Faculty of Informatics Masaryk University Brno Cvičení k předmětům IB005 Formální jazyky a automaty a IB102 Automaty, gramatiky a složitost poslední modifikace 24. listopadu 2016 Tato sbírka byla vytvořena z příkladů ke cvičení z předmětu Formální jazyky a automaty I, které byly původně připraveny Ivanou Černou. Na opravě chyb a doplnění příkladů se podílelo mnoho studentů a cvičící předmětů IB005 a IB102 Jiří Barnat, Vojtěch Řehák a Jan Strejček. Formální jazyky, regulární gramatiky 1.1 Jsou dány jazyky L1; L2 nad abecedou {x,y,z}, kde Lx = {xy, y,yx}, L2 = {y, z}. Vypočítejte: a) Li U L2 b) Lx n L2 c) Li ■ L2, L2 ■ L1 d) L°, L|, Li L2, L+ e) co — L'2 1.2 Vypočítejte: a) 0*, 0+, {£}+ b) 0U{e}, 0n{£}, 0nL, {e}nL c) 0 ■ {e}, 0 ■ L, {£} • {e}, {e} ■ L 1.3 Jsou dané jazyky L\, L2 C {a, 6, c, d}*, kde Li = {a, aa, ba}, L2 = {ba, abc, a, e}. a) Vypočítejte L\ U L2. b) Vypočítejte L\ n L2. c) Vypočítejte Li • L2. d) Rozhodněte, zda platí L\ ■ L2 = L2 • L\. e) Najděte slovo w G Li • L2 n L2 ■ Li. f) Rozhodněte, zda platí Li C L\ ■ L2. Pokud ano, platí tvrzení pro libovolnou dvojici jazyků L\, L2? Pro pokročilé: platí e G L2 Li C L\ ■ L2? g) Rozhodněte, zda platí • aabaabc G L\ • baaabc € L2 • ababc 6 L2 h) Popište co — L2 (komplement jazyka L2). 1.4 Buď L libovolný jazyk, rozhodněte zda platí: a) pro Vi G N platí V = {wi w G L} b) pro Vi G N platí w € U \w\ = i c) najděte jazyk, pro který oba výše uvedené vztahy platí 1.5 Porovnejte (slovně popište) jazyky a rozhodněte zda L\ = L4 • Li = {x,y,z}* • L2 = {.vy z}* . l3 = {xy ■ {Vy ■ {z}* . L4 = ({.r}* • {y}* ■ {z}*)* . L5 = ({x,y}*U{z}*)* 1 • Le = {x, y, z}* ■ {x} ■ {x, y, z}* 1.6 Porovnejte (slovně popište) jazyky a rozhodněte zda L\ = L3 • Li = {x, y, z}* • L2 = {x, y, z}+ . L3 = {x}* ■ {y}* ■ {z}* . U = {x}* ■ {y}2 ■ {z}* . L5 = ({x}* ■ {y}* ■ {z}*)* • L6 = {x, y, z}* ■ {x} ■ {x, y, z}* 1.7 Pomocí jazyků L\ = {a}, Ľž = {b} nad abecedou {a, b} a množinových operací sjednocení (U), průniku (n), konkatenace (•), iterace (*,+) a doplnku (co— ) vyjádřete jazyk, obsahující všechna slova, která a b c d e f g 1.8 Pro a b c d e f obsahují alespoň 2 znaky a mají sudou délku začínají znakem a a končí znakem b začínají a končí stejným znakem obsahují podslovo aba splňují b) a c) nesplňují b) libovolné jazyky L\, L2, L3 dokažte, zda platí, nebo neplatí: Li C Li ■ L2 (Li U L2) • L3 = (Li • L3) U (L2 • L3) (Li n L2) • L3 = (Li • L3) n (L2 • L3) pro Vi e N platí L\ ■ L\ = (Li • L2)J L\ UL?2 = (L1UL2)* L1- L1= L1 (LiUL2)* = (ií -L2-(ii)*)* 1.9 Jaký jazyk generuje gramatika G a jakého je typu? a) G = ({S, A, B, C},{a, b, c, d},P, S), kde P = { S ■> aSb cAd cA - ■> ŕiB Ca, Bd - ■> 5& A Cad - -> a& e } b) G = ({S, A},{b, c, a},P, S), kde p = { S -> &5 I oS* I aA, i ^ I 6A I a \ b \ c } 1.10 Jaký jazyk generuje následující gramatika? Diskutujte vhodné označení neterminálu ( aA &B A - ■> aS &C*, B - ■> aC 65, C - ■> aB } 1.11 Navrhněte regulární gramatiky pro následující jazyky: a) L = {a, b, c, d}* 2 b) L = {a, b, c d}1 {a, b, c, d}*;i = 2,10,100 c) L = {w w G {a, b}*, \w\ > 3} d) L = {w w e {«,&}*, H = 3fc, k > 0} e) L = {w w G {a, b, c}*, w obsahuje podslovo abb} f) L = {w ■ wR w e {a, b}*} g) L = {w w G {a, b, c}*, první 3 znaky w = poslední 3 znaky w} h) L = {w w G {a, b, c}*, w neobsahuje podslovo abb} i) L = {w w e {a, b, c}*, #a(w) = 2k, #b(w) = 31+1, k, l > 0} j) L = {w w G {0,1,..., 9}*, w je zápis přir. čísla dělitelného 5} k) L = {w w G {0,1,..., 9}*, w je zápis přir. čísla dělitelného 3} 1) L = {w w G {0,1,..., 9}*, w je zápis přir. čísla dělitelného 25} 3 Deterministické konečné automaty, pumping lemma 2.1 Je dán následující konečný automat: A = ({qo, qi,q2, Qa}, {a, b}, ô, qo, {la}) S(q0,a) = q1 ô(q0,b) = q2 ô(q1,á) = q3 S(q1,b) = q1 <%2,a) = 92 S(q2,b) = q2 S(qa,a) = qi S(q3,b) = q2 a) Uveďte jinou formu zápisu automatu. b) Popište jazyk akceptovaný konečným automatem A. c) Diskutujte variantu konečného automatu, kde F = {q$, q2}; <5(t/3, a) = qo 2.2 Konstruujte deterministické FA, které rozpoznávají následující množiny a) {a, b, c}5 • {a, b, c}* b) {w w e {«}*; \w\ = 2k nebo \w\ = 71; k,l>0} c) {w w e {a,b}*; #a(w) = 3k;k > 0} d) {w w G {a, b}*; w obsahuje podslovo abbab} e) {w w G {a, b}*; w obsahuje podslovo ababb} f) {w w G {a, b}*; w neobsahuje podslovo abbab} g) {a, b}* ■ ({c, d} U ({d} ■ {a, b}* ■ {c})) • {a, b}+ h) ({a} U {b} ■ {a} ■ {b}* ■ {a} ■ {b})* 2.3 Konstruujte deterministické FA pro následující jazyk nad abecedou {a, b, c, d} a) L = {a, b}* ■ {c} • {aa, b}* ■ {d}+ b) L = {w | w G {a, b, c}*, w neobsahuje podslovo babb} c) L = {a, b}* ■ ({cd}+ ■ {d} ■ {a, b}* ■ {c}) • {a, b}+ 2.4 Pomocí množin {a}, {b}, {c}, {d} a množinových operací sjednocení (U), průniku (n), konkatenace (•), iterace (*,+) a doplnku (co—) vyjádřete jazyk akceptovaný automatem: 6 4 2.5 Co akceptuje následující automat? (#a(w) = je špatná odpověď) 2.6 Pomocí věty o vkládání dokažte, že jazyk L není regulární: a) L = {cřb> \j>i>l} b) L = {w | w e {a, b}*; #a(w) = #6(w)} c) L = {w ■ wR | w G {a, b}*} d) L = {an | n = 2J; i > 0} e) L = {ďb> \ i,j > 0} f) L = {a™&(™!)2 n > 0} g) L = {cia:ibk j < k; i, j, k e N} 2.7 O každém z následujících jazyků nad abecedou T, = {a, b, c} rozhodnete, zda je regulární, a vaše tvrzení dokažte. a) {uv u, v G {a, b}*, \u\ < \v\} b) {ucv u, v G {a, b}*, |«| < \v\} 2.8 Pro pokročilé: Zkonstruujte konečný automat A rozpoznávající jazyk L = {a}* ■ {b}. Dokažte, že automat rozpoznává zadaný jazyk, tedy že L(A) = L. 2.9 Konstruujte deterministické FA pro všechny regulární jazyky příkladu 1.11. 