Matematika III, 1. cvičení Definiční obory
Poznámka. Pro kružnici se středem v bodě [x, y] a poloměrem r budeme používat označení k([x,y];r).
Příklad 1. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y) = \J{x2 + y2 - 1)(4 - x2 - y2). Výsledek. Mezikruží mezi k([0, 0]; 1) a k([0, 0]; 2) Příklad 2. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y) = \J\ - x2 + \J\ - y2. Výsledek. Je to čtverec se středem v bodě [0, 0], jeho vrcholy jsou v bodech [±1, ±1]. Příklad 3. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
x2 + y2 — x
J 2x — x2 — y2
Výsledek. Prostor mezi k([^, 0]; ^) a k([l, 0]; 1), menší kružnice tam patří, větší ne. Vrstevnice funkcí, polární souřadnice
Máme funkci ./': M > kde M • ?r a nechť cěí Množinu fc = {[x,y] G M; f (x, y) = c} nazýváme vrstevnice funkce / na úrovni c. Chápeme-li graf funkce / jako reliéf krajiny, pak vrstevnice funkce na úrovni c je množina všech bodů s nadmořskou výškou c, což se shoduje s pojmem vrstevnice v mapách.
Příklad 4. Určete vrstevnice funkce z = x2 + y2.
Výsledek. Vrstevnice jsou x2 + y2 = c. Pokud c < 0, pak zc = 0. Pro c = 0 je zq = [0, 0] a pro c > 0 máme x2 + y2 = y^2, takže vrstevnice jsou kružnice k([0, 0]; y/č).
Příklad 5. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami gxz: y = 0 a gyz: x = 0 určete v prostoru graf funkce
\Jx2 +
yz
Výsledek. Graf funkce z je rotační kužel s vrcholem v bodě [0, 0, 2] a hlavní osou, která je částí osy z od 2 do —oo
Příklad 6. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami gxz,gyz určete v prostoru graf funkce
z = \J\ — x2 — y2.
Výsledek. Grafem je horní polovina kulové plochy (leží v poloprostoru z > 0), jejímž středem je bod [0, 0, 0] a poloměr je 1.
1
Křivky v IRn, tečna ke křivce
Křivka v W1 je zobrazení c: M —> W1, tedy c zobrazí reálné číslo x na bod [ci(x),... ,cn{x)] v prostoru W1, přičemž ci,... ,cn jsou funkce R —> IR. Derivace funkce c v bodě to, tj. vektor c'(í0) = {c[{to), • • •, <4(ío)), je tečným vektorem ke křivce c v bodě c(ío). Přímka
P = {f(í0) + 4o);s£l}
je tečna ke křivce c v bodě to-
Příklad 7. Určete tečnu křivky dané předpisem c(t) = (lni, arctgí, esm^) v bodě to = 1. Výsledek. Tečna p = {[s, | + f, 1 - 7rs]; s G M}.
Příklad 8. Na křivce c(t) = (t2 — 1, —2í2 + 5í, t — 5) nejděte takový bod, že jím procházející tečna je rovnoběžná s rovinou g: 3x + y — z + 7 = 0.
Nápověda. Směrový vektor d {to) tečny ke křivce c {t) v bodě íq musí být kolmý k normálovému vektoru roviny g, takže skalární součin těchto dvou vektorů musí být roven 0. Pomocí tohoto skalárního součinu vypočítáme íq.
Výsledek. Bod [3,-18,-7].
Příklad 9. Určete parametrickou rovnici tečny v bodě [1,1, y/2] ke křivce, jež vznikla jako průsečík plochy o rovnici x2 + y2 + z2 = 4 s plochou x2 + y2 — 2x = 0.
Nápověda. Křivku si v okolí daného bodu vyjádřete stejným způsobem jako ve výše uvedených příkladech.
Výsledek. Tečna p = {[1 - V2s, 1, y/2 + s\ \ s G IR}.
2