Matematika III, 4. cvičení
Diferenciál, aproximace, tečná rovina
Pro funkci jedné proměnné y = f (x) je diferenciál v bodě xq dán vztahem df(x) = f'(xo)dx. Pro funkci dvou proměnných /: R2 -> R platí df(x,y) = fx(x,y)dx + fý(x,y)dy, diferenciál v pevném bodě [xo,yo] Je
df(x0,y0) = fx(x0,yo)(x - x0) + fý(x0,y0)(y - y0) = fx{x0,y0)dx + fý{x0,y0)dy.
Pomocí diferenciálu se určí rovnice tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) v bodě [xq, yo, f{xo,yo)]'-
z = f{x0,yo) + fx(x0,yo)(x - x0) + fý(x0,y0)(y - yo)   (= f(x0,y0) + df(x0,y0)).
V okolí bodu dotyku tečné roviny můžeme tedy přibližně vypočítat funkční hodnoty (místo přesné funkční hodnoty vezmeme hodnotu z tečné roviny):
f(x,y) = f(x0,y0) +df(x0,y0) = f{x0,y0) + fx(x0,yo){x - x0) + fý(x0,y0)(y - yo)-
Analogicky se pomocí parciálních derivací prvního řádu určí vztahy pro diferenciál a tečnou nadrovinu funkce více proměnných.
Diferenciál
Příklad 57. Určete diferenciál funkce f(x,y) = arctg        v bodě [VŠ, 1]. Výsledek. df(y/Š, 1) = \dx + ^dy.
Příklad 58. Určete diferenciál funkce f(x, y) = arcsin   , ^      v bodě [1,73]-Výsledek, df (l,y/Š) = ^dx - \dy.
Příklad 59. Určete diferenciál funkce f(x,y) = xy + | v bodě [1,1]. Výsledek, df (1,1) = 2dx.
Příklad 60. Vypočtěte diferenciál funkce f(x,y,z) = 2X sin y arctg z v bodě [—4,^,0] pro dx = 0,05, dy = 0,06 a dz = 0,08.
Výsledek. d/(-4, f, 0) = Odx + Ody + ±dz = 0,005. Aproximace
Příklad 61. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte y%982 + 4, 052. Výsledek. 5,028.
Příklad 62. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte arctg ^||.
Nápověda. Zvolte funkci arctg |,xo = yo = 1. Výsledek, f+ 0,035.
Příklad 63. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte ln(0, 972 + 0, 052).
Nápověda. Zvolte funkci ln(x2 + y2), xq = 1, yo = 0. Výsledek. -0,06.
9
Příklad 64. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte arcsin ÝôE-Nápověda. Zvolte funkci arcsin |, xq = 0, 5, yo = 1. Výsledek, f - •
Příklad 65. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte 1,042'02.
Nápověda. Zvolte funkci xv,xq = l,yo = 2. Výsledek. 1,08.
Příklad 66. O kolik crrfi se přibližně změní objem kužele s poloměrem podstavy r = 10 cm a výškou v = 10 cm, zvětšíme-li poloměr podstavy o 5mm a výšku o 5mm zmenšíme?
Nápověda. Použijeme funkci pro objem kužele V(r, v) = ^7rr2v,ro = 10, vq = 10, chceme spočítat F(10,5;9,5) - F(10;10).
Výsledek. Objem kužele se zvětší asi o ^7rcm3. Tečná rovina
Příklad 67. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = \J\ — x2 — y2 v bodě [xq, yo, zq] = Výsledek, x + y + z = \[3.
Příklad 68. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = ex2+y2 v bodě [a?o,yo,^o] = [0,0,?].
Výsledek, zq = 1, z = 1.
Příklad 69.  Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = x2 + xy + 2y2 v bodě [x0,yo,z0] = [1,1,?].
Výsledek, zq = 4, 3x + 5y — z = 4.