5 Minimalizace DFA, nedeterministické FA, (Myhill-)Nerodova věta 3.1 Pro následující konečné automaty zadané tabulkou: • ověřte, že všechny stavy jsou dosažitelné • zkonstruujte minimální automat • minimální automat zapište v kanonickém tvaru a) a b -> 1 2 3 2 5 2 3 3 5 <- 4 12 2 <- 5 7 8 6 4 9 7 12 11 8 4 6 9 10 8 <- 10 3 2 <- 11 12 6 12 3 10 b) a b o 1 3 2 2 6 4 3 3 5 <- 4 4 2 5 10 8 6 6 7 <- 7 7 5 <- 8 8 2 <- 9 11 2 10 10 9 <- 11 11 5 3.2 Odstraňte nedosažitelné stavy z DFA zadaného tabulkou vlevo a minimalizujte ho a převeďte do kanonického tvaru. Poté ověřte, zdaje výsledný automat ekvivalentní s automatem zadaným tabulkou vpravo. a) a & -> 1 5 2 2 2 8 3 2 7 <- 4 9 4 5 2 1 6 2 5 <- 7 8 6 8 2 4 9 8 9 a b -> 1 4 2 2 2 5 3 3 6 4 4 2 <- 5 5 3 <- 6 6 2 6 b) a b 1 3 1 -> 2 9 4 3 - 1 <- 4 9 4 5 8 5 6 5 4 <- 7 6 9 8 11 - 9 7 9 10 12 3 11 8 1 12 - 10 a b A B A <- B C A C D E D D D -> E A E 3.3 Overte, zda DFA z príkladu 3.1 a) je ekvivalentní s následujícím DFA zadaným tabulkou a b A A C -> B D A <- C D A D C D 3.4 Navrhněte nedeterministické konečné automaty pro následující jazyky: a) L = {w G {a, b, c, d}* \ w obsahuje podslovo abbc nebo bba nebo aba} b) L = {w G {a, 6, c}* | w obsahuje podslovo abbc nebo acbca nebo bcabb} c) L = {w G {a, 6, c, eí}* | w končí řetězcem aaaa} d) L = {w G {0,1}* | w má čtvrtý symbol od konce 1} e) L = {w G {0,1}* | w končí řetězcem 01011} f) L=(({0}*-{l})U({0}+-{l}*-{0})*)* g) L=(({0}-{0}-{0}*)U({l}.{l}.{l}*))* 3.5 K daným nedeterministickým FA zkonstrujte deterministické FA. a) a b c a b c -> 1 {2,3} {3,4} {1} -> 1 {1,2} {1} 0 <- 2 {3} {4} {2} <- 2 0 {3} {1} 3 {1,2,3} {1} {3,4} 3 0 0 {1,4} 4 {1} {1} {3,4} 4 {5} 0 0 5 0 {6} 0 6 {7} 0 0 <- 7 0 0 0 3.6 Popište jazyk akceptovaný automatem: 3.7 Kolik různých jazyků rozhodují automaty s jedním nebo se dvěma stavy nad abecedou {x} nebo {a 3.8 Dokažte, že neexistuje (totální deterministický) automat se 4 stavy, který akceptuje jazyk: a) L = {w e {a, b}* | \w\ > 4} 7 b) L = {w e {a, b}* | \w\ = 5fc, k e N0} 3.9 Najděte a formálne popište alespoň dvě relace ~ C {a, b}* x {a, b}* splňující podmínky Nerodovy věty pro j azyk L = {w | w G {a, b}*, w obsahuje podslovo abb}. Určete indexy těchto relací. 3.10 Pomocí Nerodovy věty a posléze pomocí Myhill-Nerodovy věty dokažte, že není regulární: a) L = {an | n = 2\ i > 0} b) L = {anbm n < m < 2n, n, m > 0} c) L = {wwR | w G {a, b}+} d) L = {aiV\iŕJ; i,j>0} 3.11 Pomocí MN věty dokažte, že je regulárni: • L = {w e {a, b}* | #a(w) = 3fc, k > 0} 3.12 Každý jazyk jednoznačně určuje relaci ~£ předpisem u ~£ v právě když pro každé w platí uw Gítt vw G L. Určete index této relace pro jazyky: a) L = {a}* ■ {b}* ■ {c}* b) L = {anbncn n > 0} 3.13 Nechť T, = {a, b}. Uvažte následující relace na množině T,*: a) u ~ v <^^> #a(w) mod 4 = #a(v) mod 4 b) u ~ « <^^> #a(w) mod 4 = #a(v) mod 4 nebo m i « končí na stejné písmeno c) m ~ v <^^> #a(w) mod 4 = #a(v) mod 4 a m i « končí na stejné písmeno (Prázdné slovo končí na stejné písmeno jako prázdné slovo, ale žádné neprázdné slovo na stejné písmeno nekončí.) U každé relace určete, zda je to ekvivalence. Pokud ano, určete její index a zda je pravou kongruencí. Pokud ano, nalezněte jazyk L takový, že ~£ = ~. Nakonec nalezněte jazyk Ľ, který je sjednocením některých tříd rozkladu T,*/ ~, ale přitom ~£/ ^ ~. 8 Regulární gramatiky a výrazy <(=4> FA, čS-kroky, Kleeneho věta 4.1 Zkonstruujte ekvivalentní konečný automat k následující gramatice: G = ({S, A, C, B},{a, b, c},P, S), kde P= { s - aA bC a e, A - bB aA b c, B - aB bC aC cA C - -> a b aA bB } 4.2 Zkonstruujte ekvivalentní konečný automat k následující gramatice: G = ({S, X, Y, Z},{a, b, c},P, S), kde P= { s - aX bY x - bX bS, Y - bS cZ, Z - aS b 4.3 Zkonstruujte ekvivalentní gramatiku k automatu: 4.4 Zkonstruujte ekvivalentní gramatiku k automatu: a d 4.5 K danému automatu s e-kroky zkonstruujte ekvivalentní automat bez e-kroků. c d 4.6 K danému automatu s e-kroky zkonstruujte ekvivalentní automat bez e-kroků. a 9 4.7 K danému automatu s e-kroky zkonstruujte ekvivalentní automat bez e-kroků. a b c e -> 1 {1,2} 0 0 {2} 2 {5} {3,5} 0 0 3 0 {6} 0 0 4 0 {4} 0 {1,5} 5 {5} 0 {3} {6} <- 6 0 0 {3,6} {2} 4.8 K danému regulárnímu výrazu zkonstruujte ekvivalentní FA a) (ab)* (aa + bb)(a + ab)* b) ((a + b(a + c))* + (b + c))* c) (((a + b)* + c)* + d)* 4.9 K danému FA zkonstruujte ekvivalentní regulárni výraz 4.10 K danému FA zkonstruujte ekvivalentní regulárni výraz c 4.11 Pomocí regulárních výrazů popište násl. jazyky: a) L = {w G {a, b}* \ w končí na ab} b) L = {w e {a, b}* | = 2k,k> 0} c) L = {w G {a, b}* | w začíná a končí stejným symbolem } d) L = {w e {a, b}* | H =2k,k> 0} 4.12 Ukažte, jaký je vztah mezi třídou regulárních jazyků 1Z a nejmenší třídou a) Mi, která obsahuje všechny konečné jazyky a je uzavřená vzhledem k sjednocení, zřetězení a průniku (U, - , fl). b) M'2, která obsahuje všechny konečné jazyky a je uzavřená vzhledem k sjednocení, průniku a komplementu (U, n, co— ). c) M3, která obsahuje všechny konečné jazyky a je uzavřená vzhledem k sjednocení, průniku a mocnině (U, fl,"). 10 Uzáverové vlastnosti 1Z 5.1 Rozhodněte, zda platí: jsou-li jazyky Li, L2, L3,... regulární, pak i jazyk O i=l je regulárni jazyk. 5.2 Najděte takovou posloupnost regulárních jazyků L\, L2, L3,... aby jazyk 00 O i=l nebyl regulární. 5.3 Nechť Li, L2 jsou neregulární j azyky nad abecedou {a, b}. Dokažte nebo vyvraťte, zdaje či není regulární: a) Li n L2 b) Li U L2 c) Li \ L2 d) Li • L2 e) Lí f) co—Li 5.4 Nechť Li je regulární a L\ n L2 je neregulární jazyk. Platí, že jazyk L2 je nutně neregulární? 5.5 Platí následující implikace? a) L\ je regulární, L2 je neregulární => L\ n L2 je neregulární b) Li je regulární, L2 je neregulární =^> L\ n L2 je regulární c) L\ je regulární, L2 je neregulární => L\ \ L2 je neregulární d) Li je regulární, L2 je neregulární => L\ \ L2 je regulární e) Li je regulární, L2 je neregulární =^> L2 \ L\ je neregulární f) L\ je regulární, L2 je neregulární => L2 \ Li je regulární 5.6 Def: operace 0 rozšířeného sjednocení dvou jazyků takto: Li 0 L2 = {u ■ v I m, v e (Li U L2)} Dokažte, že jestliže jsou jazyky L\ a L2 regulární, pak i jazyk L\ 0 L2 je regulární. Dále najděte dva takové neregulární jazyky L\ a L2, aby jazyk L\ 0 L2 byl regulární. 