16. Diferenciál funkce a Taylorův polynom Studijní text
16. Diferenciál funkce a Taylorův polynom
A. Diferenciál funkce
Pojem diferenciálu funkce y = f(x) v bodě a lze nejnázorněji vysvětlit pomocí Obrázku 16.1. Jde o přírůstek
funkční hodnoty na tečně. To vlastně znamená, že funkce je v okolí bodu a aproximována tečnou
a k přibližnému stanovení funkční hodnoty v bodě „blízko bodu a nám stačí určit hodnotu na tečně.
Obr. 16.1: Diferenciál funkce y = f(x) v bodě a
Definice 16.1. Nechť funkce y = f(x) má v bodě a spojitou derivaci (tj. existuje f (a)). Diferenciálem
funkce f(x) v bodě a při přírůstku h ∈ R nazýváme číslo
df(a)(h) = f (a)h. (16.1)
Poznámka 16.2. Z Obrázku 16.1 je zřejmé, že platí
tg α = f (a) =
df(a)
h
⇒ df(a)(h) = f (a)h.
Poznámka 16.3. ∆f(a) je diference funkce f(x) mezi body a a a + h, tj. přírůstek funkční hodnoty.
Poznámka 16.4. h je přírůstek proměnné x, který bývá zvykem značit
h = x − a = dx. (16.2)
Definice 16.5. Nechť funkce y = f(x) má v bodě a spojité derivace až do řádu n včetně (tj. existují f (a),
f (a), . . . , f(n)
(a)). Diferenciálem řádu n funkce f(x) v bodě a při přírůstku h ∈ R nazýváme číslo
dn
f(a)(h) = f(n)
(a)hn
. (16.3)
ÚM FSI VUT v Brně 71
16. Diferenciál funkce a Taylorův polynom Studijní text
Poznámka 16.6. Diferenciály (i vyšších řádů) bývá na základě Poznámky 16.4 zvykem značit
df(a)(h) = f (a)h = f (a)dx = f (a)(x − a). (16.4)
Poznámka 16.7. Pokud pro výpočet funkční hodnoty v bodě a + h použijeme diferenciál, dopustíme se
určité chyby
R(h) = |∆f(a) − df(a)(h)|
a platí
lim
h→0
R(h)
h
= 0.
Příklad 16.8. Pomocí diferenciálu spočtěte přibližně arctg 0, 97.
Řešení. Zvolíme vhodnou funkci f(x) a vhodný bod a, ve kterém se snadno počítá funkční hodnota a je
dostatečně blízko bodu 0, 97. Uvažujme tedy f(x) = arctg x a a = 1. Vypočteme si přírůstek h = x − a =
0, 97 − 1 = −0, 03.
Chceme tedy spočítat f(0, 97).
Vypočtěme nejprve diferenciál df(1)(−0, 03) pomocí vztahu (16.1) následovně
f (x) =
1
1 + x2
,
f (1) =
1
2
,
df(1)(−0, 03) =
1
2
(−0, 03).
Nyní stačí jen přičíst funkční hodnotu v bodě a = 1 a získáme
f(0, 97)
.
= f(1) + df(1)(−0, 03) =
π
4
−
0, 03
2
.
= 0, 77.
Příklad 16.9. Vypočtěte diferenciál funkce f(x) = sin x.
Řešení. Vzhledem k tomu, že nebyl zadán ani bod a, ani přírůstek h, bude výpočet naprosto obecný
f (x) = cos x,
df(x) = f (x)dx = cos xdx.
B. Taylorův polynom
V předchozí kapitole jsme funkční hodnotu v bodě a + h nahrazovali pomocí přírůůstku na tečně ke grafu
funkce y = f(x) v bodě a. Je zřejmé, že se tím dopouštíme určité nepřesnosti, která je ovšem vyvážena
snadností výpočtu. Pokud bychom chtěli mít výpočet f(a + h) přesnější, jistě by nás napadlo aproximovat
graf funkce y = f(x) v okolí bodu a ne těčnou (tj. polynomem 1. stupně), ale polynomem vyššího stupně. To
je hlavní myšlenkou aproximace funkce f(x) pomocí Taylorova polynomu.
