Cvičení 12: Limitní věty, normální rozdělení, náhodný výběr
Teorie:
Náhodným výběrem rozsahu n   rozumíme n-tici stochasticky nezávislých a
náhodných veličin Xi,... , Xn, které mají totéž rozdělení. S náhodným výběrem se obvykle setkáváme při opakovaném provádění téhož pokusu.
Statistika je náhodná veličina vzniklá transformací náhodného výběru.
• Výběrový průměr M = - Y^=i Xt, a jsou-li navíc Xľ,..., Xn ~ N(fi, a2), pak M ~ N(fjL,a2/n).
. Výběrový rozptyl S2 = ^ £™=1(*i ~ M)2 =      (Eľ=i X?-nM),S = v7^.
Intervalovým odhadem parametru 6 rozumíme interval (Tl, Tu), kde Tl(Xi, ..., Xn) a Tjj(Xi, ..., Xn) jsou statistiky výběru (Xi,..., Xn). Platí-li
P{TL < 6 < Tu) = 1 — a,
říkáme, že (Tl,Tu) je 100 • (1 — a)% interval spolehlivosti pro parametr 6. Horním odhadem parametru 6 na hladině významnosti 1 — a je statistika U, pro níž
P(6 < U) > 1 - a,
dolním odhadem 6 na hladině významnosti 1 — a je pak statistika L, pro níž
P(L <6)>l-a.
Případ, kdy je Xi,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení N(fi, a2):
• M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
• M ~ N(fji, a2/n), a tedy U = (M - fj,)/(a/y/n) - N(0,1).
• K= {n-l)S2/a2 ~x2(n-l).
• T = (M — [i)j (S/ y/n) ~ ŕ (n — 1).
Príklad 162. Pravděpodobnost, že zasazený strom se ujme, je 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že z 500 zasazených stromu se jich ujme aspoň 360?
Výsledek. 0,987.
1
Příklad 163. Pravděpodobnost, že semeno vyklíčí, je 0,9. Kolik semen je třeba zasadit, aby s pravděpodobností aspoň 0,995 vyklíčilo cca 90% semen (což přesněji formulujeme se zpřesňujícím požadavkem, aby odchylka podílu vyklíčených semen od 0,9 nepřevýšila 0,034).
Výsledek, n 600.
Příklad 164. Životnost (v hodinách) určité elektrické součástky má exponenciální rozdělení s parametrem A = y^. Pomocí centrální limitní věty odhadněte pravděpodobnost, že celková životnost 100 takových součástek bude mezi 900 a 1050 hodinami.
$(0,5) - $(-1) w 0,533.
Příklad 165. Při 600 hodech kostkou padla jednička pouze 45 krát. Rozhodněte, jestli je možné tvrdit, že jde o ideální kostku na hladině a = 0,01. Vše zdůvodněte a svůj závěr explicitně formulujte.
Příklad 166. Do bedny ukládáme výrobky se střední hodnotou 3 kg a směrodatnou odchylkou 0,8 kg. Jaký maximální počet výrobků můžeme do bedny uložit, aby celková hmotnost s pravděpodobností 0,9738 nepřekročila jednu tunu?
Výsledek, n ks 324.
Příklad 167. Předpokládejme, že výška desetiletých chlapců má normální rozdělení N(fi, a2). S neznámou střední hodnotou [i a rozptylem o2 = 39,112. Změřením výšky 15 chlapců jsme určili výběrový průměr M = 139,13. Určete
a) 99% oboustranný interval spolehlivosti pro parametr /i,
b) dolní odhad /i na hladině významnosti 95%. Výsledek, a) (136,12; 142,14); b) 136,474.
Příklad 168. Odběratel provádí kontrolu jakosti námi dodaných výrobků namátkovou kontrolou testovaného rozměru u 21 náhodně vybraných výrobků. Dodávka bude přijata, pokud nebude výběrová směrodatná odchylka překračovat hodnotu 0,2 mm. Víme přitom, že naše stroje produkují výrobky, u nichž má sledovaný rozměr normální rozdělení tvaru iV(10 mm; 0, 0737 mm2). S využitím statistických tabulek určete pravděpodobnost, s níž bude dodávka přijata. Jak se změní odpověd, pokud odběratel kvůli nákladům na testy začne testovat pouze 4 výrobky?
(V případě chybějících údajů v tabulce hodnoty, které máte k dispozici, lineárně interpolujte).
Výsledek, fi = 10, a2 = 100, P(900 < £Xť < 1050) = P
(
)
2