Matematika III, 2. cvičení Limity funkcí více proměnných
Pro počítání limit ^ a || nemáme k dispozici žádnou analogii ĽHospitalova pravidla, musíme tedy používat různé úpravy. Rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou proměnných spočívá v odlišnosti okolí limitního bodu: u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (pak má funkce limitu v bodě, pokud existují obě jednostranné limity, které se rovnají), ale u funkce dvou a více proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby (po přímkách, parabolách, ...). Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Pokud tedy dostaneme různé hodnoty limity pro různé cesty, limita v daném bodě neexistuje. V následujících příkladech vypočítejte limity, případně dokažte, že neexistují.
Nápověda. Pokud po dosazení limitních bodů nevyjde neurčitý výraz, můžeme tyto limitní body dosadit. Pokud vyjde neurčitý výraz, můžeme zkoušet různé postupy:
(1) rozložit čitatel nebo jmenovatel na součin podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
(2) rozšířit čitatel i jmenovatel něčím vhodným podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
/ o \   ohraničený výraz      nn/i        ■ -     ''      \ n
(3) -^—-— = U, U • (ohraničený výraz) = (J;
(4) použít vhodnou substituci, po které bychom dostali limitu jedné proměnné;
(5) převést limitu dvou proměnných do polárních souřadnic
x = r cos tp, y = r sin tp
(je-li v limitě výraz x2 + y2, polární souřadnice většinou fungují, protože pak dostaneme jednodušší výraz x2 + y2 = r2 cos2 ip + r2 sin2 p = r2(cos2 ip + sin2 ip) = r2, který nezávisí na ip);
(6) zvolit y = kx (k limitnímu bodu [0,0] se blížíme po přímkách, v případě jiného limitního bodu je potřeba drobná úprava, aby přímky limitním bodem procházely), y = kx2 (k limitnímu bodu [0, 0] se blížíme po parabolách, v případě jiného limitního bodu je opět potřeba drobná úprava), případně jinak vhodně parametricky nahradit x = f (k) a y = g (k), a pokud bude hodnota limity záviset na parametru k, limita neexistuje; tento postup lze použít pouze k důkazu neexistence limity, nikoliv k výpočtu její hodnoty za předpokladu, že existuje!
Příklad 14. lim(liíH(e2il) ljf
Výsledek. 2.
Příklad 15. lim^)^^)
Nápověda. Rozložte jmenovatel na součin podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin. Výsledek. ^.
Příklad 16. lim(:E)ž/)^.(1)00)
3
Nápověda. Použijte postup (3). Výsledek. 0.
Příklad 17. lim^)^^) ^-^r1
Nápověda. Rozšiřte zlomek výrazem | a použijte substituci t = xy (protože (x, y) ->■ (0, 2), bude í 0). Výsledek. 2.
Příklad 18. lim^^-^oo) fi^r
Nápověda. Převeďte do polárních souřadnic x = rcos^,y = rsin</> a protože (x,y) ->• (oo, oo), bude r —> oo, ip £ (0, §). Výsledek. 0.
Příklad 19. lim i*L-±ií
-'2+.v2
(x,y)^(0,0) -J+y-
Nápověda. Zvolte dvě různé parametrizace, první bude y = 1 - ex, druhá bude y = x. Výsledek. Pro první parametrizaci vyjde hodnota limity -4, pro druhou vyjde 0, takže limita neexistuje.
Příklad 20. lim X'-JL
,2
Nápověda. Převeďte do polárních souřadnic, kde r —» 0, </? £ (0,2ir).
Výsledek. cos2<^, záleží tedy na tom, odkud se k bodu [0,0] blížíme, tudíž limita neexistuje. Příklad 21. lim^^^^f^f2
Nápověda. Převeďte do polárních souřadnic, kde r —» oo, </? G (0, f). Výsledek. 1 pro ^ = f, ale pro tp ^ f vyjde 0, takže limita neexistuje.
Příklad 22. lim^j,)^!,!) Výsledek, y/2.
Příklad 23. lim(a!i!/)^(o,o) y;g2^1_1 Výsledek. 2.
Příklad 24. lim^^^o) xy2 cos ^ Výsledek. 0.
Příklad 25. lim^^co) ^ Výsledek. 0.
Příklad 26. lim^^co) |np§2-Výsledek. 0.
Příklad 27. Um(a.iyH(00i00)(a:2 + y2)e^x+^ Výsledek. 0.
4
Příklad 28. lim(:r<!/)_>(00ii)(l + ± Výsledek, e.
Příklad 29. lim^^^o) -Jf^ Výsledek. Neexistuje.
.2
x+y
Příklad 30. lim
1 —cos(x2+t/2) (x,y)^(0,0) (x^+y^xy
Výsledek. Neexistuje.
Příklad 31. Dokažte, že lim^^^o) x-i-y neexistuje.
Nápověda. Zvolte y = kx2, tedy k bodu [0,0] se budeme blížit po parabolách.
Příklad 32. Pomocí svazku přímek procházejících limitním bodem dokažte, že následující limita neexistuje:
2x + xy — y — 2 lim      —^-~-■--.
(x,y)^(1,-2) x2 + y2 - 2x + 4y + 5
Nápověda. Přímky ze svazku mají rovnice y = kx + q, vyjádřete q v závislosti na k tak, aby odpovídající přímky procházely bodem [1, —2].
Výsledek. Limita vyjde rovna j^t, což závisí na k, limita je tedy závislá na směru, ze kterého se blížíme k limitnímu bodu, takže limita neexistuje.
Spojitost funkcí více proměnných
Funkce je spojitá v bodech, ve kterých má vlastní limitu (tj. limita existuje a je různá od ±oo), která je rovna funkční hodnotě.
Příklad 33. Určete body. v nichž není spojitá funkce f(x,y) = -JfrlrT-
x -\-y i
Výsledek. Kružnice fc([0,0];l).
Příklad 34. Určete body, v nichž není spojitá funkce f(x,y) = S1"^s(.^^ ^. Výsledek. Množina bodů {[x, x + (2k + l)f ]; x G R, k G Z}. Příklad 35. Určete body, v nichž není spojitá funkce
f (x,y)
^   pro [x, y] ? [0,0],
I 0 pro [x, y] = [0, 0].
Výsledek. Funkce je všude spojitá, včetně bodu [0, 0].
5