Druhá vnitrosemestrální práce, MB103, 15. 11.2016 Skupina A
Příklad 1. (3b) Nalezněte globální extrémy funkce f (x, y) = 2x + y na části hyperboly y = í/x ležící v prvním kvadrantu.
Řešení. Hyperbola není omezená, tudíž ani kompaktní. Pokud si nakreslíme vrstevnice funkce (přímky 2x + y = const) je zřejmé, že funkce má na zkoumané části mininum, maximum nemá.
Bez těchto úvah prostě převedeme funkci f(x, y) na funkci jedné proměnné (dosadíme y = í/x): f(x, í/x) = 2x +    Nalezneme jediný kritický bod ležící na zkoumané části:       y/2]. Pokud nám není ze situace jasné,
že se jedná o minimum, spočítáme druhou derivaci funkce /" = , která je kladná, jedná se tedy skutečně o minimum.
Lze postupovat i způsobem, že vyřešíme soustavu grad f = k-gradg, kde g(x,y) = y — í/x, tedy soustavu 2= 4,1 =k.
Závěr: daná funkce nabývá na zkoumané části hyperboly minima v bodě        V%], maxima nenabývá. □
Příklad 2. (4b) Určete těžiště části roviny ležící uvnitř kružnice (x — l)2 + y2 = 1, nad osou x a přímkou y = —x + 1.
Řešení. Nejprve posuneme do počátku, pak provedeme transformaci do polárních souřadnic. Obsah je bez počítání 3/8 obsahu kruhu o poloměru 1, tedy
XT = Jo Jof r2 cos<^dr + 1 = ^ + 1,
VT = Ů J7 r2smipdipdr = ^{^ + í). □
Příklad 3. (3b) Poločas rozpadu radioaktivního prvku A je šest let, prvku B jeden rok. Máme-li 6 kg prvku B a 1 kg prvku A, za jak dlouho budeme mít stejné množství obou? Rychlost rozpadu prvku je přímo úměrná jeho hmotnosti, (ve výsledku můžete používat funkce In)
Řešení. |H- n
5 ln 2
i