\documentclass{ib102}
\usepackage[shorthands=off,czech]{babel}
\usepackage{enumitem}

% vim: fo+=t tw=80 spell spelllang=cs
% gen: ready

\assignment{5}
\exercise{1}
\points{2}
\duedate{24. 10. 2016}

%%% ZDE NAPISTE SVOJE UCO, JMENO A SKUPINU
\name{}
\group{}
\uco{}


\begin{document}
\begin{zadani}

Nechť $L$ je regulární jazyk nad libovolnou abecedou $\Sigma$ a unární operace $\mathit{removeOne}(L)$ je definována následovně:
    \[\mathit{removeOne}(L) = \{uv \in\Sigma^* \mid \exists x \in \Sigma \text { takové, že } uxv \in L \}\]

\bigskip
\noindent
Intuitivně je tedy $\mathit{removeOne}(L)$ jazyk obsahující všechna slova $w$
    taková, že $w$ vznikne odstraněním jednoho písmene z nějakého slova délky
    alespoň jedna z jazyka $L$. Například:
\begin{align*}
\mathit{removeOne}(\left\{b,abab\right\}) &= \left\{\varepsilon, bab, aab, abb, aba\right\} \\
\mathit{removeOne}(\left\{\varepsilon, ab, bba, ababab\right\}) &= \left\{a,b, ba, bb, babab, aabab, abbab, abaab, ababb, ababa\right\} \\
\mathit{removeOne}(\set{a}^+) &= \set{a}^* \\
\mathit{removeOne}({\set{aa}^*}) &= \set{a} \cdot \set{aa}^*
\end{align*}


\bigskip
\noindent
Vaším úkolem je rozhodnout, zda je jazyk $\mathit{removeOne}(L)$ regulární, tedy že třída regulárních jazyků je uzavřená na operaci $\mathit{removeOne}$. Vaši odpověď dokažte, a to tak, že:
\begin{itemize}
\item Pokud rozhodnete, že není, najděte regulární jazyk $L$ takový, že jazyk $\mathit{removeOne}(L)$ regulární není.
\item Pokud rozhodnete, že je, dokažte tvrzení například s pomocí známých
uzávěrových vlastností třídy regulárních jazyků prezentovaných na přednášce, nebo konstruktivně
popsáním algoritmu na transformaci nějakého formalizmu pro popis
regulárních jazyků.
\end{itemize}


\end{zadani}

\begin{reseni}
%%% SEM PISTE SVE RESENI
\end{reseni}

\end{document}
