Matematika III, 3. cvičení
Derivace funkce zadané implicitně
Funkci značíme písmenem y, proměnnou písmenem x, můžeme si představit, že y = f (x). Proto derivace x je 1, ale derivace y je y', takže např. (x2)' = 2x a (y2)' = 2yy'.
Příklad 36. Určete první a druhou derivaci, pokud x2 + y2 = 1.
x     n _ y2+x2
Výsledek, y' = — |, y Příklad 37. Určete derivaci, pokud xy2 — 2xy + x3 — 3y2 +5 = 0. Výsledek, y' = g^lg.
Příklad 38. Určete derivaci, pokud sin(x2) + cos(y2) — 1=0.
Výsledek, y
/ _       xcos(x )
j/sin(j/2)
Příklad 39. Nechť je funkce y = y{x) dána v okolí bodu [1,1] implicitné rovnicíy3 — 2xy+x2 = 0. Určete y'(l) a y"(l).
Výsledek. y'(l) = 0, y"(l) = -2.
Příklad 40. Nechť je funkce y = y (x) dána v okolí bodu f2^-, f ] implicitně rovnicí y — ^rp = x. Určete y'(^) ay"(^).
Výsledek. y'(^) = l,y"{^) = -\.
Příklad 41. Rozhodněte, zda křivka x3 — y3 + 2xy = 0 leží v okolí bodu [1, —1] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Nápověda. Křivku v okolí bodu [1, —1] považujte za funkci y{x) zadanou implicitně, odpovězte podle hodnoty druhé derivace této funkce v daném bodě.
Výsledek. y"(l) = 16 > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.
Příklad 42. Rozhodněte, zda křivka |x2 — 3xy2 + y3 — | =0 leží v okolí bodu [1, 3] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Výsledek. y"(l) = ^ > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou. Parciální derivace
Pro funkci /: M2 —> M jsou parciální derivace prvního řádu definovány takto:
r f{xo +t,y0) - f(x0,yo) ,t, , v f{ooo,yo+t)-f(x0,y0) j™-7-,    fy (xo ,yo)= Jim---.
i—>0 t " i—>0 t
Při výpočtu parciální derivace podle jedné proměnné považujeme druhou proměnnou za konstantu a derivujeme podle první proměnné.
Parciální derivace druhého a vyšších řádů dostaneme (podobně jako několikanásobné derivace funkcí jedné proměnné) opětovným derivováním dané funkce. Např. fj. dostaneme tak, že nejdřív zderivujeme funkci / podle x (přitom y považujeme za konstantu) a výsledek pak zderivujeme podle y (tentokrát x považujeme za konstantu).
6
Příklad 43. Vypočtěte f'x a fý, kde f(x,y) = arctg |. Příklad 44. Vypočtěte f'x a fý, kde f(x,y) = xv\x> 0.
Příklad 45. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu funkce f(x,y,z)
y
X - .
Výsledek. ./;;. = V   ;./; = x* l.i.r- \. f.    xí ln.r • ^,
fL = f (f " l)**"2- ,C =     ln2 x-$,f'z'z= x* \n*,->!\  ■ .r'ln.r-%
/£, = + Inx • i       = ^xf-1 + \nx-=%,f"=x! ln2 * • ^ +     Inx • ^
■2 •
xj/      z~ 1   z z^-'xz       zi-" '   z zÁ,Jyz
Příklad 46. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního řádu funkce f(x, y, z) = xyZ (pozor:
xyz = x(yz) ý {xy)z).
Příklad 47. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního řádu: f(x, y) = ln(^^). Příklad 48. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu: f(x,y) = cosyx -1.
Příklad 49. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [1, \/2, 2] funkce z = f(x,y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí x2 + y2 + z2 — xz — V2yz = 1.
Výsledek. 4(1, V2) = = 0, z'y(l, V§) = = 0, 4,(1, V§) = 4,(1, V§) = -2,
4;(i,V2) = o.
Příklad 50. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [—2, 0,1] funkce z = f(x, y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz — z + 8 = 0.
Výsledek. 4(-2,0) = -ggfe = 0, ^(-2,0) = -g^q^T = °> ^x(-2-0) = ^(-2,0) = ±
4^-2,0) = o.
Směrové derivace
Je-li u = (u±,u2) nenulový vektor, pak směrová derivace funkce f(x,y) v bodě [xo,yo] ve směru vektoru u je
,/,       s    r    f(xo + u1t,y0+u2t)-f(x0,yo) Jří(^o, yo) = Jim---•
í->0
Zřejmě fx = f'(hQ) a fý = f'my
Jiný způsob výpočtu směrové derivace: Nejdříve spočítáme obě parciální derivace fx(xQ,yo) a fý(x0,y0). Pak
fL(xo, Vo) = fx(.xo,yo) ■ ui + fý(x0, y0) ■ u2. Pro funkce tří a více proměnných je to analogické.
Příklad 51. Vypočtěte fu(l,-1), kde f(x, y) = arctg(x2 + y2) au = (1, 2). Výsledek. — |.
Příklad 52. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = x3 + 4xy v bodě [2,-1] ve směru vektoru (1,3).
Výsledek. f'{l 3)(2, -1) = 32.
Příklad 53. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = \/x2 + y2 v bodě [1,1] ve směru vektoru ( — 1,3).
7
Výsledek. /(_li3)(l, 1) = y/2.
Příklad 54. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x, y) = e1^-1) v bodě [O, 2] ve směru vektoru (-1,2).
Výsledek. /('_li2)(0,2) = -1.
Příklad 55. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x, y, z) = z — ex siny v ve směru vektoru (1,2,2).
Výsledek. j(li2i2)(m3, 4f, -3) = 5. Směrové derivace a spojitost
V následujícím příkladě si ukážeme, že z existence derivací funkce více proměnných v libovolném směru neplyne spojitost této funkce (avšak u funkce jedné proměnné z existence derivace plyne spojitost).
Příklad 56. Dokažte, že funkce
f{x,y) = í*&   Pro [^V] ŕ M, 1^0 pro [x, y] = [0, 0]
není spojitá v bodě [0,0], ale v tomto bodě existuje derivace funkce f v libovolném směru.
Nápověda. Pomocí přibližování se k limitnímu bodu po parabolách dokažte, že funkce nemá v bodě [0, 0] limitu; směrové derivace vypočítejte podle definice.
8