Věta 16.10. (Taylorova věta) Nechť má funkce f(x) v intervalu a, a+h (resp. v a+h, a pro h záporné)
spojité derivace až do řádu n včetně a v (a, a + h) (resp.v (a + h, a)) spojitou derivaci (n + 1)-řádu. Pak
f(a + h) = f(a) +
f (a)
1!
h +
f (a)
2!
h2
+ · · · +
f(n)
(a)
n!
hn
+ Rn+1, (16.5)
kde tzv. Taylorův zbytek Rn+1 lze zapsat například v Lagrangeově tvaru
Rn+1 =
f(n+1)
(a + ϑh)
(n + 1)!
hn+1
, kde 0 < ϑ < 1. (16.6)
ÚM FSI VUT v Brně 72
16. Diferenciál funkce a Taylorův polynom Studijní text
Poznámka 16.11. Píšeme-li přírůstek h ve tvaru h = x−a, dostaneme často používaný tvar rovnice (16.5)
f(x) = f(a) +
f (a)
1!
(x − a) +
f (a)
2!
(x − a)2
+ · · · +
f(n)
(a)
n!
(x − a)n
+ Rn+1. (16.7)
Chceme-li danou funkci f(x) nahradit v okolí bodu a polynomem, použijeme tzv. Taylorův polynom.
Definice 16.12. Taylorovým polynomem stupně n v bodě a nazýváme polynom
Tn(x) = f(a) +
f (a)
1!
(x − a) +
f (a)
2!
(x − a)2
+ · · · +
f(n)
(a)
n!
(x − a)n
. (16.8)
Poznámka 16.13. Je-li a = 0, pak se polynom (16.8) nazývá Maclaurinův polynom a má vyjádření
Mn(x) = f(0) +
f (0)
1!
x +
f (0)
2!
x2
+ · · · +
f(n)
(0)
n!
xn
. (16.9)
Příklad 16.14. Napište Maclaurinův polynom stupně n = 4 funkce ex
.
Řešení. Je třeba si určit funkční hodnotu v bodě 0 a první 4 derivace a jejich hodnoty v bodě 0.
f(0) = e0
= 1
f (x) = ex
⇒ f (0) = e0
= 1,
f (x) = ex
⇒ f (0) = e0
= 1,
f (x) = ex
⇒ f (0) = e0
= 1,
f(4)
(x) = ex
⇒ f(4)
(0) = e0
= 1.
Získané hodnoty dosaďme do vztahu (16.9)
ex
≈ M4(x) = 1 +
1
1!
x +
1
2!
x2
+
1
3!
x3
+
1
4!
x4
= 1 +
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
.
Příklad 16.15. Nahraďte funkci y = cos x v okolí počátku (např. v intervalu −0, 1; 0, 1 ) polynomem
čtvrtého stupně a odhadněte chybu.
Řešení. Je třeba si určit funkční hodnotu v bodě 0, prvních 5 derivací.
f(0) = cos 0 = 1
f (x) = − sin x ⇒ f (0) = − sin 0 = 0,
f (x) = − cos x ⇒ f (0) = − cos 0 = −1,
f (x) = sin x ⇒ f (0) = sin 0 = 0,
f(4)
(x) = cos x ⇒ f(4)
(0) = cos 0 = 1
f(5)
(x) = − sin x.
Tedy
cos x ≈ 1 −
x2
2!
+
x4
4!
+ R5.
Nyní se zabývejme odhadem chyby R5, kterou lze pomocí vztahu (16.6) zapsat ve tvaru
R5 =
− sin(ϑx)
5!
x5
, kde 0 < ϑ < 1.
Vzhledem k tomu, že −1 ≤ sin x ≤ 1, bude pro všechna x z intervalu −0, 1; 0, 1 platit
|R5| ≤
0, 15
5!
=
1
12000000
.
ÚM FSI VUT v Brně 73