Cvičení 9: Pravděpodobnost, náhodné jevy, náhodné veličiny, distribuční funkce Příklad 1. Dokážte následující vlastnosti pravděpodobnosti: • P(0) = 0, 0 < P {A) < 1, • P(AC) = 1 - P (A), • A C B P (A) < P (B), P (B \A) = P (B) - P (A), • P (A U B) = P (A) + P(B) - P (A n B). Příklad 2. V seminární skupině MB104 je 23 studentů. Studenti se dělí na • 8 dobrých, kteří mají pravděpodobnost složení zkoušky 90%; • 12 průměrných, kteří mají pravděpodobnost složení zkoušky 60%; • ostatní slabé, kteří na matematiku navíc „kašlou", a tak mají pravděpodobnost složení zkoušky jen 0,1. a) Určete pravděpodobnost, že náhodně zvolený student zkoušku složí. b) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný student, úspěšně složivší zkoušku, byl z těch, kteří na matematiku „kašlali". Výsledek, a) 0,639; b) 0,0204; Příklad 3. Tyč délky d je náhodně rozlomená na tři části. Určete pravděpodobnost, že je možné z těchto částí sestrojit trojúhelník. Výsledek. 0,25. Teorie: • Náhodná veličina, distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota; • Nezávislost náhodných veličin, náhodný vektor, marginální a sdružené pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce. Příklad 4. Hodíme jedenkrát kostkou, množina elementárních jevů je íž = {loi, lú2, lo^, l04, lo5, loq}. Jevovým polem nechť je A = {0, {loi, lo2}, {^3, l04, lo5, loq}, íž}. Zjistěte jestli zobrazení X : íž —> IR dané předpisem a) X(ljí) = i pro každé i G {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 1 b) X(^) = X{u2) 2,X(uj3) = X(uj4) = X(uj5) = X(uj6) = 3 je náhodnou veličinou vzhledem k A. Výsledek, ne; ano. Příklad 5. Střelec střílí do terče až do prvního zásahu. Má v zásobě 4 náboje. Pravděpodobnost zásahu je při každém výstřelu rovna 0,6. Nechť náhodná veličina X udává počet nespotřebovaných nábojů. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci X a nakreslete jejich grafy. Příklad 6. Náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci Určete a) P(X < 3) b) P(X > 4) c) P(l < X < 4). Příklad 7. Náhodná veličina má distribuční funkci 0 pro x < 3 |x — 1 pro 3 < x < 6 1 pro 6 < x. a) Zdůvodněte, že jde skutečně o distribuční funkci. b) Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X. c) Vypočtěte P(2 < X < 4). Příklad 8. Náhodná veličina má distribuční funkci 0 pro x < —2 \ + ^ arcsin | pro — 2 < x < 2 1 pro 2 < x. a) Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X. b) Vypočtěte P(-l < X < 1). Výsledek. i pro — 2 < x < 2, jinak 0; |. 7rV 4—X2 2 Příklad 9. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar f(x) = pro x G Určete a) koeficient a, b) distribuční funkci, c) P(-l < X < 1). Výsledek. ^; ^ arctg i. i 2' 2' Příklad 10. Diskrétní náhodný vektor má sdruženou pravděpodobnostní funkci danou tabulkou xY 2 5 6 1 i i i 5 10 20 2 1 10 i 20 0 3 3 10 1 20 3 20 Určete a) marginální distribuční a pravděpodobnostní funkce; b) sdruženou distribuční funkci a vhodným způsobem ji znázorněte; c) P(Y > 3X). Výsledek. ^. Příklad 11. Určete distribuční funkci náhodného vektoru (X,Y), jehož hustota je \{Ax o y) pro 1 < x < 2, 2 < y < 4, jinak. Určete dále P(Y > 2X). Výsledek. -|. Příklad 12. Určete marginální distribuční funkce, sdruženou a marginální hustotu náhodného vektoru (X,Y), je-li 0 pro x < 0, nebo y < 0 \x2y2 pro 0 < x < 1,0 < y < 2 F(x,Y){x,y) = { 1 x K 4 rč pro x > 1, y > 2 pro 0 < :r < l,y > 2 pro .t > 1,0 < y < 2 3 Příklad 13. Určete hustotu pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y), jehož distribuční -777—57. Jsou nezávislé. Příklad 14. V urně je 14 kuliček - 4 červené, 5 bílých a 5 modrých. Náhodně bez vracení vybereme 6 kuliček. Určete rozložení náhodného vektoru (X, Y), označuje-li X počet tažených červených kuliček a Y počet tažených bílých kuliček. Určete rovněž marginální rozložení veličin laľ. Dále vypočtěte P(X < 3), P(l < Y < 4). Příklad 15. Hustota náhodného vektoru (X, Y, Z) je Určete konstantu c, distribuční funkci a vypočtěte P(0 < X < |, 0 < Y < |, 0 < Z < |). Výsledek, c = |, P{Q < X <\,Q