Matematika III, 7. cvičení Integrální počet funkcí dvou proměnných Pokud lze množinu S C M2 zadat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici (např. x G (a, b)) umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y £ (íp(x),ip(x)), pak r r rb ( f^O) \ // /(x,y)dxdy = / / JV.//)<1//U<-. JJS J a \Jip(x) ) Příklad 113. Vypočtěte jj^Q 2)(x2 + ^xv) d^dy. Výsledek. |. Příklad 114. Vypočtěte J/(0,i)x{o,3)[3(x ~ l)2 + (v ~ 2)2 + 2] dxdy-Výsledek. 12. Příklad 115. Vypočtěte f(] /*2(2 - xy) áyáx. Výsledek. Příklad 116. Vypočtěte f£(x sin y) dy dx. Výsledek. 1. Příklad 117. Vypočtěte f^x x2_\x+2 dV dx- (Tip: po nějaké době rozložte na parciální zlomky.) Výsledek. 3 ln 2 —ln 3. Příklad 118. Zaměňte pořadí integrace: JQ2 /Jf f{x, y) dy dx. Výsledek. JQ4 ff5 f(x, y) dx dy. Příklad 119. Zaměňte pořadí integrace: JQ2 J^nx f(x,y) dy dx. Výsledek. /J f£csiny f(x, y) dx dy. Příklad 120. Spočítejte J0V 2 Jv 2 y2 sin x2 dxdy. Nápověda. Protože integrál / sinx2 dx neumíme vypočítat, zaměňte nejdříve pořadí integrace a pak výsledný integrál spočítejte pomocí substituce t = x2. Výsledek. -jL Příklad 121. Spočítejte I = ffM 8y dx dy, kde M = {[x, y] G M2; x > 0, xy > 1, x + y < f}. Nápověda. I = fl f? X8ydydx. Výsledek. |. Příklad 122. Spočítejte ffsxy2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y = x a y = x2. Výsledek. Příklad 123. Spočítejte ffAx3ydxdy, kde A je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y = x a y = x3. Výsledek. iL. 19 Transformace souřadnic při integraci Nechť G(x, y): M C M2 —> M2 je prosté, prvky Jacobiho matice G'(x, y) jsou spojité funkce a det G'(x, y) 7^ 0 pro všechna [x, y] G M. Pak pro každou „rozumnou" (přesněji Riemannovsky měřitelnou) množinu K a spojitou funkci /: G{K) —> M platí: f(s,t)dsdt= [í f(G(x,y))\det G''(x, y)\dxdy. G (K) J J K Velmi důležitá je transformace do polárních souřadnic: x = r cos (p, y = r sin tp, tj. pro dané r a tp dostaneme bod ve vzdálenosti r od počátku [0,0], přičemž velikost orientovaného úhlu, vedeného v kladném směru (tj. proti směru hodinových ručiček) od osy x k polopřímce začínající v [0, 0] a procházející přes tento bod, je p. Tedy G(r,p) = [rcos 0, je | det G'(r, tp)\ = \r\ = r. Transformace do polárních souřadnic je obvykle výhodná, pokud je množina, přes kterou integrujeme, kruhem, mezikružím, kruhovou výsečí nebo něčím podobným. Někdy je lepší použít transformaci do polárních souřadnic se středem v bodě [a, b] (obvykle v případech, kdy je množina, přes kterou integrujeme, podobná kruhu se středem v bodě [a, b]) místo výše uvedené transformace se středem v bodě [0, 0]: x = r cos ip + a, y = r sin tp + b. Snadno si můžete ověřit, že jacobián této transformace je opět r. Přípustné hodnoty nových proměnných jsou r G (0, 00), p> G (0, 2tt). Zdůrazněme zejména, že transformace při výpočtu integrálů více proměnných vybíráme podle tvaru množiny, přes kterou se integruje, nikoliv podle integrované funkce, jako je tomu u integrálů jedné proměnné! Příklad 124. Pomoct přechodu k polárním souřadnicím zjednodušte dvojný integrál 1= f{Vx2 +y2)dx dy, J J M kde M : x2 + y2 < 1. Výsledek. 