Cvičení 9: Náhodná veličina, náhodný vektor
Teorie:
• Náhodná veličina, distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota;
• Nezávislost náhodných veličin, náhodný vektor, marginální a sdružené pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce.
Příklad 128. Hodíme jedenkrát kostkou, množina elementárních jevů je íl = {ĺoi, lo2, l03, l04, lo5, loq}. Jevovým polem nechť je A = {0, {loi, l02}, {lo3, l04, u5, loq}, íl}. Zjistěte jestli zobrazení X : íž —> IR dané předpisem
a) X(ĺJí) = i pro každé i G {1, 2, 3, 4, 5, 6},
je náhodnou veličinou vzhledem k A.
Příklad 129. Je dáno jevové pole (íž, „4), kde íž = {lji, uj2, ^3, ^4, ^5} a
A = {0, {Wi, W2}, {^3}, {^4, ^5}, {u1,uj2,uj3}, {Wi, uj2, uj4, ^5}, {^3, W4, uj5}, fž}.
Najděte nějaké (co nejobecnější) zobrazení X : íl —> IR, které bude náhodnou veličinou vzhledem k A.
Příklad 130. Náhodná veličina X nabývá hodnoty i s pravděpodobností P(X = i) = | pro i = 1,... ,6. Zapište distibuční funkci Fx{x) a její graf.
Příklad 131. Střelec střílí do terče až do prvního zásahu. Má v zásobě 4 náboje. Pravděpodobnost zásahu je při každém výstřelu rovna 0,6. Nechť náhodná veličina X udává počet nespotřebovaných nábojů. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci X a nakreslete jejich grafy.
Příklad 132. Náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci
b) X(^) = X{u2)
2,X(uj3) = X(uj4) = X(uj5) = X(uj6) = 3
Určete
a) P(X < 3)
b) P(X > 4)
c) P(l < X < 4).
1
Příklad 133. Náhodná veličina má distribuční funkci
ÍO pro x < 3
|x — 1   pro 3 < x < 6 1 pro 6 < x.
a) Zdůvodněte, že jde skutečně o distribuční funkci.
b) Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X.
c) Vypočtěte P(0,25 < X < 0,75).
Příklad 134. Náhodná veličina má distribuční funkci
{0 pro x < — 2
\ + \ arcsin §   pro — 2 < x < 2 1 pro 2 < x.
a) Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X.
b) Vypočtěte P(-l < X < 1).
Příklad 135. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar f(x) = pro x G IR. Určete
a) koeficient a,
b) distribuční funkci,
c) P(-l < X < 1).
Příklad 136. Diskrétní náhodný vektor má sdruženou pravděpodobnostní funkci danou tabulkou
xY	2	5	6
1	i	i	i
	5	10	20
2	1 10	i 20	0
3	3	1	3
	10	20	20
Určete
a) marginální distribuční a pravděpodobnostní funkce;
b) sdruženou distribuční funkci a vhodným způsobem ji znázorněte;
2
c) P(Y > 3X).
Příklad 137. Určete distribuční funkci náhodného vektoru (X, Y), jehož hustota je
Určete dále P(X > 2Y).
Příklad 138. Určete marginální distribuční funkce, sdruženou a marginální hustotu náhodného vektoru (X,Y), je-li
Příklad 139. Určete hustotu pravděpodobnosti náhodného vektoru (X,Y), jehož distribuční funkce je
Určete rovněž marginální hustoty a rozhodněte, jsou-li veličiny XaY nezávislé.
Příklad 140. V urně je 14 kuliček - 4 červené, 5 bílých a 5 modrých. Náhodně bez vracení vybereme 6 kuliček. Určete rozložení náhodného vektoru (X, Y), označuje-li X počet tažených červených kuliček a Y počet tažených bílých kuliček. Určete rovněž marginální rozložení veličin laľ. Dále vypočtěte P(X < 3), P(l < Y < 4).
Příklad 141. Hustota náhodného vektoru (X, Y, Z) je
Určete konstantu c, distribuční funkci a vypočtěte P(0 < X < |, 0 < Y < |, 0 < Z < \).
12 2
pro x < 0, y < 0
pro 0 < x < 1,0 < y < 2
pro x > 1, y > 2
3