Matematika III, 3. cvičení
Příklad 1. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = x2+xy+2y2 v bodě [xq, yo, zq] = [1,1,?].
Výsledek, zq = 4, 3x + 5y — z = 4.
Příklad 2. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně přibližně vypočtěte y/2, 982 + 4, 052. Lokální extrémy funkcí více proměnných
Připomeňme, že pro funkci jedné proměnné /:I-íla její stacionární bod xq (tj. bod xq £ M, pro který platí f'{xo) = 0) platí:
• je-li f"(xo) < 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální maximum,
• pokud má funkce / v bodě xq neostré lokální minimum, je f"{xo) > 0,
• je-li f"(xo) > 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální minimum,
• pokud má funkce / v bodě xq neostré lokální maximum, je f"{xo) < 0.
Pro jednoduchost budeme uvažovat funkci dvou proměnných /: M2 —> M, obecný případ pro funkci Wl —> M byl probrán na přednášce. Podobné tvrzení jako pro lokální extrémy funkcí jedné proměnné dostaneme pro funkce dvou (resp. více) proměnných:
Nechť [xq, yo] je stacionární bod funkce /: M2 —> M (tedy platí f'x(xo,yo) = 0, fý(xo, yo) = 0) a nechť má tato funkce v nějakém okolí bodu [xo,yo] spojité parciální derivace druhého řádu. Pak platí:
• Je-li fxX(x0,y0) > 0 a
detHf(x0,yo) = det (Stf^\   fľt^ľ]) = fL^o,yo)f^xo,yo)-\f^x0,yo)]2 > 0,
má funkce / v bodě [a;o>yo] ostré lokální minimum,
• Je-li fxx(xo,yo) < 0 a det Hf(xo,yo) > 0, má funkce / v bodě [a;o>yo] ostré lokální maximum,
• Je-li det Hf(xo, yo) < 0, extrém v bodě [a;o>yo] nenastává,
• V ostatních případech (tj. pokud det Hf(xo, yo) = 0), nic o extrému v bodě [xq, yo] nevíme, musíme použít různé triky.
Dále platí, že funkce /: M2 —> M (platí to i pro funkce více než dvou proměnných) může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje.
Příklad 3. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2.
Výsledek. Tři stacionární body: P\ = [0,0], P2 = [1,1], P3 = [—1,-1]. V P\ extrém nenastává, v obou bodech P2, P3 má funkce / ostré lokální minimum.
Příklad 4. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x3 + y3 — 3xy.
Výsledek. Stacionární body jsou P\ = [0, 0], P2 = [1,1], v P\ není extrém, v P2 je ostré lokální minimum.
1
Příklad 5. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = ln(5x) — x2 + xy + y2.
Výsledek. Stacionární body jsou P\ = [y/2/5, — l/v 10], P2 = [—^2/5,1/vlO], ani v jednom z nich extrém nenastává.
Příklad 6. Určete lokální extrémy funkce
y2   z2 2
f(x, y,z) = x + ---1---h -
4x     y z
ležící v prvním oktantu (tj v části prostoru, kde jsou všechny tři souřadnice nezáporné) a určete jejich typ.
Výsledek. Jediný stacionární bod je     1,1], ve kterém je lokální minimum, neboť
Hf =
je pozitivně deíinitní např. podle Sylvestrova kritéria (au > 0, «11(122 — 012^21 > 0, det H f > 0).
Příklad 7. Najděte všechny stacionární body funkce z = f(x, y) definované implicitně rovnicí 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz — z + 8 = 0 a zjistěte, zda jsou v těchto bodech lokální extrémy.
Výsledek. Vyjde
4x + 8z
4y
stacionární body jsou [—2, 0,1], [y, 0, — |]. Dále
'4/15 o
0 4/15
8x + 2z - 1'     y       8x + 2z - 1' 2,0,-f]. Dále
takže funkce f(x,y) má v bodě [—2, 0] lokální minimum;
Hf(-2,0) :
i/./(y,0) = ^ ~4q 15 -4/15)1 takže funkce f(x,y) má v bodě [—2,0] lokální maximum.
Příklad 8. Určete lokální extrémy funkce f(x,y) = xy\ií(x2 + y2). Výsledek.
r 2x2 1
)      Jy x
f'x = y
stacionární body jsou
ln{xz+yz) +
XZ   _|_ yZ
i / 2 ,   2\ 1 2y2 ln(x +y) + -5-—2
Dále
Pi,2 = [0,±l],    P3,4 = [±l,0],    Pb-s = [±l/V2~e,±l/V2~e].
2xy(3x2 + y2)
(x2 + y2)2
+ y
yy
(x2 + y2)2
detHf(Pi-4) = det (^) = —4 < 0, tudíž v bodech Pi_4 není extrém.
Pro P5 = [l/VTe, l/VTe] a P6 = [-l/y/te,-1/V2~e] je f^x(P5,6) = 2 > 0, det Hf(P5fi) = 4 > 0, tudíž v bodech P5, Pg je ostré lokální minimum.
Pro P7 = [l/VTe,-l/V2~e] a P8 = l/y/2e\ je f'^(P7,s) = -2 < 0, det Hf(P5fi) = 4 >
0, tudíž v bodech P7, Pg je ostré lokální maximum.
Příklad 9. Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) = x — 2y + ln \Jx2 + y2 + 3 arctg | a pro každý extrém určete jeho typ.
2
Výsledek. Vyjde
f = i + x - 3y, f = -2 + 3x+y,
x x2 + y2 '     ^ x2 + y2 '
stacionární bod je [—7/5,1/5]. Dále
„ _ y2 -x2 + 6xy       „ _ 3y2 - 3x2 - 2xy       „ _ x2 - y2 - 6xy Ixx ~    {x2+y2)2   '    Ixy ~     {x2+y2)2     '    Iyy ~    {x2+y2)2 '
Hf (-7/5,1/5) = r
-13^/10   19/io \ ta^e funkce f(x,y) v bodě [—7/5,1/5] nemá extrém.
3