Cvičení 13: Náhodný výběr z normálního rozdělení, intervalové odhady
Teorie:
Případ, kdy je Xi,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení N(fi, a2):
• M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
• M ~ N(fji, a2/n), a tedy U = (M - fj,)/(a/y/n) ~ ÍV(0,1).
• K= {n-l)S2/a2 ~x2(n-l).
• £(*i-/07"2~x2fr).
. T = {M-n)l{Sly/n)~t(n-\).
Intervaly spolehlivosti (jeden, resp. 2 výběry):
yti (známe a2)	(M-^1_Q/2,M + ^1_Q/2)
H (neznáme a2)	(M " ^i-M™ "        + ^h_a/2(n - 1))
a2 (neznáme /i)	/    (n-l)S2         (n-l)S2 \
A*i ~~ 1^2 (známe a2, cr|)	Mi-M2±^/^ + ^.Ul_a/2
A*i — ^2 (neznámé cr^ = cr|)	M1-M2±S*yJ± + ±- íi_Q/2(m + n - 2)
podíl rozptylů o\jo\	/     sys$          sys$ \ \ ŕ,l-a/2(™-l,™-l) ' r,a/2(™-l,™-l) /
Testování hypotéz:
Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr.
Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o parametrech tohoto rozdělení. Ho ... nulová hypotéza (např. 6 = c, kde c je domněnka o hodnotě parametru 9) Hi ... (oboustranná) alternativní hypotéza (obvykle negace nulové)
Testováním Ho oproti alternativní hypotéze rozumíme postup založený na náhodném výběru, s jehož pomocí platnost Ho zamítneme nebo nezamítneme (= připouštíme).
Chyba 1. druhu ... H0 platí a my ji zamítneme (závažnější) Chyba 2. druhu ... Ho neplatí a my ji nezamítneme
Pravděpodobnost chyby 1. druhu se nazývá hladina významnosti (a, obvykle a = 0, 05), pravděpodobnost chyby 2. druhu se značí /3 a číslo 1 — /3 se nazývá síla testu. Hypotézy budeme testovat pomocí příslušnosti do intervalu spolehlivosti - na základě realizace náhodného výběru sestrojíme 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro neznámý parametr 6 a
1
zjistíme, zda c patří do tohoto intervalu. Pokud ano, hypotézu Ho nezamítáme (v opačném případě zamítáme) na hladině významnosti a.
Příklad 169. Ze základního souboru, z rozdělení N(ji,a2), kde a2 = 0,06 jsme pořídili náhodný výběr s realizacemi 1,3; 1,8; 1,4; 1,2; 0,9; 1,5; 1,7. Určete oboustranný 95% interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu.
Výsledek. 1,22 < fi < 1,58.
Příklad 170. Náhodná veličina X má normální rozdělení N(fi, a2), kde fi, a2 nejsou známy. V následující tabulce jsou uvedeny četnosti jednotlivých realizací této náhodné veličiny.
	8	11	12	14	15	16	17	18	20	21
četnost	1	2	3	4	7	5	4	3	2	1
Vypočtěte:
• výběrový průměr,
• výběrový rozptyl a výběrovou směrodatnou odchylku,
• 99% interval spolehlivosti pro střední hodnotu \i. Výsledek. 14,025 < /i < 16,663
Příklad 171. Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr z rozdělení N(fi, 0,04). Určete nejmenší počet měření, který je třeba provést, aby šířka 95% intervalu spolehlivosti pro /i nepřesáhla 0,16.
Příklad 172. Byla provedena čtyři nazávislá měření obsahu manganu u dvou vzorků oceli a byly získány výsledky:
1. vzorek	0,31%	0,30%	0,29%	0,32%
2. vzorek	0,59%	0,57%	0,58%	0,57%
Stanovte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot \i\ — /i2 za předpokladu, že jde o realizace náhodného výběru z normálního rozdělení s neznámými, ale shodnými rozptyly.
Příklad 173. Z velkého souboru resistorů téhož typu bylo náhodně vybráno 16 kusů s výběrovým průměrem hodnot odporu 9,3 kil. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že výběr pochází z normálního rozdělení se střední hodnotou /i = lOkfž, za předpokladu, že:
a) a2 = 4kQ,
2
b) a2 není známo a S2 = 6,25 kŕž. Výsledek, a) zamítáme, b) nezamítáme.
Príklad 174. Na dvou soustruzích se vyrábějí tytéž součástky, u nichž se měří vnitřní průměr (předpokládá se normální rozdělení). Byl pořízen náhodný výběr rozsahu 16 z produkce prvního soustruhu a rozsahu 25 z produkce druhého soustruhu. Příslušné výběrové průměry jsou 37,5 mm, resp. 36,8 mm a výběrové rozptyly 1,21 mm2, resp. 1,44 mm2. Testujte hypotézu o rovnosti střední hodnoty kontrolovaných rozměrů v produkci obou strojů oproti oboustranné alternativě při a = 0,1.
Příklad 175. Na šachový turnaj má být vybrán jeden zástupce ze dvou oddílových šachistů, a to ten, jehož výkon je stabilnější (má menší rozptyl). Procentuální úspěšnost z posledních turnajů je:
A	49,6	59,4	59,5	76,8	69,4	70,9	68,1	66,3
B	38,5	51,2	79,5	72,3	86,5			
Na hladině významnosti 0,05 testujte, zda je možno rozhodnout o tom, který z hráčů se má turnaje zúčastnit.
3