5.7 Nechť L je regulární jazyk. Dokažte, že jazyky jsou regulární: a) L* = {v I existuje m takové, že u.v G L} b) L* = {w I existuje x, y, z takové, že y G L a w = xyz) 11 5.8 Dokažte, že pro libovolný jazyk L a libovolný konečný jazyk K platí: a) L je regulární <^^> L \ K je regulární b) L je regulární <^^> L U K je regulární 5.9 Def: Homomorfismus h : T,* —> A* je daný předpisem: h(e) = e h(u.v) = h(u).h(v) pro všechny u, v € T,* Def: Nechť L je jazyk, pak h(L) = {w \ w = h(u), kde měL} Def: Inverzní Homomorfismus: h-^y) ={iGE* | h(x)=y} h-^L) = {x e £* e L} Příklad /i(a) = 01 h(b) = 011, pak • h(abb) = 01011011 • ^-1(0101011) = {aab} • /i-^OOlO) = 0 • pokud navíc h(c) = e pak /i—1 (01011) = L(c*ac*bc*) Ukažte, že 1Z je uzavřena na h,h~ľ. 5.10 Nechť je dána abeceda {a, b, c} a homomorfismus /i; h(a) = ac, h(b) = cb, h(c) = ca. Určete: • h(aabc), h(cbaa) • h~x (cccaaccb), h~x (accba) • h(L),L = {anbncn n > 0} 5.11 Nechť je dána abeceda {a, b, c} a homomorfismus h; h(a) = aa, h(b) = ba, h(c) = a. Určete: • h~x (aabaaabaa) . h(L), L = {we {a*, b*} | #a(w) = #b(w)} • h-^L), L={w e {a*} | \w\ = 2k,ke N} 5.12 Dokažte nebo vyvraťte . h{Lx ■ L2) = ft(Li) • h(L2) • h(L1UL2) = h(L1)Uh(L2) . ft((L! • L2)ň) = ft(Lf) • fc(L*) • /i(L1nL2) = /i(L1)n/i(L2) • /i(/i(L)) = h(L) • h^ihiĽ)) = L . ft-^Li -L2) = /i"1(ii) -h-^L.,) h-1^ U L2) = ft-^Li) U /i"1^) ft-^ii n l2) = /i"1^!) n /j"1^) 12 Bezkontextové gramatiky 6.1 Co generují tyto gramatiky? a) G = {{S, B, A},{a, b},P, S), kde P = { S —> aB I bA e, A aS bAA, B bS aBB } b) G = ({S, A},{a, b},P, S), kde P = { S —> aAS | a, A &a | 5&a } 6.2 Pro následující gramatiku G = {{S, A, B},{a, b},P, S), kde P = { S -> AaB | BaA, A ^ AB a, B ^ BB b } a) najděte derivační strom s výsledkem bbbbaa b) je tento strom určený jednoznačně? c) kolik různých nejlevějších odvození má slovo bbbbaa d) je gramatika jednoznačná? e) je jazyk L(G) jednoznačný? 6.3 Jaké mají charakteristické vlastnosti derivační stromy pro regulární gramatiky? 6.4 Obsahuje množina jednoznačných CFL všechny regulární jazyky? 6.5 Odpovězte zda pro G = ({S},{a},P, S), kde P = { 5 —> SSS I a } a) je gramatika jednoznačná? b) je jazyk L(G) jednoznačný? 6.6 Navrhněte jednoznačnou gramatiku generující jazyk L = {wwR \ w € {a, b}*} U {ak k > 1}. 6.7 Navrhněte gramatiku pro jazyk L = {axVck \ i,j,k > l,i = j nebo j ^ k}, je gramatika jednoznačná? Lze sestrojit jednoznačnou gramatiku pro tento jazyk? 6.8 Najděte ekvivalentní redukovanou gramatiku k této gramatice: ({S, A, B, C, E,F,D},{a, b, c},P, S), kde {S aA 6B, A -> aAB aa AC* | AE, B -> bBA && CB | BF, C -> DE, D —> CC L>L>, E -> FF FE, F -> £c£ } 13 6.9 Najděte bezkontextovou gramatiku, na níž lze ukázat, že opačné pořadí aplikace odstranění nenormovaných neterminálů a odstranění nedosažitelných symbolů vede k neredukované gramatice. 6.10 Je jazyk generovaný gramatikou G bezkontextový? G = ({S,T},{x,y},P,S), kde P = { S -> xT, T Sx, xTx —> y } 6.11 Navrhněte bezkontextové gramatiky pro jazyky: a) L = {wwR w e {a, b, c}*} b) L = {w | iŕ< € {a, b,c}*,w = wR} c) L = {a'in+2b2n n > 2} d) L = {a"6"bm+1cm_1 n > 0,m > 1} e) L = {anbmcmdn n,m > 0} f) L = {uxv u, x, v e {a, b, c}*,uv = (uv)R, g) L = {w\w € {a,b}*,#a(w) > #b(w)} h) L = {w\we{a,b}*,#a(w) = 2*#b(w)} 14 Normální formy CFG, pumping lemma pro CFL 7.1 Odstraňte e- ■pravidla: G = ({S, A B, C, D},{b, c, a},P, S), kde P= { S -i ► ABC, A -i ► AbA BC, B -i ► bB b cBbAa e, C* -; > cD 1 c Ab 1 e, D -h > sss 1 & } 7.2 Odstraňte e- -pravidla: G = ({S, A, B, C, D},{b, c},P, S), kde P={S y ABC, A -h y Ab BC, B - y bB \ b Ab 1 e. C - y cD c Ac e, D - y SSD cSAc } 7.3 Odstraňte e-pravidla: G = ({SJ,ľ,Z},{l,0},P,S), kde P= { S - > IV vi i xz, X - > 0YZ1 six l v, Y - > 1 VI 1 e, Z - > SZ 1 0 1 e } 7.4 Význam konstrukce množin N£ na príkladu G = ({A, B, C},{a, b, c},P, A), kde P={A- y BC a e, B - y aB AľC 1 b, C - > cC AA 1 c} 7.5 Odstraňte jednoduchá pravidla. Diskuse o v; G = ({S, X, V A, D, B, C},{b, a},P, S), kde P= { S - > X V, A - > bS D, D - » ba, B - > Sa a, X - > aAS c, C - > aD S, Y - > SBb } 7.6 Převeďte do Chomského normálni formy G = ({S, A, B},{a, b],P, S), kde P= { S - > SaSbS aAa bBb, A - > a.4 aaa \ B \ e, B - > B6 66 1 6 } 15 7.7 Převeďte do Chomského normální formy G = ({5, H, L},{0,1},P, 5), kde P = { 5 -> OBI I 1L0 | e, H ^ HH \ OHI LH | e, L LL | 1L0 | ířL | e } 7.8 Navrhněte gramatiku v CNF: a) L = {wu'-R I w e {a,b}*} b) L = {a2lbZlc> I / > 1, j > 0} 7.9 Nechť G je gramatika v CNF. Nechť w € B(G), |«'| = n. Jaká je minimální a maximální délka odvození slova w v G? 7.10 Odstraňte levou rekurzi a transformujte do GNF G = ({S,A,B},{a,b},P,S), kde P={ S ^ Aa Bb \ aaA | SaA \ SbB, A -> AAb | ab | 5B&, B -> Bbb | BBB | } 7.11 Odstraňte levou rekurzi a transformujte do GNF G = ({S,A,B},{1,0},P,S), kde P = { S —> AI | 0 1B, A B50 | 10 | 5B0, B ^ OB | B1B | 50 } 7.12 Odstraňte levou rekurzi a transformujte do GNF G = ({S,X,Y},{c,d,b,a},P,S), kde P = { S ^ Xc. \ Yd \ Yb, X ^ Xb | a, Y 5a5 | la } 7.13 Odstraňte levou rekurzi a transformujte do GNF G = ({S,T},{t,s},P,S), kde P = { S —> TTí | Tí T5 I s, T 5sT | TsT | í } 7.14 Transformujte do Greibachové NT. Výslednou gramatiku převeďte do 3GNF. G = ({A, B, C, D},{a, b},P, A), kde P = { A - + BC, B - CD AB, C - D - CO } 7.15 Dokažte, že následující jazyky nejsou bezkontextové a) L = {wcw | w € {a, b}*} b) L = {anbncn | n > 1} c) L = {a"6mcn(im | »!, íř! > 1} 16 Zásobníkové automaty 8.1 Daný ZA A = ({qo,qi,q2,qz,qi},{a,b,c,d},{Z,A},5,qo,Z,{qi}) s(qo a, Z) = {(% AZ)} S(q0 a, A) = {(% AA)} s(qo b, A) = {(Qi e)} ô(qi b, A) = {(Qi e)} S(qi e, A) = {(Q2 A),(qz,A)} ô(q2 c, A) = {(Q2 e)} d, A) = {(Q3 £)} S(q2 e, Z) = {(Q4 Z)} S(q3 e, Z) = {(Q4 z)} • Načrtněte stavový diagram ZA A. • Naznačte 4 různé výpočty na vstupu aab2c (stačí na obrázku). • Popište jazyk L (A). 8.2 Je daný ZA A = ({qo, q\, q2, qz, q \ i^j, i,j > 0} b) L = {w I w G {a, b}*; w = wR} c) L = {aanb2n I n > 1} d) L = {aan+2b2n-1 n > 1} e) L = {w I w e {a, b, c}*; #a(w) = #6(w)} f) L = {w I w e {a, b, c}*;#a(w) ± #b(w)} g) L = {akb> \ \ 1} i) L = {alVc> i, j > 1} U {akbkcm k, m > 1} j) L = {aklbak2b... bakr r > 1, fcj > 1 (i = 1,..., r; existuje p, s : p 7^ s, kv = ks)} 8.4 Daný ZA A = ({qo, qi}, {a, b}, {Z, A}, ô, qo, Z, {qi}) akceptující koncovým stavem transformujte na ekvivalentní automat akceptující prázdným zásobníkem. Určete L(A). ô(qo,a,Z) = {(q0,AZ)} S(q0,a,A) = {(q0, AA)} 6(q0,b,A) ={(qi,e)} S(q0,a, Z) = {(qo,X)} S(qi,a,Y) = {(qi,YY)} 5(q2,b,Y) = {(q2,e)} S(q3,c,X)={(q3,e)} 5(qo,a,X)={(qo,XX),(qi,YX)} S(Ql,b,Y) ={(q2,e)} S(q2,c,X) = {(q3,e)} S(q3,d,X)={(q4,e)} 17 8.5 Daný za A = ({q},{(,)},{Z,L,P},6,q,Z,$) akceptující prázdným zásobníkem transformujte na ekvivalentní automat akceptující koncovým stavem. Určete L(A). 