Příklad 70. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f{x,y) = arctg - v bodě [xo,yo>^o] = [1,-1,?].
Výsledek, zq = —^,x + y — 2z= ^.
Příklad 71. Na kuželosečce k o rovnici x2 + 3y2 — 2x + 6y — 8 = 0 najděte všechny body, v nichž je normála k této kuželosečce rovnoběžná s osou y. Pro každý nalezený bod zapište obecnou rovnici tečny k dané křivce v tomto bodě.
Výsledek. [1,1] a [1, —3], rovnice tečen jsou y = 1, resp. y = —3.
Příklad 72. Na kuželosečce o rovnici 3x2 + Qy2 — 3x + 3y — 2 = 0 najděte všechny body, v nichž je normála k této kuželosečce rovnoběžná s osou prvního kvadrantu. Pro každý nalezený bod zapište obecnou rovnici tečny k dané křivce v tomto bodě.
Výsledek. Hledané body tedy jsou [4/3,1/6] a [—1/3, —2/3], obecné rovnice tečen ke kuželosečce v těchto bodech jsou x + y = 3/2, resp. x + y = —1.
Příklad 73. Na kuželosečce o rovnici x2 + xy + 2y2 — x + 3y — 54 = 0 najděte všechny body, v nichž je normála k této kuželosečce rovnoběžná s osou x. Pro každý nalezený bod zapište obecnou rovnici tečny k dané křivce v tomto bodě.
10
Výsledek. Hledané body tedy jsou [—7,1] a [9, —3], obecné rovnice tečen ke kuželosečce v těchto bodech jsou x = — 7, resp. x = 9.
Příklad 74. Na grafu funkce tři proměnných u = f (x,y, z) dané předpisem u = xyjy2 + z2 najděte bod, v němž je tečná nadrovina k tomuto grafu rovnoběžná s rovinou o rovnici x + y — z — u = 0.
Výsledek. Zadání splňují dva body: [y/2,1/y/2,-l/y/2, y/2] a [-y/2,-l/y/2, l/y/2, -y/2].
Příklad 75. K elipsoidu o rovnici x2 + 2y2 + z2 = 1 veďte tečné roviny rovnoběžné s rovinou o rovnici x — y + 2z = 0.
Nápověda. Rovnici tečné roviny k elipsoidu určíme pomocí parciálních derivací funkce z = z{x, y) dané implicitně rovnicí elipsoidu x2 + 2y2 + z2 = 1. Pak normálový vektor k elipsoidu v bodě [a?o,í/o,^o] bude (z'x(xq, í/o), z' {xq, í/o), 1)- Tento vektor musí být rovnoběžný s normálovým vektorem (1,-1,2) zadané roviny, tudíž (2z'x{xq, í/o), ^z'y(xo, ž/o), 2) = (1,-1,2). Z toho dostaneme 2xq = zo,4í/o = — zq a po dosazení do rovnice elipsoidu dostaneme dva body dotyku hledaných tečných rovin: í—P=, —t=, —$=] a [—j=, +—?=, —t=\- Odtud už snadno určíme rovnice tečných rovin.
Výsledek. Hledané tečné roviny mají rovnice x — y + 2z = ±"^7^-Taylorův polynom funkce více proměnných, aproximace
Připomeňme, že Taylorův polynom stupně n G N funkce jedné proměnné /: M —> M se středem v bodě xq, ve kterém existují vlastní derivace f'(xo), f"(xo),..., f^n\xo), je polynom
Tn(x; xq) = f(x0) + f'(x0)(x - Xq) + ^^(X - XoÝ + ■■■ + - ^o)".
