Matematika III, 2. cvičení Limity funkcí více proměnných
Pro počítání limit ^ a || nemáme k dispozici žádnou analogii ĽHospitalova pravidla, musíme tedy používat různé úpravy. Rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou proměnných spočívá v odlišnosti okolí limitního bodu: u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (pak má funkce limitu v bodě, pokud existují obě jednostranné limity, které se rovnají), ale u funkce dvou a více proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby (po přímkách, parabolách, ...). Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Pokud tedy dostaneme různé hodnoty limity pro různé cesty, limita v daném bodě neexistuje. V následujících příkladech vypočítejte limity, případně dokažte, že neexistují.
Nápověda. Pokud po dosazení limitních bodů nevyjde neurčitý výraz, můžeme tyto limitní body dosadit. Pokud vyjde neurčitý výraz, můžeme zkoušet různé postupy:
(1) rozložit čitatel nebo jmenovatel na součin podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
(2) rozšířit čitatel i jmenovatel něčím vhodným podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
/ o \   ohraničený výraz      nn/i        ■ -     ''      \ n
[á) -^—-— = U, U • (ohraničený výraz) = (J;
(4) použít vhodnou substituci, po které bychom dostali limitu jedné proměnné;
(5) převést limitu dvou proměnných do polárních souřadnic
x = r cos tp, y = r sin tp
(je-li v limitě výraz x2 + y2, polární souřadnice většinou fungují, protože pak dostaneme jednodušší výraz x2 + y2 = r2 cos2 ip + r2 sin2 p = r2(cos2 ip + sin2 ip) = r2, který nezávisí na ip);
(6) zvolit y = kx (k limitnímu bodu [0,0] se blížíme po přímkách, v případě jiného limitního bodu je potřeba drobná úprava, aby přímky limitním bodem procházely), y = kx2 (k limitnímu bodu [0, 0] se blížíme po parabolách, v případě jiného limitního bodu je opět potřeba drobná úprava), případně jinak vhodně parametricky nahradit x = f (k) a y = g (k), a pokud bude hodnota limity záviset na parametru k, limita neexistuje; tento postup lze použít pouze k důkazu neexistence limity, nikoliv k výpočtu její hodnoty za předpokladu, že existuje!
Příklad 1. lim(:E)ž/)^.(e2)1) ^
Výsledek. 2.
Příklad 2. limM^(4i4)
Nápověda. Rozložte jmenovatel na součin podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin. Výsledek. ^.
Příklad 3. Dokažte, že lim^^^OjO) x^-y riee^s^ííJe-
Nápověda. Zvolte y = kx2, tedy k bodu [0, 0] se budeme blížit po parabolách.
1
Spojitost funkcí více proměnných
Funkce je spojitá v bodech, ve kterých má vlastní limitu (tj. limita existuje a je různá od ±00), která je rovna funkční hodnotě.
Příklad 4. Určete body, v nichž není spojitá funkce f(x,y) = ^J^lry. Výsledek. Kružnice k([0, 0]; 1).
Příklad 5. Určete body, v nichž není spojitá funkce
f{x,y) = Siw pro [^,y] ŕ m,
1 0 pro [x, y] = [0, 0].
Výsledek. Funkce je všude spojitá, včetně bodu [0, 0].
Směrové derivace
Je-li u = (111,112) nenulový vektor, pak směrová derivace funkce f(x,y) v bodě [a;o>yo] ve směru vektoru u je
,//       \    1 ■    f(xo + u1t,yQ +u2ť) - f(x0,yo) fu(xo,yo) = jim---.
Zřejmě f'x = f'(lfl) a f'y = f'{Q^.
Jiný způsob výpočtu směrové derivace (pouze v případě, že funkce je diferencovatelná!): Nejdříve spočítáme obě parciální derivace f^(xo,yo) a fý(xo,yo). Pak
f'u(xo, yo) = fx(xo,yo) ■ ui + fý(xo, yo) • u2-
Pro funkce tří a více proměnných je to analogické.
Příklad 6. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = x3 + Axy v bodě [2,-1] ve směru vektoru (1,3).
Výsledek. f'{l 3)(2, -1) = 32.
Příklad 7. Vypočtěte f''u(l,-1), kde f(x,y) = arctg(x2 + y2) a u = (1,2). Výsledek. — |.
Diferenciál, aproximace, tečná rovina
Pro funkci jedné proměnné y = f (x) je diferenciál v bodě xq dán vztahem df(x) = f'(xo)dx. Pro funkci dvou proměnných /: M2 —> M platí df(x,y) = f'x(x,y)dx + f'y(x,y)dy, diferenciál v pevném bodě [a;o>yo] je
df(x0,yo) = f'x(xo,yo)(x ~ xo) + fý(xo,yo)(y - yo) = f'x(xo,yo)dx + fý(x0,y0)dy. Pomocí diferenciálu se určí rovnice tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) v bodě [xq, yo, f(xQ, yo)]:
z = f(x0,yo) + f'x(xo,yo)(x - xo) + fý(xo,yo)(y - yo)  (= f(xo,yo) + df(x0,y0)).
V okolí bodu dotyku tečné roviny můžeme tedy přibližně vypočítat funkční hodnoty (místo přesné funkční hodnoty vezmeme hodnotu z tečné roviny):
f(x,y) = f(xo,yo) +df(x0,y0) = f(x0,y0) + f'x(x0,y0)(x - x0) + fý(x0,y0)(y - y0).
Analogicky se pomocí parciálních derivací prvního řádu určí vztahy pro diferenciál a tečnou nadrovinu funkce více proměnných.
2
Aproximace
Příklad 8. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte \/"2, 982 + 4, 052.
1 02
Příklad 9. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte arctg
Nápověda. Zvolte funkci arctg |, xq =y$ = l. Výsledek, f+ 0,035.
Taylorův polynom
Příklad 10. Určete Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x,y) = x4y + xy2+x + 2 v bodě 1,1]-
Příklad 11. Určete Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x, y) = arctg f±j^ v bodě [a/3, 1].
3