Algebra I — podzim 2016 — 1. termín — 12.1.2017
Jméno: UČO:
Hodnocení					
					
Na řešení je 150 minut.
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem.
1. (15 bodů) Buď m, n nesoudělná přirozená čísla. Dokažte, že součin cyklické grupy o m prvcích a cyklické grupy o n prvcích je cyklická grupa.
2. (15 bodů) Dejte příklad:
(a) nekonečné grupy a její netriviální konečné podgrupy;
(b) dvou různých těles T, S a homomorfismus okruhů / : T —y S;
(c) homomorfismus monoidu M, který není grupou, na monoid N, který grupou je.
3. (15 bodů) Buď A konečná množina A = {1,2,..., m}, kde m > 1 je libovolné přirozené číslo. Víme, že (V(A), -=-) je grupa.
(Zde V (A) je systém všech podmnožin množiny A a 4- je operace symetrického rozdílu. )
(a) Rozhodněte, zda zobrazení / : V (A) —y Z2 dané předpisem f (X) = [|X|J2, je homomorfismus z grupy (V(A), -f-) do grupy (Z2, +). (Zde \X\ značí počet prvků množiny X.)
(b) Pro libovolné přirozené číslo n > 2 uvažujeme Hn = {X C A | n dělí počet prvků X}. Rozhodněte, pro která n je Hn podgrupa grupy (V(A), 4-).
4. (20 bodů) Uvažme grupu (G, •), kde G = {2p395r G M \ p, q, r G Z} a • je operace násobení reálných čísel. Dále buď H podgrupa této grupy generovaná prvky ^ a |.
(a) Popište podgrupu H.
(b) Ukažte, že H je normálni podgrupa grupy (G, ■).
(c) Určete, které známé grupě (K, ■) je izomorfní faktorgrupa (G, -)/H.
(d) Předchozí tvrzení dokažte tak, že definujte vhodné zobrazení a : G —y K, a dokažte, že a je surjektivní homomorfismus grup, jehož jádrem je H.
5. (15 bodů) Napište rozklad polynomu 2x7 + 3x6 — 3x5 — 2x4 + Ax3 + 6x2 — 6x — 4 na součin ireducibilních faktorů postupně nad Q, K a C.
6. (20 bodů) Určete minimální polynom prvku \/Š+\/2 — 2 nad Q. Nezapomeňte na zdůvodnění.
1