6(q,(,Z) = {(q,L)} S(q,(,L) ={(q,LL)} 6(q,),L) ={(q,e)} 8.6 Pro danou G navrhněte (rozšířený) za, který provádí syntaktickou analýzu: a) shora dolů, b) zdola nahoru. V obou případech proveďte analýzu slova ababaa. G = ({S, A, B},{a, b},P, S), kde P = { S —> e I abSA, A AaB | aB | a, B -> aSS | bA } 8.7 Rozšířený zásobníkový automat, který vznikl metodou syntaktické analýzy zdola nahoru z gramatiky z příkladu 8.6 převeďte na standardní zásobníkový automat. 8.8 Daný za A = ({t/0. í/j, q2}, {a, b, c}, {A, B, C}, 5, í/o. A, 0) akceptující prázdným zásobníkem transformujte na ekvivalentní bezkontextovou gramatiku. ô(q0,a,A) = {(qi,B)} 6(qi,c,A) ={(q2,s)} S(q2,e, B) = {(q2,e)} 6(q0,b,A) ={(qi,AB)} ô(qi,a,B) = {(q0,ABC)} 6(q2, e, C) = {(qo, A)} 8.9 Daný za A = ({qo,qi}, {ai b}, {Z, X}, 5, 0, Z, 0) akceptující prázdným zásobníkem transformujte na ekvivalentní bezkontextovou gramatiku. S(q0,a,Z) = {{q0,AA)} S(q0,a, A) = {(q0, AAA)} 6(q0, b, A) = {(qu e)} S(qub,A) = {(que)} 18 Uzáverové vlastnosti CFL 9.1 O každé z následujících implikací rozhodněte, zda je pravdivá a) Li, L'2 bezkontextové => L\ U Ľž je kontextový b) L\ bezkontextový a L\ n Ľž není bezkontextový => Ľž není bezkontextový c) L\ regulární a Ľž bezkontextový => co—{L\ n L 2) bezkontextový d) L\ konečný a L2 bezkontextový => co—{L\ n L2) bezkontextový 9.2 Jsou dané jazyky L = {wwR I w G {a, b}*} R = L({a*b+a)* + a*) Navrhněte ZA pro jazyk L H R ÔL(qi ôUqi x, Z) = {(q0,xZ)} Vx e {a, b} SR(p0,a)=p0 x,y) = {(qo,xy)} \/x,ye{a,b} SR(p0,b)=p1 e,x) = {(qi,x)} \Jxe{a,b,Z} SR(p1,b)=p1 x,x) = {(qi,e)} \Jx e {a,b} SR(p1,a)=p0 e,Z)={(q2,Z)} FL = {q2} FR = {p0} 9.3 Je dána bezkontextová gramatika G = ({S},{a, b},P, S), kde P = { S —> aS I Sb I a} a) Má tato gramatika vlastnost sebevložení? b) Má jazyk generovaný gramatikou vlastnost sebevložení? c) Je j azyk generovaný gramatikou regulárni? d) Jaký je vztah mezi vlastností sebevložení a regularitou? 9.4 Je dán bezkontextový jazyk L, L C {a, b}* Zkonstruujeme nový jazyk L\ takto: a) L\ = {x I 3y e {a, b}*; xy e L} b) L\ = {x I 3y G {a, b}*; yx e L} Dokažte, že L\ je taky bezkontextový. 19 Konstrukce Turingových strojů 10.1 Navrhněte determinstický jednopáskový Turingův stroj rozhodující jazyk L = {anbmďlďn m, n > 1} 10.2 Navrhněte deterministický jednopáskový TS se vstupní abecedou {0,1} a takový, že výpočty na slovech tvaru 0*1* jsou akceptující a výpočty na ostatních slovech jsou nekonečné. 10.3 Navrhněte 3-páskový (vstupní + 2 pracovní pásky) TS pro jazyk L = {w € {a, b}* | #a(w) = #b(w)} 10.4 Navrhněte TS (determ. nebo nedeterm.) TS pro jazyk: a) L = {aib1ck | k = ij,i,j G N} b) L = {ww | w G {a, &}*} c) L = {ap | p není prvočíslo } d) L = {anw w € {0,1}*, w je binární zápis čísla n} 20 Vztah TS a gramatik typu O, uzáverové vlastnosti 11.1 Objsaněte rozdíl mezi pojmy TS akceptuje a TS rozhoduje. 11.2 Je daný DTS T (resp. jeho část). Podle algoritmu ze skript navrhněte k němu ekvivalentní gramatiku: ô(q, d>) = (q, d>, R) 6(q, a) = (p, A, R) ô(p, b) = (q, a, L) 6(q, u) = (p, A, R) S(p, u) = (q, a, L) 5{q, a) = {qaccept, A, R) Kde d> je levá koncová značka, u označuje prázdné políčko, stavy jsou {p, q, qaCcePt}, Q je počáteční stav, vstupní abeceda je {a, b} a pásková abeceda odpovídá množině {[>, u, A, a, b}. 11.3 O každé z následujících implikací rozhodněte, zda je pravdivá. a) R je regulární, L je rekurzivně spočetný => R n L je regulární b) L je rekurzivní => co-L je rekurzivní c) L je rekurzivní => L* je rekurzivní d) L je kontextový => co-L je rekurzivní e) L není rekurzivní =>co—L není rekurzivní f) L není rekurzivní a R je rekurzivní => L \ R není rekurzivní g) L není rekurzivní, R je rekurzivní & RCL=>L^R není rekurzivní 11.4 Navrhněte gramatiky pro následující jazyky: • {w | w e {a, b, c}*, #a(w) = #6(w) = #c(w)} • {ww I w G {a, b, c}*} • {anbncn n > 0} • {an | n je mocnina 2} 11.5 Ukažte, že jazyk L = {w \ w je kód dvojice (A, v) takové, že TS A zastaví svůj výpočet nad slovem v} je jazyk typu 0 dle Chomského hierarchie. 11.6 Existuje jazyk, který není ani jazykem typu 0 dle Chomského hierarchie? 21 Redukce 12.1 Rozhodněte, zda platí následující implikace. Své rozhodnutí zdůvodněte. a) A co—A A je regulární c) A je rekurzivně spočetná a co—A A je rekurzivní d) A je rekurzivně spočetná a A A je rekurzivní e) A B je rekurzivní f) A je rekurzivně spočetná => A /(n) € o(fl(n)) 13.3 Dokažte, že třída P je uzavřená na operace sjednocení, komplement a zřetězení. Rozhodněte, na které z těchto operací je uzavřena třída NP. Odpověď zdůvodněte. 13.4 Třída coNP je definována jako coNP = {co—L \ L € NP}. Rozhodněte, které z následujících tvrzení platí. Odpovědi zdůvodněte. a) coNP = co-NP b) Li, L2 e coNP Li n L2 e coNP c) L\ e NP A L2 C Li A L2 e coNP Lx \ L2 e NP 13.5 Rozhodněte, zda jsou následující formule splnitelné. U splnitelných formulí popište nějaké splňující přiřazení. a) (x V y) A (x V -ny) A (->x V y) A (-.a; V ->y) b) (a; V A (a; V y V z) A (-.a; V -.y) A (-.a; V y) A (a; V -.2;) c) (a; V -iy) A (a; V -ny V z) A (-« V ->y) A (-.a; V y) A (x V -iz) d) (tiV-iuV -iw) A (w V -.y V z) A (w V -iz V a;) A (x V y V z) e) (a; V y V z) A (-.a; V y V z) A (a; V -.yV z) A (a; V y V -.2;) A (-.a; V -.yV z) A (a; V -.yV -.2;) A (-.a; V -.yV -.2;) 13.6 Dokažte, že následující problémy jsou NP-úplné. a) Problém Hamiltonovské cesty v grafu: HAMPATH = {(G, s,t) G je orientovaný graf obsahující Hamiltonovskou cestu z s do i} b) Problém fc-kliky (fc-klika je úplný podgraf s k vrcholy): CLIQUE = {(G, k) I G je neorientovaný graf s fc-klikou} c) Problém podgrafového izomorfismu (Subgraph Isomorphism, SGI): SGI = {(H, G) \ H = (V, E), G = (U, F) jsou neorientované grafy takové, že existuje injektivní zobrazení / : V —> U splňující (u, u') G E => (f (u), f (u1)) G F} 23 13.7 Určete vztahy inkluze/rovnost mezi následujícími dvojicemi složitostních tříd. Svoje tvrzení zdůvodněte. a) TIME(rr) aTIME(773) b) SPACE(2n2) a SPACE(100n2) c) SPACE(n2) a TIME(n2) d) NSPACE(n2) a SPACE(n5) e) P a TIME(2") 13.8 Zkonstruujte jednopáskový deterministický Turingův stroj, který rozhoduje jazyk L = {{)klk | k > 0} v čase 0(n log n). Není nutné uvádět formální popis stroje. 