocení A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) i naopak A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); konkrétní protipříklad, proč rozdíl není asociativní A\(B\C)!=(A\B)\C; důkaz asociativity symetrického rozdílu (AΔB)ΔC=AΔ(BΔC).
• Základní vlastnosti kartézského součinu:
  • Zopakování definice uspořádaných dvojic, kartézského součinu, konkrétní příklady, proč součin není komutativní. Ukázka distributivity součinu proti sjednocení a průniku.
  • Volitelně se lze věnovat otázce asociativity kartézského součinu (což je věcí přesné definice a může i nemusí být asociativní). Taktéž volitelně se lze zamyslet, kdy je výsledkem kartézského součinu neprázdná množina - na konečných množinách to je (přirozeně) právě pro oba neprázdné činitele, kdežto na nekonečných množinách se jedná o poněkud zapeklitý "axiom výběru".
• V případě dostatku času se věnujeme také následujícím:
  • Pochopení chování symetrického rozdílu si vůbec zaslouží zvláštní pozornost i na více množinách; jak lze třeba zjednodušit výraz (A∪B)Δ(B∪C)Δ(C∪D) bez použití symetrického rozdílu? Jak zjednodušit výraz (AΔB)∩(BΔC)∩(CΔD)∩(DΔA)?
  • Je dobré si znovu probrat definici uspořádané dvojice z přednášky - jak se chová a jak snadno dokázat, že rovnost dvojic znamená rovnost po složkách? (nezapomeňte v tom případ (x,x)!).

Tato část cvičení je poměrně jednoduchá a množinový kalkul obvykle nečiní potíže, až na symetrický rozdíl. Ověřování vlastností množinového kalkulu se dobře spojuje s ukázkami různých typů matematických důkazů.

Upozornění k diagramům

• Pokud se Vennovy diagramy mají používat k důkazům množinových identit, je to v zásadě možné (s patřičným komentářem). Avšak není formálně možné je jen tak bez patřičného dodatku využít k vyvrácení množinového vztahu - u vyvrácení vztahu je vždy lepší podat konkrétní protipříklad volby množin, pro které vztah neplatí.
  Prostě; pouhý vybarvený diagram jako protipříklad nestačí - proč? Avšak diagram vám pomůže snadno ten konkrétní protipříklad najít.

Rekurentní posloupnosti

• Rekurentní posloupnosti, konkrétní ukázky, odhad řešení a využití indukce k důkazu správnosti řešení.
  • Uhodněte a ověřte obecné řešení následujících rekurentních vztahů (kde počáteční člen f(0) volíte různě, třeba f(0)=0,1 či jak se vám zachce): f(n+1)=f(n)+2; f(n+1)=2f(n); f(n+1)=2f(n)+1; f(n+1)=f(n)+n; f(n+1)=f(n)+n^2; f(n+1)=2f(n)+n - těžší.
• Fibonacciho posloupnost F(0)=0, F(1)=1, F(n+2)=F(n+1)+F(n), neboli numericky:

  0

  1

  1

  2

  3

  5

  8

  13

  21

  34

  55

  89

  144

  233

  377

  610

  987

  1597

  2584

  4181

  6765 ........

  Na této posloupnosti lze ukazovat mnohé zajímavé vlastnosti, viz třeba https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number, které přispějí k obecnému pochopení rekurentních vztahů (po lopatě, není účelem se biflovat vlastnosti Fibonacciho posloupnosti, nýbrž na jejím příkladě pochopit práci s rekurentními posloupnostmi obecně).
• Pokročilé (pro vážné zájemce): Jak se dospěje k obecnému explicitními řešení Fibonacciho posloupnosti (se zlatým řezem)?
  • Odhad tvaru řešení rekurentní posloupnosti typu f(n+2)=A*f(n+1)+B*f(n)+C, vztah k její charakteristické rovnici x^2=A*x+B, získání konkrétního řešení z odhadnutého tvaru dosazením prvních členů a důkaz indukcí.
  • Co když ve výše uvedené charakteristické rovnici vyjde násobný kořen?