Písemná práce MB103, FI MUNI, 4.1.2017, Skupina A
Příklad 1.(2b.) Určete Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x, y) = x2
y v bodě [2, 1] a tečnou rovinu ke grafu
této funkce v bodě [2, 1, ?].
Řešení. T(x, y) = x2
+ 4xy − 4x − 4y + 4, tečná rovina z = 4 − 4x − 4y. 2
Příklad 2.(4b.)
y = 2y + x.
Určete její jediné řešení y splňující podmínku y(0) = 0.
Řešení. 1
4 e2x
− 1
2 x − 1
4 . 2
Příklad 3.(4b.) Určete těžiště útvaru omezeného parabolou x2
− 3x + 2 a osou x.
Řešení. [3
2 , − 1
10 ] 2
Příklad 4.(5b.) Určete distribuční funkci vzdálenosti bodu od středu kruhu K([0,0],2), je-li bod v kruhu vybrán
náhodně (tj. pravděpodobnost toho, že se bude nacházet ve vybrané oblasti kruhu je rovna poměru obsahu této oblasti
ku obsahu celého kruhu).
Řešení. Nechť veličina X udává zkoumanou vzdálenost náhodně vybraného bodu od středu kružnice. Pak FX(t) =
P[X < t] = P[bod padne do kruhu se středem[0, 0] a poloměru t] = πt2
π22 = t2
4 . 2
Příklad 5.(5b.) Podvodník háže nepoctivou mincí, kde pravděpodobnost padnutí orla je 0, 49. Pomocí přiložené tabulky
normálního rozdělení odhadněte pravděpodobnost, že při 5100 hodech mu padne více orlů než pannen. (číslo
v tabulce udává obsah začerněné části, pro které z pak odečteme z nultého sloupce (desetiny) a nultého řádku (setiny);
například číslo 0,0438 tak ve druhém řádku a druhém sloupci je o 0,5 menší, než je hodnota distribuční funkce
normálního rozdělení pro (z =) 0, 11; udává tedy, že pravděpodobnost toho, že náhodná veličina X se standardním
normálním rozdělením, bude nabývat hodnoty menší než 0,11 je 0,5438)
Standard Normal Distribution Table
0 z
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549
0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621
1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015
1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177
1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319
1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441
1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545
1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633
1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706
1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767
2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817
2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857
2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890
2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916
2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936
2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952
2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964
2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974
2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981
2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986
3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990
3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .4993
3.2 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .4995
3.3 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4997
3.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998
3.5 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998
Gilles Cazelais. Typeset with LATEX on April 20, 2006.
Řešení.
2