24 Zadání cvičení IB005 1. cvičení: Operace nad jazyky • Připomeňte základní terminologii a definice • Připomeňte základní operace nad jazyky a přitom cvičte příklady 1.1 a 1.2 • Cvičte 1.3, u 1.3 d) nacvičte "neplatnost tvrzení dokazujeme protipříkladem". • Cvičte 1.4 • Cvičte 1.6 • Cvičte 1.7 • Cvičte 1.8 b) a c) (jednu inkluzi skutečně dokažte) • Připomeňte pojem gramatiky • Cvičte 1.9 • Dle zbývajícího času, jinak za DU, příklady 1.10, 1.11 2. cvičení: Konečné automaty a regulární gramatiky • K čemu slouží Konečné automaty? • Na příkladu 2.1 vysvětlete co jsou a jak fungují konečné automaty • Uveďte formální definici DFA • Příklad 2.2a-d,f (Ideterministické FA!) • Příklad 2.2g,h volitelně dle času • Příklad 2.3a • Příklad 2.4 • Příklad 2.5 • Příklad 1.11 3. cvičení: Pumping lemma, (Myhill-)Nerodova věta • Znění a použití Pumping Lemma pro regulární jazyky • Příklad 2.6a poctivě, b zrychleně, g poctivě, e zrychleně • Znění Nerodovy věty a Myhill-Nerodovy věty • Vztah ~ a deterministických automatů a vztah a mininimálního automatu 25 • Príklad 3.9 • Príklad 3.12 • Příklad 3.10 jednu odrážku pořádně, další případně zrychleně 4. cvičení: Minimalizace a kanonizace DFA, nedeterministické FA a determinizace • Připomeňte si ~£. • Definujte minimální konečný automat. • Příklad 3.2 • Příklad 3.3 • Definujte nedeterministikcé FA, a způsob akceptování NFA. • Příklad 3.4 • Příklad 3.5 • Upozorněte, ze pro minimalizaci, je třeba vyjít z deterministického automatu. 5. cvičení: Ekvivalence FA, regulárních gramatik a regulárních výrazů, e-kroky, Kleeneho věta • Vysvětlete princip odstranění e-kroků • Příklad 4.7 • Zopakujte vyjadřovací ekvivalenci dosud známých formalismů • Formulujte podstatu algoritmů pro převod FA na regulární gramatiky a zpět • Příklad 4.2 • Příklad 4.4 • Připomeňte si definici regulárních výrazů (syntax a sémantika) • Příklad 4.11 • Princip transformace regulárních výrazů na FA a zpět • Příklad 4.8 c) • Příklad 4.10 6. cvičení: Uzáverové vlastnosti regulárních jazyků • Příklad 5.1 • Příklad 5.2 • Příklad 5.3a - formulujte formální konstrukci synchronního součinu • Příklad 5.3b-f - slovní argumentace (hint důkazu) proč ano či ne • Příklad 5.4 • Příklad 5.5 26 • Příklad 5.6 • Příklad 5.7 - formální konstrukce • Příklad 4.12 a) a diskuze k 4.12 b) 7. cvičení: Bezkontextové gramatiky a derivační stromy, redukovaná CFG • Připomeňte CFG a ukažte jak vypadá a jak funfuje CFG pro {anbn | n > 0} • Příklad 6.1 • Příklad 6.2 • Příkald 6.3 • Příklad 6.4 • Příklad 6.5 • Příklad 6.6 • Příklad 6.8 • Příklad 6.9 • Příklad 6.10 • Příklad 6.11 (dle času) • Příklad 6.7 rozmyslet za DU 8. cvičení: Normální formy CFG • Připomeňte princip ostraňování e-pravidel • Příklad 7.2 • Připomeňte princip ostraňování jednoduchých pravidel • Příklad 7.5 • Definujte Chomského NF (CNF) a připomeňte postup převodu CFG do CNF • Příklad 7.6 • Příklad 7.8a) • Příklad 7.9 • Vysvětlete odtranění přímé levé rekurze na A->Ab I Ac I d I e • Příklad 7.12 27 9. cvičení: Zásobníkové automaty a syntaktická analýza • Příklad 8.1 (zadejte přechodovou relaci tabulkou [q^Z/a —> (qo,AZ)] • Příklad 8.2 • Příklad 8.3b • Příklad 8.6 • Příklad 8.8 • Diskutujte ekvivalence způsobu akceptování zás. automatů a podstatu převodu • Zbude-li čas, cvičte příklady 8.4, 8.5 a 8.7 10. cvičení: Uzáverové vlastnosti bezkontextových jazyků a pumping lemma pro bezkontextové jazyky • Příklad 7.15 • Příklad 9.1 • Příklad 9.2 (není nutné konstruovat celou přechodovou funkci) • Příklad 9.3 • Příklad 9.4 (formální konstrukce) 11. cvičení: Konstrukce Turingových strojů • Připomeňte jak fungují Turingovy stroje • Příklad 10.1 • Příklad 10.2 • Příklad 10.3 • Příklad 10.4 - formulujte princip algoritmu pro TS 12. cvičení: Vztah TS a gramatik typu 0, uzáverové vlastnosti • Příklad 11.1 • Diskutujte vztah TS acceptuje/rozhoduje a gramatiky typu 0 • Příklad 11.2 • Příkakl 11.3 • Příklad 11.4a • Příklad 11.4b-d pouze myšlenky fungování CFG • Příklad 11.5 • Příklad 11.6 13. cvičení: Redukce 28 Zadání cvičení IB102 1. cvičení: Operace nad jazyky • Připomeňte pojmy abeceda, slovo, jazyk apod. • Připomeňte základní operace nad jazyky a procvičte je s využitím příkladů 1.1 (průnik a sjednocení cvičit netřeba) a 1.2. • Příklad 1.3 d) e) f) h). U d) vysvětlete, že neplatnost tvrzení dokazujeme protipříkladem. • Příklad 1.4. • V sudých skupinách cvičte příklad 1.5, v lichých příklad 1.6. • Příklad 1.7. • Příklad 1.8 b). Zdůrazněte, že dva jazyky jsou stejné, právě když platí obě inkluze Ca3. Jednu inkluzi dokažte. • Příklad 1.8 c). Pozor, rovnost neplatí. 2. cvičení: Gramatiky, deterministické konečné automaty • Připomeňte pojem gramatiky a cvičte příklad 1.9 a) anebo b). • Příklad 1.11 a) d). • Příklad 2.1. • Příklad 2.2 a) b) c) d). Dejte prosím studentům možnost, aby se pokusili alespoň nějaký automat sestrojit sami. Pozor, automaty musí být deterministické. • Příklad 2.3 a) b). • Pokud vám zbyde čas, cvičte příklad 2.5 a zbylé části příkladu 1.11. 3. cvičení: Pumping lemma, minimalizace a kanonizace konečných automatů, nedeterministické automaty • Zopakujte Pumping lemma. • Příklad 2.6. Z lehčích příkladů a)-c) udělejte jeden pořádně, ostatní zrychleně. Dále udělejte pořádně příklad g) a zrychleně příklad e). Upozorněte studenty, že vlastní text důkazu zůstává v podstatě stejný (důkaz lze prezentovat jako formulář, který se vždy na pár místech doplní). • Zdůrazněte, že před minimalizací automatu je třeba odstranit nedosažitelné stavy a ztotálnit přechodovou funkci. • Příklad 3.2 b). 29 • Budete-li mít pocit, ze jeden příklad na minimalizaci nestačil, pokračujte příkladem 3.1 a) a případně 3.3. • Zopakujte nedeterministické FA. • Příklad 3.4 a) c) d). Zbude-li čas, udělejte i ostatní části. 