Matematika III, 1. cvičení Definiční obory
Poznámka. Pro kružnici se středem v bodě [x, y] a poloměrem r budeme používat označení k([x,y];r).
Příklad 1. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f {x,y) = x/(x2 + y2-l)(4-.x2-y2). Výsledek. Mezikruží mezi k([0, 0]; 1) a k([0, 0]; 2) Příklad 2. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f (x, y) = y/l- x2 + y/l - y1. Výsledek. Je to čtverec se středem v bodě [0, 0], jeho vrcholy jsou v bodech [±1, ±1]. Příklad 3. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
/     ^2   _|_   yl - j.
f (x, y) = \ -5-~.
y 2x — xz — yz
Výsledek. Prostor mezi k([^, 0]; ^) a k([l, 0]; 1), menší kružnice tam patří, větší ne. Příklad 4. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f (x, y) = arcsin--—-j—-.
y    \y\ ~ R
Výsledek. Prostor mezi přímkami y = x a y = —x kromě těchto přímek (do této množiny patří osa y kromě bodu [0,0], množina vypadá jako přesýpací hodiny).
Příklad 5. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f {x,y) = y/l - x2 - 4y2.
Výsledek. Elipsa (i s vnitřkem) se středem v bodě [0, 0], hlavní poloosou a = 1 (prochází bodem [1,0]) a vedlejší poloosou b = | (prochází bodem [0, ^]).
Příklad 6. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
i ŕ\^i
Výsledek. Elipsoid (i s vnitřkem) se středem v bodě [0, 0, 0] a poloosami a (prochází bodem [a, 0, 0]), b (prochází bodem [0, b. 0]) a c (prochází bodem [0, 0, c]).
1
Vrstevnice funkcí, polární souřadnice
Máme funkci ./': M > kde M • a nechť cěí Množinu fc = {[x,y] G M; f (x, y) = c} nazýváme vrstevnice funkce / na úrovni c. Chápeme-li graf funkce / jako reliéf krajiny, pak vrstevnice funkce na úrovni c je množina všech bodů s nadmořskou výškou c, což se shoduje s pojmem vrstevnice v mapách.
Příklad 7. Určete vrstevnice funkce z = x2 + y2.
Výsledek. Vrstevnice jsou x2 + y2 = c. Pokud c < 0, pak zc = 0. Pro c = 0 je zq = [0, 0] a pro c > 0 máme x2 + y2 = (y/č)2, takže vrstevnice jsou kružnice k([0, 0]; y/č).
Příklad 8. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami gxz: y = 0 a gyz: x = 0 určete v prostoru graf funkce
z = 2 — -y/x2 + y2.
Výsledek. Graf funkce z je rotační kužel s vrcholem v bodě [0, 0, 2] a hlavní osou, která je částí osy z od 2 do —oo
Příklad 9. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami gxz,gyz určete v prostoru graf funkce
z = y/l — x2 — y2.
Výsledek. Grafem je horní polovina kulové plochy (leží v poloprostoru z > 0), jejímž středem je bod [0, 0, 0] a poloměr je 1.
Příklad 10. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami gxz,gyz určete v prostoru graf funkce
2  i 2
z = x + y .
Výsledek. Grafem je rotační paraboloid ležící v poloprostoru z > 0, jeho vrchol („nejnižší" bod) je [0,0,0].
Křivky v irn, tečna ke křivce
Křivka v W1 je zobrazení c: M —> W1, tedy c zobrazí reálné číslo x na bod [ci(x),... ,cn(x)] v prostoru Wl, přičemž c±,..., cn jsou funkce M —> M. Derivace funkce c v bodě to, tj. vektor c'(to) = (cí(^o)) • • •) cn(^o))> Je tečným vektorem ke křivce c v bodě c(to). Přímka
p = {c(to) + sc'(to);seR}
je tečna ke křivce c v bodě íq-
Příklad 11. Určete tečnu křivky dané předpisem c(t) = (lni, arctgí, e8111^) v bodě to = 1. Výsledek. Tečna p = {[s, | + |, 1 - 7rs]; s £ M}.
Příklad 12. Na křivce c(t) = (t2 — 1, —2í2 + 5í,í — 5) nejděte takový bod, že jím procházející tečna je rovnoběžná s rovinou g: 3x + y — z + 7 = 0.
Nápověda. Směrový vektor d (to) tečny ke křivce c(t) v bodě to musí být kolmý k normálovému vektoru roviny g, takže skalární součin těchto dvou vektorů musí být roven 0. Pomocí tohoto skalárního součinu vypočítáme to-Výsledek. Bod [3,-18,-7].
Příklad 13. Určete parametrickou rovnici tečny v bodě [1,1, y/2] ke křivce, jež vznikla jako průsečík plochy o rovnici x2 + y2 + z2 = 4 s plochou x2 + y2 — 2x = 0.
Nápověda. Křivku si v okolí daného bodu vyjádřete stejným způsobem jako ve výše uvedených příkladech.
Výsledek. Tečna p = {[1 - y/2s, 1, y/2 |s];sěM).
2