2ir r f (r) dr. Příklad 125. Spočítejte integrál {x - l)2 + (y + l)2 dx dy, M kde M : 1 < (x - l)2 + (y + l)2 < 4. Nápověda. M je mezikruží se středem [1,-1], tudíž použijeme polární souřadnice se středem [1,-1]- Výsledek, ^-tt. Příklad 126. Užitím transformace u = xy,y = vx spočtěte I = ffAx2y2dxdy, kde množina A je ohraničena křivkami xy = ^, xy = 2, 2y = x, y = 2x, přičemž x, y > 0. 20 Výsledek. Transformace x = y/^,y = ^l/u~v,detG,(u,v) = meze: u G (^,2),v G (^,2),/ = — In 2 24 111 Z- 2 Příklad 127. Užitím transformace u = xy, v = ^- spočtěte I = jjA ^/xydx dy, kde množina A je ohraničena křivkami y2 = 2x, y2 = x, xy = 1, xy = 2. Nápověda. Není potřeba vyjadřovat transformaci G : x = f (u, v), y = g(u,v). Stačí uvažovat inverzní transformaci G-1 : u = = —, neboť G o G-1 = id, tudíž detG" • det(G-1)' = det( J}) = laz toho det G'{ u, v) — det(G^1)'(x y)' Přičemž pravou stranu rovnosti budeme muset převést do proměnných u, v. Výsledek, det(G_1)'(a;, y) = det G'{u,v) = ±, meze: u G (1,2), v G (1,2),/ = §(2^/2-l)ln2. Příklad 128. Vypočtěte integrál ffA 2(x2 + y2) dA, kde A : 1 < x2 + y2 < 4, y > Nápověda. Převeďte do polárních souřadnic. 7, 3' XI. Výsledek, lir. Příklad 129. Vypočtěte f^x*x2 dydx. Nápověda. Transformujte do polárních souřadnic. Výsledek. |vr. Obsah plochy, hmotnost, těžiště Integrály můžeme využít například při výpočtu následujících věcí: (1) obsah plochy A je dx dy, i a (2) hmotná destička mající plochu A a hustotu v bodě [x, y] danou funkcí g(x, y) má hmotnost M = j j g(x,y)dxdy, (3) hmotná destička mající plochu A a hustotu v bodě [x, y] danou funkcí g(x, y) má souřadnice těžiště [xo,yo] dané vztahy x°=iá SSa x9^xi ^dx dy' y°=IIa y9^xi ^dx dy' Příklad 130. Určete obsah množiny A ohraničené křivkami x = y2 a x = Ay2 — 3. Výsledek. 4. Příklad 131. Určete obsah rovinného obrazce omezeného křivkami o rovnicích x = 0, y = ^, y = 8 a y = 4x. Výsledek. \ + 2 ln 2. Příklad 132. Máme destičku ve tvaru rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka s přeponou délky 1, jejíž hustota je přímo úměrná vzdálenosti od jedné z odvěsen a v protějším vrcholu je rovna 2. Najděte těžiště destičky. 21 Nápověda. Uvažujte trojúhelník s vrcholy [0, 0], [1/V2, 0], [0, 1/a/2]. Výsledek, M=l,x0 = ^,y0 = 2s/2y2 dydx = !§,T = Příklad 133. Určete souřadnice těžiště homogenní destičky ohraničené grafy křivek y = x2 a x + y = 2. Výsledek. T= [-£,§]• Příklad 134. Určete souřadnice těžiště destičky, ohraničené grafy křivek y = x2 a x + y = 1, hustota v bodě [x,y] rovna jeho vzdálenosti od osy y. Výsledek. T= [-5.fi- Příklad 135. Určete souřadnice těžiště T kruhové destičky x2 + y2 < a2, kde a > 0, je-li její hustota v daném bodě přímo úměrná vzdálenosti tohoto bodu od bodu [a, 0] (pro výpočet můžeme vzít hustotu rovnu c krát zmíněná vzdálenost). Nápověda. Užijte transformaci x — a = rcosip,y = rsin^, tj. polární souřadnice se středem [a,0]. Výsledek. M = '^^,T= [-f,0]. 22