Matematika III, 5. cvičení
Lokální extrémy funkcí více proměnných
Připomeňme, že pro funkci jedné proměnné /:I-íla její stacionární bod xq (tj. bod xq £ M, pro který platí /'(xq) = 0) platí:
• je-li f"(xo) < 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální minimum,
• je-li f"(xo) < 0, má funkce / v bodě xq neostré lokální minimum,
• je-li f"(xo) > 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální maximum,
• je-li f"(xo) > 0, má funkce / v bodě xq neostré lokální maximum.
Pro jednoduchost budeme uvažovat funkci dvou proměnných /: M2 —> M, obecný případ pro funkci Wl —> M byl probrán na přednášce. Podobné tvrzení jako pro lokální extrémy funkcí jedné proměnné dostaneme pro funkce dvou (resp. více) proměnných:
Nechť [xq, yo] je stacionární bod funkce /: M2 —> M (tedy platí f'x(xo,yo) = 0, fý(xo, yo) = 0) a nechť má tato funkce v nějakém okolí bodu [xo,yo] spojité parciální derivace druhého řádu. Pak platí:
• Je-li fxx(x0,y0) > 0 a
detHf(x0,y0) = det f^'ľí   f^ľ'ľí) = fLfro,Vo)Vo)-\fZy(x0,Vo)? > 0,
má funkce / v bodě [a;o>yo] ostré lokální minimum,
• Je-li fxX(xo,yo) < 0 a detHf(xo,yo) > 0, má funkce / v bodě [a;o>yo] ostré lokální maximum,
• Je-li det H/(xq, yo) < 0, extrém v bodě [a;o>yo] nenastává,
• V ostatních případech (tj. pokud det H/(xq, yo) = 0), nic o extrému v bodě [xq, yo] nevíme, musíme použít různé triky.
Dále platí, že funkce /: M2 —> M (platí to i pro funkce více než dvou proměnných) může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje.
Příklad 87. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2.
Výsledek. Tři stacionární body: P\ = [0,0], P2 = [1,1], P3 = [—1,-1]. V P\ extrém nenastává, v obou bodech P2, P3 má funkce / ostré lokální minimum.
Příklad 88. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x3 + y3 — 3xy.
Výsledek. Stacionární body jsou P\ = [0, 0], P2 = [1,1], v P\ není extrém, v P2 je ostré lokální minimum.
Příklad 89. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = ln(5x) — x2 + xy + y2.
Výsledek. Stacionární body jsou P\ = [y/2/5, —l/y/lÚ\,P2 = [—y/2/5,1 /\/TÔ], ani v jednom z nich extrém nenastává.
13
Příklad 90. Určete lokální extrémy funkce
j{x,y,z) = x + t~ h---h ~
4x     y z
ležící v prvním oktantu (tj v části prostoru, káe jsou všechny tři souřaánice nezáporné) a určete jejich typ.
Výsleáek. Jediný stacionární bod je [^,1,1], ve kterém je lokální minimum, neboť
Hf =
4   -2 0> -2     3 -2 0   -2 6,
je pozitivně definitní např. podle Sylvestrova kritéria (au > 0, a\\a,22 — ai2a2i > 0, det H f > 0).
Příklad 91. Najáěte všechny stacionární boáy funkce z = f{x,y) áefinované implicitně rovnicí 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz — z + 8 = 0 a zjistěte, záa jsou v těchto boáech lokální extrémy.
Výsleáek. Vyjde
4x + 8z
4y
8x + 2z-V     y       8x + 2z-ľ
stacionární body jsou [—2, 0,1], [4^, 0, — |]. Dále '4/15 0
Hf(-2,0)
7 ) 71
, takže funkce f(x,y) má v bodě [—2, 0] lokální minimum;
Hf(¥f,ti) = (   4,(15 _4°/lfl ), takže funkce f(x,y) má v bodě [—2,0] lokální maximum.
0 4/15 4/15 0 0 -4/15
Příklad 92. Najáěte všechny stacionární boáy funkce z = f(x,y) áefinované implicitně rovnicí x2 + y2 + z2 — xz — \[2yz = 1 a zjistěte, záa jsou v těchto boáech lokální extrémy.