Máme-li funkci dvou proměnných /: M2 —> M., která má v bodě [xo,í/o] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu n + 1 včetně, pak pro každý bod [x, y] z tohoto okolí platí f(x,y) = Tn(x,y) +Rn{x,y), kde
Tn{x, y) = f(x0,y0) + f'x(x0, y0)(x - x0) + f'y(x0,y0)(y - y0) +
+7y[f"x(xo,yo)(x ~ xoÝ + Vxy{xQ,yQ){x - x0)(y - y0) + fý'y{x0,y0)(y - y0)2] +
je Taylorův polynom stupně n funkce / se středem v bodě [xo,í/o] a Rn(x,y) Je zbytek. Pro funkci více proměnných se Taylorův polynom určí analogicky, např. pro funkci tří proměnných vypadá člen s druhými derivacemi takto:
^[fxx(xo,yo,z0)(x - xo)2 + fý'y(xo,yo,z0)(y - yo)2 + f"z(xo,yo,z0)(z - z0)2+
+2f'Jy(x0,yo, zQ)(x - x0)(y - y0) + 2f"z(x0,yo, z0)(x - x0)(z - z0) +
+2fý'z(.xo,yo,zo)(y - yo)(z - z0)].
Taylorův polynom můžeme (stejně jako u funkcí jedné proměnné) využít k přibližnému výpočtu funkčních hodnot.
11
Taylorův polynom
Příklad 76. Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce f(x,y) = sinxsiny se středem v bodě [x0,y0} = [0,0].
Výsledek. T2(x, y) = ^ • 2 • l(x - 0)(y - 0) = xy.
Příklad 77. Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce f{x, y, z) = x^ se středem v bodě [x0,y0,z0] = [1,1,1].
Výsledek. T2(x,y,z) = 1 + (x - 1) + (x - l)(y - 1) - (x - l)(z - 1).
Příklad 78. Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce f(x, y) = ln \Jx2 + y2 se středem v bodě
N,yo] = [i, i].
Výsledek. T2(x,y) = l-f + \{x - 1) + \{y - 1) - \{x - l)(y - 1).
Příklad 79. Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce f(x, y) = arctg se středem v bodě
[x0,y0} = [0,0].
Výsledek. T2(x,y) = ^ + x —
Příklad 80.  Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce f(x, y) = se středem v bodě
[x0,y0} = [0,0].
Výsledek. T2(x, y) = 1 - ^ +
Příklad 81. Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce f(x,y) = arcsin   , x      se středem v
\J x2+y2
bodě [x0,y0] = [0,1].
Výsledek. T2(x,y) = x — x{y — 1).
Příklad 82. Nechi je funkce y = y(x) dána v okolí bodu [1,1] implicitně rovnicíy3 — 2xy+x2 = 0. Určete Taylorův polynom 2. stupně této funkce v bodě x$ = l.
Výsledek. y(l) = 1, y'(l) = 0, y"(l) = -2, tudíž T2(x) = l+0(x-l) + ^(-2)(x-l)2 = l-(x-l)2. Aproximace
Příklad 83. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně přibližně vypočtěte y/2, 982 + 4, 052. Výsledek. 5,0282116.
Příklad 84. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně přibližně vypočtěte 1,042'02. Nápověda. Zvolte funkci f(x,y) = xv,xq = l,y0 = 2.
Výsledek. 1,042'02 = 1,0824. Na straně 2 jsme pomocí diferenciálu získali přibližnou hodnotu 1, 08, přesná hodnota je 1, 082448755 ... Opět jsme tedy získali mnohem lepší aproximaci oproti dřívějšímu výpočtu.
Příklad 85. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně přibližně vypočtěte arctg Nápověda. Zvolte funkci f(x,y) = arctg |,^o = 1,2/o = 1. Výsledek, arctg ±J§ = f + 0, 0297.
Příklad 86. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně přibližně vypočtěte sin 29° tg 46°.
Nápověda. Zvolte funkci f(x, y) = sinxtgy, xq = ^,yo = f, musíme počítat v radiánech, nikoliv ve stupních!
Výsledek, sin 29° tg 46° = \ + ^jfo + (f - VŠ)^.
12