Algebra I — podzim 2016 — 3. termín — 7.2.2017
Jméno:
Hodnocení
UČO:
Na řešení je 150 minut.
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem.
1. (15 bodů)
(a) Definujte pojem podgrupa.
(b) Definujte pojem normálni podgrupa.
(c) Definujte pojem jádro homomorfismu.
(d) Dokažte, že jádro homomorfismu / : (G, ■) —> (H, •) je normální podgrupa grupy (G, ■).
2. (15 bodů) Dejte příklad:
(a) grupy řádu 20 a její podgrupy řádu 8;
(b) tělesa, které obsahuje jako podokruh okruh polynomů nad Z;
(c) injektivního homomorfismu z grupy řádu 100 do nekonečné grupy.
Pokud bude vaše odpověď, že takový příklad neexistuje, nezapomeňte odpověď řádně zdůvodnit!
3. (15 bodů) Uvažujme množinu čísel
na níž uvažujeme obvyklé operace sčítání a násobení čísel.
(a) Rozhodněte, zda je (R, +) monoid;
(b) Rozhodněte, zda je (R, +) grupa;
(c) Rozhodněte, zda je (R, •) monoid;
(d) Rozhodněte, zda je (R, •) grupa;
(e) Rozhodněte, zda je (R, +, •) okruh;
(f) Rozhodněte, zdaje (/?,+,•) těleso;
(g) Rozhodněte, zda předpis / : R —> Z, /(p-) = m (pro m G Z, k G N) zadává homomor-fismus (monoidů, resp. grup, resp. okruhů) v jednotlivých případech (a)-(e), kde byla pozitivní odpověď. (Přitom v Z pak bereme stejné operace jako v R.)
4. (20 bodů) Uvažme grupu (G, •), kde G = {2p395r G IR | p, q, r G Z} a • je operace násobení reálných čísel. Dále buď H podgrupa této grupy generovaná prvky 6 a 10.
(a) Popište podgrupu H.
(b) Ukažte, že H je normální podgrupa grupy (G, ■).
(c) Určete, které známé grupě (K, ■) je izomorfní faktorgrupa (G, -)/H.
(d) Předchozí tvrzení dokažte tak, že definujte vhodné zobrazení a : G —> K, a dokažte, že a je surjektivní homomorfismus grup, jehož jádrem je H.
5. (15 bodů) O polynomech / = x4 + 3x3 — 2x2 — 7x + 3 & g = x4 + 2x3 — x2 — 2x — 3 víme, že mají společný kořen. Nalezněte všechny kořeny polynomů / a g. Oba polynomy rozložte na součin ireducibilních faktorů postupně nad Q, I a C.
6. (20 bodů) Buď a = ^3 + VŠ G R.
(a) Určete minimální polynom prvku a nad Q. (Nezapomeňte odpověď zdůvodnit.)
(b) Vyjádřete číslo -^-^ jako součet racionálních násobků mocnin čísla a. (Mocniny čísla a neroznásobujte a pište je ve tvaru ak.)