4. cvičení: Determinizace, odstranění e-kroků, uzáverové vlastnosti regulárních jazyků • Zopakovat determinizaci. • Příklad 3.5 a) nebo b). Upozorněte, že determinizaci může vzniknout stav 0 a jeho následníci se počítají běžným způsobem. • Zopakovat odstranění e-kroků. • Příklad 4.5. Příklad řešte pomocí tabulkového zápisu. Chcete-li, můžete nejdřív ukázat, jak snadno se v tom udělá chyba, když se to dělá přímo na grafu. • Budete-li mít pocit, že příklad 4.5 nestačil, pokračujte příkladem 4.7 (obvykle stačí spočítat jen pár řádků). • Zopakujte, na které operace jsou regulární j azyky uzavřené. Diskutujte, na které operace je/není uzavřena třída konečných jazyků. • Příklad 5.8. Tento příklad ukazuje, že konečná změna jazyka (tj. přidání či odebrání konečně mnoha slov) nemá vliv na jeho (ne)regularitu. Toto pozorování lze použít v dalších příkladech, např. v příkladu 5.3. • Příklad 5.1. • Dokažte uzavřenost neregulárních jazyků na komplement (včetně formálního důkazu). • Příklad 5.2. • Příklad 5.3. • Příklad 5.4. 5. cvičení: Regulární výrazy, ekvivalence FA, regulárních výrazů a gramatik • Příklad 5.5. • Příklad 5.6. • Příklad 4.8. Stačí 2 odrážky. • Příklad 4.9. • Příklad 4.10. • Příklad 4.11. • Příklad 4.2. • Příklad 4.4. 30 6. cvičení: Bezkontextové gramatiky, derivační stromy, jednoznačnost, redukované gramatiky • Příklad 6.11 a). • Příklad 6.1. U druhé gramatiky neztrácejte moc času, příklad slouží jen jako demonstrace popisné síly bezkontextových gramatik. • Příklad 6.2. • Příklad 6.3. • Příklad 6.5. • Příklad 6.6. Není třeba formálně dokazovat, že je navržená gramatika jednoznačná. Slovní argumentace postačí. • Příklad 6.7. Stačí identifikovat problém. • Příklad 6.8. Připomeňte, že nejdříve je třeba odstranit nenormované symboly a až pak ty nedosažitelné. Opačné pořadí může vyústit v neredukovanou gramatiku, což lze ukázat i na příkladu 6.8. • Zbyde-li čas, dělejte další odrážky z příkladu 6.11. 7. cvičení: Transformace bezkontextových gramatik • Příklad 7.2. • Příklad 7.5. • Příklad 7.6. • Příklad 7.8 a). Pokud stíháte, udělejte i část b). • Připomeňte odstranění přímé levé rekurze na pravidlech A —> Ab \ Ac \ dA \ e. • Příklad 7.12. Cvičte pouze odstranění levé rekurze (transformaci do GNF v IB102 neučíme). Pokud by jeden příklad nestačil, udělejte ještě příklad 7.13 nebo 7.10. 8. cvičení: Pumping lemma pro bezkontextové jazyky, zásobníkové automaty • Příklad 7.15. Jednu odrážku udělejte pečlivě, v dalších se soustřeďte jen na to podstatné. • Příklad 8.1. Zmiňte prosím, že byl definován pojem krok výpočtu, ale pojem výpočet pro PDA definován nebyl. Lze si představit hned několik definic, které kromě zjevných požadavků splňují i tyto: 1. Musí se přečíst celý vstup. V tom případě by v příkladu existoval jen 1 výpočet. 2. Musí se číst "dokud to lze". V tomto případě existují 4 výpočty. 3. Stačí přečíst libovolnou část vstupu. V tom případě je výpočtů hodně. • Příklad 8.3. Udělejte pořádně aspoň dvě odrážky včetně c). Zbude-li čas, cvičte další odrážky. 31 9. cvičení: Nedeterministická syntaktická analýza, uzáverové vlastnosti bezkontextových, rekursivních a rekursivně spočetných jazyků • Příklad 8.6. Ukažte, jak lze konstrukci analyzátoru shora dolů použít u příkladů na konstrukci PDA: nejdřív se zkonstruuje CFG a z ní pak lehce PDA. Velmi elegantně tak lze řešit třeba příklad 8.3 c). • Příklad 9.1. • Příklad 9.3. • Příklad 11.3 a) d) e) f) g). • Zbude-li čas, řešte příklad 11.4. 10. cvičení: Konstrukce TM, redukce a rozhodnutelnost problémů • Příklad 10.1. • Příklad 10.2. • Příklad 12.1. 11. cvičení: Redukce a rozhodnutelnost problémů, P a NP • Příklad 12.2. • S využitím příkladu 12.3 připomeňte definici Postova korespondenčního problému. • Příklad 12.4. • Příklad 12.5. • Příklad 13.3. • Příklad 13.4. 12. cvičení: Složitostní třídy, NP-úplné problémy • Zopakujte pojem konjunkturní normální forma (cnf-forma) formulí, pojem 3cnf-forma a problém 3SAT. Ke zopakování můžete využít část příkladu 13.5. • Příklad 13.6 b) c). • Příklad 13.7. • Zbude-li čas, udělejte i příklady 13.6 a) a 13.8. 32 Řešení některých příkladů 33 Formální jazyky, regulární gramatiky 1.1 a) {xy,y,yx,z} b) {y} c) {xyy,xyz,yy,yz,yxy,yxz}, {yxy,yy,yyx,zxy,zy,zyx) d) {£}> {V,*}, {yy,yz,zy,zz}, {yyy,yyz,yzy,yzz,zyy,zyz,zzy,zzz}, {e, y, z, yy, yz, zy, zz, yyy, yyz, yzy, yzz, zyy, zyz, zzy, zzz,...} tj. libovolné slovo z písmenek y a z včetně e, {y, z, yy, yz, zy, zz, yyy, yyz, yzy, yzz, zyy, zyz, zzy, zzz,...} tj. libovolné slovo z písmenek y a z kromě e e) {x, y, z}* n. {y, z} tj. libovolné slovo složené z písmenek x, y a z včetně e, kromě slov y a z 1.2 a) {e}, 0, {e}, {e} b) {e}, 0, 0, {e} pokud e e L jinak 0 c) 0, 0, {e}, L 1.3 a) {a, aa,ba, abc, e} b) {a, ba} c) {aba, aabc, aa, a, aaba, aaabc, aaa,baba,baabc,baa,ba} d) ne, protipříklad aabc £ L\ ■ L'2 ■ L\ e) jedno slovo z množiny {a, aa, ba, aba, aaa, baba, baa} f) ano, protože e G L2; ne, protipříklad L\ = {a},Ľ2 = {b}; pro pokročilé: implikace lí=^v platí, implikace "^=" platí pouze v upravené podobě e G Í2 <í= (Li C Li • L2 a Li 7^ 0) g) ano, ano, ne h) všechna slova nad danou abecedou, kromě slov z jazyka L2, formálně: {a, b, c, d}* \ L2 1.4 a) Neplatí. Protipříklad: L = {aa, bb}, i = 2, U = {aaaa, aabb, bbaa, bbbb}, {w1 w € L} = {aaaa, bbbb} b) Neplatí. Protipříklad: L = {aa}, L2 = {aaaa}, ale \aaaa\ 7^ 2 c) L = {a} 1.5 L\ = L4 = L5 D L>2, L\ = L4 = L5 D L3, Li = L4 = L5 D L@, neporovnatelné: L2, L3, -Z^ Li - všechna slova nad {x, y, z} L>2 - všechna slova nad {x, y, z} tvaru xy zxy zxy z ... xyz L3 - všechna slova nad {x, y, z}, ve kterých jsou všechna x před všemi y a z a všechna y před všemi z L4 - všechna slova nad {x, y, z}; protože {x, y, z} C {x}* ■ {y}* ■ {z}* L5 - všechna slova nad {x, y, z}; protože {x, y, z} C {x, y}* U {z}* Le - všechna slova nad {x, y, z}, která obsahují alespoň jeden výskyt x 1.6 L\ = L5 D L>2 2 Li = L5 D L3 D L4, L>2 2 neporovnatelné: L2 a L3, L@ a L3, L@ a L4 Li - všechna slova nad {x, y, z} L>2 - všechna slova nad {x, y, z}, kromě e L3 - všechna slova nad {x, y, z}, ve kterých jsou všechna x před všemi y a z a všechna y před všemi z L4 - ty slova z L3, která mají právě 2 výskyty y L5 - všechna slova nad {x, y, z}; protože {x, y, z} C {x}* ■ {y}* ■ {z}* Lq - všechna slova nad {x, y, z}, která obsahují alespoň jeden výskyt x 1.7 a) (Li U L2)* ■ Li • (Li U L2)* ■ Lx ■ (Lx U L2)* b) (Lx • Lx U Lx ■ L2 U L2 ■ Lx U L2 ■ L2)* c) L\ ■ (Li U L2)* ■ L2 d) Li U L2 U Li • (Li U L2)* ■ ^1 U L2 ■ {L\ U L2)* ■ L2 a pokud naznáme, že e také začíná a končí stejným znakem, je třeba k řešení přidat U (LI nL^) e) (^1 U ^2)* -L\-Ľ2-L\ - {L\ U L2)* f) (Li-Li ULi-L2 UL2-Li UL2-L2)* n Li-(Li U L2)* ■ L2 g) ((Li-Li ULrL2 UL2-Li UL2-L2)f 1.8 a) ne, Li = {a} a I2 = {&} b) ano, nutno dokázat obě inkluze C a D c) ne, L\ = {a}, L2 = {oh} a L3 = {&, e} d) ne, L\ = {a} ai2 = {&} e) ne, Li = {a} ai2 = {&} f) ano, nutno dokázat obě inkluze C a D g) ne, L\ = {a} ai2 = {&} 1.9 a) {anbn \ n e N0}, typu 0 b) {b, c}* ■ {a} ■ {a, b, c}+, typu 3 (regulární) 1.10 {w G {a, b}* I #a(w) = 2fc,#b(w) = 2j;j,k € No}, dolní indexy u navržených neterminálů představují zbytek po dělení počtu 'a' (resp. 