Matematika III, 4. cvičení Implicitně zadaná funkce
Nechť F (x, y): M2 —> M je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [xq, í/o] , dále F(xo,yo) = 0 a Fý(xo,yo) 7^ 0. Pak existuje spojitá funkce /: M —> M definovaná na nějakém okolí U bodu xq, přičemž F (x, f (x)) = 0 pro všechna x g U. Funkce y = f (x) je tedy rovností F (x, y) = 0 implicitně definovaná v okolí bodu xq. Pokud Fý{x$, yg) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje.
Podobné tvrzení platí pro funkci více proměnných, uvedeme si ještě případ pro 3 proměnné: Nechť F{x, y, z): M3 R je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [xo,yo,zo], dále F(xo,yo, zq) = 0 a F'z(xq, yo, zo) 7^ 0. Pak existuje spojitá funkce /: M2 —> M definovaná na nějakém okolí U bodu [a;o>yo]> přičemž F(x,y, f(x,y)) = 0 pro všechna x g U. Pokud F'z(xQ,yQ, zq) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje.
Funkci značíme písmenem y, proměnnou písmenem x, můžeme si představit, že y = f (x). Proto derivace x je 1, ale derivace y je y', takže např. (x2)' = 2x a (y2)' = 2yy'.
Příklad 1. Určete první a druhou derivaci, pokud x2 + y2 = 1.
Výsledek. y> = -Z,y» = -Č+*2
Příklad 2. Určete derivaci, pokud xy2 — 2xy + x3 — 3y2 + 5 = 0. Výsledek, y' = lly^(xZ£y.
Příklad 3. Určete derivaci, pokud sin(x2) + cos(y2) — 1=0.
Výsledek, y' = xc?six$).
Příklad 4. Nechť je funkce y = y (x) dána v okolí bodu [1,1] implicitně rovnicí y3 — 2xy+x2 = 0. Určete y'(l) a y"(l).
Výsledek. y'(l) = 0, y"(l) = -2.
Příklad 5. Necht: je funkce y = y (x) dána v okolí bodu f2^-, implicitně rovnicí y — = x. Určete y'(^-) ay"{^).
Výsledek. y'(^) = l,y"(^) = -\.
Příklad 6. Na kuželosečce k o rovnici x2+3y2 — 2x + 6y — 8 = 0 najděte všechny body, v nichž je normála k této kuželosečce rovnoběžná s osou y. Pro každý nalezený bod zapište obecnou rovnici tečny k dané křivce v tomto bodě.
Výsledek. [1,1] a [1, —3], rovnice tečen jsou y = 1, resp. y = —3.
Příklad 7. Na grafu funkce tří proměnných u = f (x,y, z) dané předpisem u = x^Jy2+z2 najděte bod, v němž je tečná nadrovina k tomuto grafu rovnoběžná s rovinou o rovnici x + y — z — u = 0.
Výsledek. Zadání splňují dva body: [y/2,1/y/2,-l/y/2, y/2) a [-y/2,-l/y/2, l/y/2, -y/2).
Příklad 8. K elipsoidu o rovnici x2 + 2y2 + z2 = 1 veďte tečné roviny rovnoběžné s rovinou o rovnici x — y + 2z = 0.
1
Nápověda. Rovnici tečné roviny k elipsoidu určíme pomocí parciálních derivací funkce z = z(x, y) dané implicitně rovnicí elipsoidu x2 + 2y2 + z2 = 1. Pak normálový vektor k elipsoidu v bodě [xo,yo5^o] bude (z'x(xq, yo), z'y(xQ, yo), — 1). Tento vektor musí být rovnoběžný s normálovým vektorem (1,-1,2) zadané roviny, tudíž (—2z'x(xq, yo), — 2z'y(xQ, yo), 2) = (1,-1,2). Z toho dostaneme 2xq = zo,4yo = —zq a po dosazení do rovnice elipsoidu dostaneme dva body dotyku hledaných tečných rovin: I—2=, —7=, -$=] a [—j=, +—?=, —t=\- Odtud už snadno určíme rov-nice tečných rovin.
Přímočařejším postupem můžeme úlohu vyřešit, pokud si uvědomíme, že normálovým vektorem v bodě [xo,yo, zq] plochy implicitně zadané vztahem F(x, y, z) = 0 je vektor (Fx(xo,yo, zq), Fý(xo,yo, zq), F'z{
Výsledek. Hledané tečné roviny mají rovnice x — y + 2z =
Příklad 9. V okolí kterých bodů jednodílného hyperboloidu h o rovnici
x2 y2 z2 a2     b2 c2
nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x, y) ?
1 2
Nápověda. Určete body [xo,yo>^o] na h splňující F'z(xq, yo, zq) = 0, kde F(x,y,z) = \ + |j —
4-i.
Výsledek. Množina hledaných bodů je elipsa obsahující body [xo,yo, 0], kde ^ + |§- = 1. Příklad 10. V okolí kterých bodů křivky x2 + 2xy — y2 — 8 = 0 nelze vyjádřit y jako funkci
y = f{x)?
Výsledek. [2, 2], [-2, -2].
Příklad 11. V okolí kterých bodů parabolické válcové plochy z2 — 2px = 0, kde p > 0, nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x,y)?
Výsledek. Všechny body osy y.
2