Písemná práce MB103, FI MUNI, 31.1.2017
Příklad 1. (2b.) Na křivce c(t) = (t2
−2, −2t2
+5, 2t−5) nejděte takový bod, že jím procházející tečna je rovnoběžná
s rovinou : 3x + y − z = 0.
Řešení. Chceme, aby tečna byla kolá na normálový vektor roviny, tedy skalární součin s ním by nulový. Řešíme
rovnici 3(2t) + 1(−4t) + 2 = 0, t = 1, odpovídající bod [−1, 3, −3]. 2
Příklad 2. (5b.) Nalezněte globální extrémy funkce f(x, y) = 2x+y na křivce y2
+2y+x+1 = 0 (nejprve načrtněte
křivku v rovině, zejména její průsečíky s osou x a y).
Řešení. Obrázek (1b). Převedení fce na fci jedné proměnné (−2(y + 1)2
+ y) a nalezení kritického bodu [− 1
16 , −3
4 ]
(2b), možno též přímo vyřešením soustavy (2, 1) = k(1, 2y +2). Z vyjádřenní jako funkce jedné proměnné (kvadratická
se záporným koeficientem u kvadratického členu) je zřejmé, že se jedná o globální maximum a funkce nemá globální
minimum (možno též graficky) (2b). 2
Příklad 3. (3b.) Určete obsah části kružnice (x − 1
2 )2
+ (y − 1
2 )2
= 1
2 ležící v prvním kvadrantu.
Řešení. Bez integrace je to polovina dané kružnice plus rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek 1
(vrcholy [0, 0], [1, 0], [0, 1]). Celkem π
4 + 1
2 .
2
Příklad 4. (5b.) Určete distribuční funkci náhodné veličiny X, udávající stranu rovnostranného trojúhelníka, je-li
jeho obsah rozložen rovnoměrně na intervalu [
√
3, 3].
Řešení. Označíme-li Y náhodnou veličinu udávající obsah trojúhelníka, pak Y = 1
4
√
3X2
(0.5b), tedy H (X) =
{2, 2 4
√
3]} (1b). Pak pro t z uvedeného intervalu platí FX(t) = P[X < t] = P[1
4
√
3X2
< 1
4
√
3t2
] = P[Y < 1
4
√
3t2
] =
1
4
√
3t2
−
√
3
3−
√
3
(2.5b) Celkem
FX(t) =



0 pro t ≤ 2
1
4
√
3t2
−
√
3
3−
√
3
pro t ∈ [2, 2 4
√
3]
1 pro t > 2 4
√
3
2
Příklad 5. (5b.) Pomocí Moivre-Laplaceovy věty a přiložené tabulky odhadněte pravděpodobnost, že při 19600
hodech (poctivou) mincí padne něco mezi (včetně) 9730 a 9940 orly.
Standard Normal Distribution Table
0 z
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549
0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621
1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015
1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177
1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319
1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441
1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545
1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633
1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706
1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767
2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817
2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857
2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890
2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916
2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936
2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952
2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964
2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974
2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981
2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986
3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990
3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .4993
3.2 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .4995
3.3 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4997
3.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998
3.5 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998
Gilles Cazelais. Typeset with LATEX on April 20, 2006.
Řešení. Nechť X udává počet padlých orlů. Pak X ∼ Bi(19600, 1
2 ), EX = 9800, σ = 1
4 · 19600 = 70, P[9730 ≤
X ≤ 9940] = P[−1 < X−9800
70 < 2] = Φ(2) − Φ(−1) = 0, 8185 2