'b') dvěma Deterministické konečné automaty, pumping lemma b) L = {a} ■ {b, aa}* ■ {a} c) L = ({a} ■ {b}* ■ {aa})* ■ ({a} ■ {b}* ■ ({a} U {ab} ■ {a, b}*) U {b} ■ {a, b}*) b a a,b 34 35 a,c ____^____ a,b,c 2.4 L={a}.{by.{a}.({c}.{d}yi){b} 2.5 L = {w e {a, &}* | #a(w) = #(,(») Atí = w.v |#a(u) - #6(u)| < 3} 2.6 U příkladu e) je třeba volit slovo a™&™!+™. 2.7 Příklad a) je regulární, b) není, jako slovo lze zvolit například ancbn^ a,b,c,d c 1.1 lf Není regulární. b,c l.llh l.lli B-í--D 0 ' o b 0 36 l.llj Minimalizace DFA, nedeterministické FA, (Myhill-)Nerodova věta 3.1 a) 3.2 a) a b -> A B C B D B C C D <- D C B a b -> A B C B C A C C D D C E A B C B D B <- C B C <- D E B E F C F F F Výsledné automaty v obou případech nejsou ekvivalentní automatům uvedeným v zadání vpravo. 3.3 Není. 6 3.4 a) a.b.c.d a.b.c.d c) a,6,c,d a a a a d) e) 1 0,1 0,1 0,1 0,1 0 10 11 37 o o 3.5 a) a b c [1] [23] [34] [1] <- [23] [123] [14] [234] [34] [123] [1] [34] <- [123] [123] [134] [1234] [14] [123] [134] [134] <- [234] [123] [14] [234] [134] [123] [134] [134] <- [1234] [123] [134] [1234] b) a b c [1] [12] [1] 0 [12] [12] [13] [1] 0 0 0 0 [13] [12] [1] [14] [14] [125] [1] 0 <- [125] [12] [136] [1] [136] [127] [1] [14] <- [127] [12] [13] [1] 3.6 ({a, &}.{&} U {a, b}.{b}.{a, b})*.{a, b}.{b} 3.8 a) Předpokládejme, že takový automat existuje. Pak ze slov a°,a1,a2,aa,a4: musejí dvě nutně padnout do stejné třídy rozkladu T,*/ ~£. Označme je ď, aJ (i 7^ j) a bez újmy na obecnosti předpokládejme, že i < j. Pak platí a tedy az 7^ aJ |~£,| > 5. b) Analogicky jako v a). 3.10 a) Důkaz sporem. Předpokládejme, že L je regulární. Pak prefixová ekvivalence ~£ má konečný index, označme jej n. Pak ovšem ze slov a, a2, a4,..., a2 nutně musí některá dvě slova padnout do stejné třídy rozkladu, označme je ak, a1 (k 7^ l). Po přiřetězení slova ak dostáváme slovo akak G L a slovo alak £ L. Tím je dosažen spor s předpokladem a L není regulární, b) e, a, a2,an z čehož ak, a1 (BIJNO k < l), která akbk e L, albk £ L c) abb, a2bb, d) e, a, a2,.. , an+1bb z čehož akbb, albb (k ^ l), která akbbak e L, albbak g L , an z čehož ak, a1 (BÚNO k < l), která akbk g L, albk e L 3.11 Definujeme binární relaci ~ takto: u ~ v ~ je ekvivalence, ~ je pravá kongruence, | 3.12 a) 4 b) nemá konečný index #0(«) = #» (mod 3) 3, tedy má konečný index, L {w I #a(w) mod 3 = 0} 3.13 a) ~ je ekvivalence i pravá kongruence, index je 4. L může být libovolný jazyk, jehož minimální automat odpovídá přímo relaci ~. Takových jazyků je 12, což je vidět po nakreslení automatu (bez akceptujících stavů) podle ~ a zvážení, pro které označení koncových stavů je automat minimální. Jazyky Ľ jsou právě ty, které lze popsat stejným automatem, ale s takovou množinou koncových stavů, při které automat není minimální. Např. Ľ = {a, b}*. b) ~ není ekvivalence (není tranzitivní). c) ~ je ekvivalence i pravá kongruence, index je 9. Lze podle ní sestavit tento automat: 38 0& 16 2b 3b O O O O 6 6 6 6 Je vidět, že automat nebude při žádném označení koncových stavů minimální: stavy e, Oa, 0& mají stejné přechody a vždy budou alespoň dva z nich označeny jako akceptující nebo neakceptující a tudíž ty dva stavy budou jazykově ekvivalentní. Naopak Ľ může být jakýkoliv jazyk rozpoznávaný uvedeným automatem s libovolným označením koncových stavů. Takových jazyků Ľ je tedy celkem 29. Regulární gramatiky a výrazy FA, s-kroky, Kleeneho věta 4.1 a b c o Š {Ä q f} {č} 0 Ä {Á} {B,qf} B {B,C} {C} {A q f] Č {A q/} {B,qf} 0 <-qf 0 0 0 4.2 a b c {X} {Y} {if} ~x 0 {S, X} 0 Y 0 {S} m ~Ž {Š} {if} {in <-9f 0 0 0 4.5 a b c d o 0 {0,1,2,3,4} 0 0 {3,4} 1 {0,1,2,3,4} 0 0 {3,4} <- 2 {3,4} 0 0 0 3 0 {3,4} {2} 0 4 0 {3,4} {2} 0 4.7 a b c -> 1 {1,2,5,6} {2,3,5,6} 0 2 {2,5,6} {2,3,5,6} 0 3 0 {2,6} 0 4 {1,2,5,6} {1,2,3,4,5,6} {2,3,6} 5 {2,5,6} {2,3,5,6} {2,3,6} <- 6 {2,5,6} {2,3,5,6} {2,3,6} 4.11 a) (a + b)*ab b) b*(ab*ab*)* c) a(a + b)*a + b(a + b)*b +a + b (pokud e také začíná a končí na stejným symbolem, přičteme ještě e) d) ((a + 6)(a + &))* 4.12 a) Mi je třída všech konečných jazyků. 39 b) Nechť Ei je nějaká abeceda. Pak C(Ti) definujeme jako množinu všech slov, kde se každé písmeno z abecedy vyskytuje aspoň jednou, tj. C(T') = {w e £í | Va e Ei : #a(w) > 0}. Pak M'2 je třída všech jazyků L takových, že pro všechny T\, které jsou podmnožinou abecedy jazyka L, platí: L n C(Ľi) je konečný nebo C(Ti) \ L je konečný. Poměrně snadno se ukáže, že M2 všechny takové jazyky musí obsahovat a že je tato třída zároveň uzavřená na sjednocení, průnik a komplement. c) M3 je třída všech konečných jazyků. Uzáverové vlastnosti 7Z 5.1 Neplatí. Jazyky Li = {erb1} pro každé i > 0 jsou konečné a tudíž regulární, ale IJi^i Li = {anbn n > 0} není regulární. 5.2 Li = {a, b}* n. {erb1} pro každé i > 0. Pak Hi^i Li = {a, b}* \ {anbn \ n > 0}, což není regulární jazyk, protože {anbn n > 0} není regulární jazyk a regulární jazyky jsou uzavřené na doplněk. 5.3 Neregulární jazyky jsou uzavřené na komplement. U všech ostatních operací lze najít jazyky takové, že výsledkem je neregulární jazyk, i takové, že výsledek je regulární. Nechť R = {anbn n > 0} je jazyk nad T, = {a, b}. R jistě není regulární. operace regulární výsledek neregulární výsledek lx nL2 R n co-R = 0 RDR = R LÍ\JL2 RUco-R = T,* RUR = R Li \ L2 i?