Výsleáek. Vyjde
z — 2x
V2z - 2y
x     2z-x- V2y'     y     2z-x- ^2y' stacionární body jsou [1, y/2, 2], [—1, —y/2, —2]. Dále ve stacionárních bodech je
2 2
__z" =n z"
2z-x-V2y      xy      ' yy
2z — x — \[2y
Ve stacionárních bodech je H f negativně, resp. pozitivně definitní, proto zde nastává ostré lokální maximum, resp. minimum funkce /.
Příklad 93. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = xyYn(x2 + y2). Výsleáek.
f'x = y
stacionární body jsou
2x
ln{x2+y2) +
XZ   _|_ yZ
> f v x
2v2
ln(x2 + y2) + -^-^
XZ   _|_ yZ
Dále
Pi,2 = [0,±l],    P3,4 = [±l,0],    P5-8 = [±1/Vte,±l/V2é\.
„ 2xy{3x2+y2)
Ax2y2
{x2 + y2)2
f
J v
{x2+y2)2' Jyv
{x2 + y2)2
14
det íř/(Pi_4) = det (2 o) = —^ < ^ tudíž v bodech P1-4 není extrém.
Pro P5 = [1/V2Í, 1/V2^] a P6 = [-1/V2Í, -1/V2Í] je /^(P5,6) = 2 > 0, det Hf{P5fi) = 4 > 0, tudíž v bodech P5, P@ je ostré lokální minimum.
Pro P7 = [l/VTe, -l/y/2ě\ a P8 = [-1/^, 1/v^i] je j^(P7,8) = -2 < 0, det F/(P5,6) = 4 > 0, tudíž v bodech P7, P8 je ostré lokální maximum.
Příklad 94. Najděte lokální extrémy funkce f(x,y) = x — 2y + ln x2 + y2 + 3arctg ^ a pro každý extrém určete jeho typ.
Výsledek. Vyjde
f = 1 + x-3y, / = -2+ 3x+ž/,
x x2 + y2 '     ^ x2 + y2 '
stacionární bod je [—7/5,1/5]. Dále
„ _ y2 -x2 + 6xy       „ _ 3y2 - 3x2 - 2xy       „ _ x2 - y2 - 6xy Ixx ~    {x2+y2)2   '    Ixy ~     (x2+y2)2     '    Iyy ~    {x2+y2)2 '
H f (-7/5,1/5)= J
-13^/10   ^/ío)' ta^e mnkce f(x,y) v bodě [—7/5,1/5] nemá extrém. Implicitně zadaná funkce
Nechť P(x, y): M 2 —> M je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [xq, yo] > dále P(xo, yo) = 0 a Fý(xo,yo) 7^ 0. Pak existuje spojitá funkce /: M —?► M definovaná na nějakém okolí ř7 bodu xo, přičemž P(x,/(x)) = 0 pro všechna x £ ř7. Funkce y = /(x) je tedy rovností F(x,y) = 0 implicitně definovaná v okolí bodu xq. Pokud Fý(xo, yo) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje.
Podobné tvrzení platí pro funkci více proměnných, uvedeme si ještě případ pro 3 proměnné: Nechť F(x, y, z): M3 R je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [xo,yo,zo], dále F(xQiVQi zo) = 0 a F'z(xo,yo, zq) 7^ 0. Pak existuje spojitá funkce /: M2 —> M definovaná na nějakém okolí U bodu [xo,yo]> přičemž F(x,y, f(x,y)) = 0 pro všechna 1 £ [/. Pokud F'z(xq, yo, zq) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje.
Příklad 95. V okolí kterých bodů jednodílného hyperboloidu h o rovnici
x2 y2 z2 a2     b2 c2
nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x, y) ?
1 2
Nápověda. Určete body [xo,yo>^o] na h splňující F'z(xo,yo, zo) = 0, kde F(x,y,z) = \ + |j —
4-i.
Výsledek. Množina hledaných bodů je elipsa obsahující body [xq, yo, 0], kde ^ + |§- = 1. Příklad 96. V okolí kterých bodů křivky x2 + 2xy — y2 — 8 = 0 nelze vyjádřit y jako funkci
y = f{x)?
Výsledek. [2, 2], [-2, -2].
Příklad 97. V okolí kterých bodů parabolické válcové plochy z2 — 2px = 0, kde p > 0, nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x,y)?
Výsledek. Všechny body osy y.
15