\i? = 0 R n. co-R = R Lx-L2 (R u {e}) • co-R = T,* R-R L\ (co-R)* = T* R* 5.4 Platí. 5.5 Ani jedna implikace neplatí. 5.6 Stačí zvolit L\ jako libovolný neregulární jazyk a L2 jako doplněk L\. Bezkontextové gramatiky 6.1 a) L = {w G {a, b}* \ #a(w) = b) Jazyk se nedá moc rozumně popsat. 6.4 Ano, každý regulární jazyk je jednoznačný CFL. 6.7 Nelze. Průnik podmínek (slova s nejednoznačným odvozením) nelze popsat bezkontextovou gramatikou (nelze formulovat podmínky disjunktně tak, aby šly popsat pomocí pravidel bezkontextových gramatik). Normální formy CFG, pumping lemma pro CFL 7.9 Minimální i maximální délka odvození je 2n — 1. Zásobníkové automaty 8.2 a) {á1 V i > j > 0} Uzáverové vlastnosti CFL 9.3 a) ano b) ne c) ano d) třída bezkontextových jazyků bez vlastnosti sebevložení se rovná třídě regulárních jazyků Konstrukce Turingových strojů 10.2 Návod: TS bude donekonečna číst vstupní pásku a posouvat se vpravo, nebo bude ve dvou krocích opakovaně posunovat hlavu vlevo a vpravo. Vztah TS a gramatik typu 0, uzáverové vlastnosti 40 11.3 a) Neplatí. Stačí vzít libovolný neregulární rekurzivně spočetný L nad abecedou T, a R = T,*. b) Platí (viz. skripta), c) Platí (viz. skripta), d) Platí, e) Platí, f) Neplatí. Stačí vzít R D L. g) Platí. Plyne z uzavřenosti rekurzivních jazyků na sjednocení. 11.4 a) b) c) Kontextová gramatika: G = ({S', S, B, fii}, {a, b, c}, P, S'), kde množina pravidel P obsahuje následující pravidla. S' -> S | e abc, S —> aBSc | aňc, Ba a.B, 11.6 l = {w | w je kód dvojice (A, v) takové, že TS A nezastaví svůj výpočet nad slovem v} Redukce 12.1 a) Platí (přímo z definičního vztahu), b) Neplatí. A = {ww \ w € {a, b}*}, B = {0}, f (x) = 0 pokud x je tvaru ww, f (x) = 1 jinak, c) Platí, d) Platí (připomeňme, že A ng platí definiční nerovnost, nebo ukážeme (většinou sporem), že takové konstanty neexistují, a) Volíme například tiq = 1, c = 3. Pro všechna n > ng platí 2n < 3n = cn a proto 2n € 0(n). b) Předpokládejme, že existují tiq a c takové, že pro všechna n > rig platí n2 < cn. Položme m = maxjc, no} + 1. Zjevně m > no, ale m2 > cm. To je spor a proto n2 ^ 0(n). c) Platí, d) Neplatí, e) Nejprve připomeňme definici. Píšeme /(n) G 2®(g(n}\ pokud existují no, c G N takové, že pro všechna n > no platí /(n) < 2c'9^nK Analogicky se definuje i význam dalších aritmetických výrazů obsahujících 0(g(n)), jako například 22 9 Vztah 3™ G 2°^ samozřejmě platí. Stačí zvolit no = 1 a c = 2. f) Platí. Stačí zvolit c = 4 a dopočítat dostatečně velké no- g) Neplatí. V důkazu sporem stačí zvolit m = maxjl, c, no}. 13.2 Tento vztah obecně neplatí. Protipříkladem jsou například funkce /(n) = 1 a , , f 1 pokud n ie sudé, gin) = { ľ. J [ n jinak. Zjevně g(n) £ 0(f(n)), protože funkce g není shora omezená a tudíž pro každé no, c G N existuje n > no splňující g(n) > c ■ f (n) = c. Vztah /(n) G o(g(n)) ovšem neplatí, protože funkce nemá pro n jdoucí do nekonečna limitu. 13.3 Nechť Ma, Mb jsou jednopáskové deterministické Turingovy stroje pracující s časovou složitostí O (p a), O [p b) (kde p a a pb jsou polynomy), které akceptují jazyky A, B. Nejprve ukážeme, že třída P je uzavřená na všechny tři operace. Popíšeme dvoupáskový deterministický Turingův stroj M akceptující jazyk AU B. Stroj M pro vstup x nejprve zkopíruje vstup na druhou pásku (v čase 0(n)), pak na druhé pásce simuluje výpočet stroje Ma- 41 Je-li v této simulaci dosažen akceptující stav stroje M a, pak i stroj M akceptuje. V opačném případě stroj M simuluje na první pásce výpočet stroje Mg. Je-li v této simulaci dosažen akceptující stav stroje Mb, pak i stroj M akceptuje, jinak zamítá. Je zřejmé, že stroj M akceptuje jazyk A U B a že pracuje v čase 0(n + pa(ji) tedy v polynomiálním čase. Stroj akceptující komplement jazyka A získáme ze stroje M a záměnou akceptujícího a zamítajícího stavu. Takto získaný stroj pracuje se stejnou časovou složitostí jako M a- Popíšeme třípáskový Turingův stroj M akceptující jazyk A.B. Stroj postupně zkouší rozdělit vstupní slovo x = x\x'2 ■ ■ ■ xn na všechny možné dvojice podslov (nejprve e a x, pak x\ a x2 ... xn, pak x\x2 a x3 ... xn, ..., nakonec x a e). První podslovo vždy zkopíruje na druhou pásku a simuluje na něm výpočet stroje M a- Druhé podslovo zkopíruje na třetí pásku a simuluje na něm výpočet stroje MB. Pokud obě simulace dospějí do akceptujícího stavu, stroj M akceptuje. V opačné situaci postup opakujeme pro další dvojici podslov. Pokud už byly vyzkoušeny všechny dvojice, stroj M zamítne. Stroj M pracuje v čase 0(n ■ (n + paÍP-) + PbÍP-))), tedy v polynomiálním čase. Třída NP je uzavřená na sjednocení i na zřetězení. V obou případech lze použít stejnou argumentaci jako u třídy P. V případě zřetězení lze algoritmus stroje M vylepšit tak, že neprochází všechny dvojice podslov, ale nedeterministicky uhodne správné rozdělení na podslova. Uzavřenost třídy NP na komplement je otevřený problém (známý jako NP = coNP?). Výše uvedená argumentace pro P v tomto případě nefunguje: záměnou akceptujícího a zamítajícího stavu u nedeterministického stroje získáme stroj, který akceptuje slovo w pokud existuje zamítající výpočet původního stroje nad tímto slovem. Žádoucí by ovšem bylo, aby zkonstruovaný stroj akceptoval slovo w pokud jsou všechny výpočty původního stroje nad tímto slovem zamítající. 13.4 a) Neplatí. Stačí uvážit libovolný jazyk L € P C NP. Jelikož třída P je uzavřená na doplněk, tak i co-L £ PC NP. Tedy co-L g co-NP, ale přitom co-L e coNP. b) Platí. Jelikož co-L1, co-L2 e NP a NP je uzavřené na sjednocení, tak co—L\ U co—Li G NP. Tedy L\C\ L2 € coNP. c) Platí. Jelikož co—Li G NP a NP je uzavřené na průnik (lze lehce dokázat), tak L\ n co—Li = L\ \ L2 € NP. 13.6 Příslušnost do N P lze dokázat snadno. NP-těžkost lze dokázat redukcí: a) z problému 3SAT (viz Sipser: Theorem 7.35 v 1. vydání, Theorem 7.46 ve 3. vydání) b) z problému 3SAT (viz Sipser: Theorem 7.26 v 1. vydání, Theorem 7.32 ve 3. vydání) c) z problému CLIQUE. pro danou instanci (G,k) problému CLIQUE lze v polynomiálním čase vytvořit dvojici {H^, G), kde je úplný graf s k vrcholy. Je zřejmé, že (G,k) e CLIQUE právě tehdy, když (Hk,G) G SGI. Abychom se ujistili, že redukce CLIQUE